Материал: основы проектирования хим произв дворецкий

226 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

ξ2 ξij ξi+1 j

ξv2

ξ2j

ξ2L

где zij − управляющая переменная, соответствующая точке ξij . Квадратурная формула легко обобщается на п-мерный случай. В этом случае для аппроксимации многомерного интеграла потребуется pnξ узловых точек, где nξ − размер-

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 227

ность вектора ξ. Заменяя целевую функцию ее гауссовым приближением, полу-

чим дискретный вариант ДЗИП1 (7.55) – (7.57). Здесь узловые точки используются в качестве аппроксимационных точек. Следовательно, множество

S1 = {ξi : i I1} аппроксимационных точек в задаче (7.55) – (7.57) будет состоять из pnξ точек. Для вычисления целевой функции в задаче (7.55) – (7.57) следует най-

ти значение функции С(a, d, z, ξ) pnξ раз. Размерность задачи (7.31) – (7.33) вы-

числения нижней границы будет равна nd + ( pnξ + Nc. p )nz , где nd и nz − размерности векторов d и z , соответственно, Nc. p − число критических точек.

Очевидно, что решение практических задач большой размерности может потребовать огромных вычислительных затрат.

Второй подход к вычислению интегралов основывается на процедуре Монте-Карло и близких к ней процедурах (латинского гиперкуба и последовательности проб Хаммерслея (HSS). Для этих методов известно, что число аппроксимационных точек, необходимых для вычисления интеграла с заданной точностью, не зависит от размерности вектора ξ и техника HSS наиболее

эффективна по сравнению со всеми подобными подходами. При этом даже метод HSS требует нескольких сотен аппроксимационных точек для получения разумной точности вычисления интеграла.

Техника Монте-Карло для оценки многомерного интеграла достаточно проста. Пусть имеется последовательность, состоящая из N векторов ξi , имеющих плотность распределения вероятностей P(ξ) . Тогда интеграл можно вычислить по формуле

В качестве аппроксимационных точек можно использовать номинальную точку и все критические точки, получаемые в итерациях этого метода. Весовой коэффициент, соответствующий номинальной точке, выбирался равным 0,5, остальные коэффициенты выбирались равными 0,5 / (n – 1).

Видно, что выбор множества аппроксимационных точек в данном случае достаточно субъективен. В связи с этим рассмотрим более объективный подход к построению целевой функции в ДЗИП1. В каждой задаче можно выделить три

характерные точки. Первая точка – номинальная точка ξN . Если распределение

(неизвестное) является симметричным, то это наиболее вероятная точка. Вторая и третья точки соответствуют точкам с наилучшим и наихудшим значениями функции при фиксированных a, d, z . На основе этих точек можно сформулиро-

вать три целевые функции и три внутренние задачи оптимизации ДЗИП:

228 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

На основе этих внутренних задач сформируем следующие три варианта ДЗИП:

Ci = min Ci (a, d), i =1, 2, 3 ;

a,d

χ1(a, d) ≤ 0 .

Существуют неравенства C2 ≤ C ≤ C3 , где C получается решением ДЗИП1

для любого набора аппроксимационных точек и весовых коэффициентов. Таким образом, решив задачу ДЗИП для вариантов i = 2, 3, можно оценить диапазон,

в котором будет лежать оптимальное значение целевой функции ДЗИП1.

Для устранения трудоемкой операции вычисления многомерного интеграла при решении задачи ДЗИП1 используем формулировку двухэтапной задачи оптимизации, в которой минимизируется верхняя граница целевой функции. Введем семейство Ξ областей Ξα , обладающих свойством

Pr{ξ Ξα} = α .

Тогда эта задача может быть записана следующим образом:

Обозначим решение этой задачи через a , d , z (ξ), u , Ξα . Поскольку огра-

ничение C(a , d , z (ξ), ξ) − u ≤ 0 удовлетворяется в каждой точке области Ξα , то вероятность удовлетворения этого неравенства равна α . Это означает, что с вероятностью α целевая функция будет меньше, чем u .

ДВУХЭТАПНОЕИНТЕГРИРОВАННОЕПРОЕКТИРОВАНИЕХТСВУСЛОВИЯХИНТЕРВАЛЬНОЙ… 229

Рассмотрим задачу получения верхней оценки величины u . Для этого выберем какую-либо одну область Ξ1α из семейства Ξ и решим задачу (7.59) – (7.61) при фиксированной области Ξα = Ξ1α

min u ;

a,d , z(ξ),u

max C(a, d, z(ξ), ξ) ≤ u , χ1(a, d) ≤ 0 .

Пусть получено оптимальное значение u1 . Поскольку взята произвольная область из семейства Ξ , то имеет место соотношение u1 ≥ u . Таким образом,

с вероятностью α целевая функция будет меньше, чем u1 . Поскольку при α =1 семейство Ξ состоит из одной области Ξ , то в этом случае получается точное

решение. Отсюда ясно, что чем ближе α к единице, тем ближе u1 к u .

Если параметры ξi не являются независимыми, но имеют нормальное распределение, то область Ξα является многомерным эллипсоидом.

Структура задачи (7.59) – (7.61) близка к структуре ДЗИП1 и не требует вычисления многомерных материалов, но трудоемкость ее решения будет намного меньше трудоемкости решения ДЗИП1.

При интегрированном проектировании возможно оценить средние потери энергии, связанные с необходимостью выполнения регламентных требований, проектных ограничений и неточности исходной математической модели ХТС – y = (a, d, z, ξ) . Пусть a , d – решение задачи ДЗИП1, а z (a , d , ξ) – реше-

ние внутренней задачи (7.17) при фиксированных a , d и параметре ξ. Чтобы поддерживать значение управляющей переменной на уровне z (a , d , ξ) , необходимо расходовать энергию. Например, если zl – температура, то необходимо

тепло, чтобы поддерживать температуру zl ; если zl – расход некоторого потока, то необходима энергия для насоса или компрессора, поддерживающего требуемое значение потока. Таким образом, величина z (a , d , ξ) непосредственно связана с потребляемой энергией. Предположим, что потребляемая энергия пропорциональна величине z (a , d , ξ) с коэффициентом пропорциональности ki.

230 Глава 7. НОВЫЕ ПОДХОДЫ К АППАРАТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОМУ ОФОРМЛЕНИЮ…

Тогда среднее потребление энергии, связанное с реализацией оптимального значения i-й управляющей переменной, определяется величиной

nz

I = ∫∑ki zi (a , d , ξ) P(ξ) dξ .

Ξ i=1

В этом случае аналогично коэффициентам запаса конструктивных переменных можно ввести понятие энергетического коэффициента запаса ηE :

ηE = (I − IN ) IN ,

где IN – потребляемая энергия при номинальных значениях неопределенных параметров.

Двухэтапная задача оптимизации с мягкими (вероятностными) ограничениями

Предположим, что на этапе функционирования ХТС можно определить точные значения всех неопределенных параметров, при этом все ограничения являются мягкими и должны быть выполнены с заданной вероятностью ρ.

В качестве критерия оптимизации в задаче ДЗИП2 как и в задаче ДЗИП1 используем математическое ожидание исходной целевой функции С(a, d, z, ξ)

конструктивных и режимных переменных); Pr{•}− вероятность выполнения огра-

ничения {•}; g0 , g j − функции ограничений; g0 (a, d, z(ξ), ξ) = С(a, d, z(ξ), ξ) – целевая функция (критерий) задачи оптимизации; ρ0 , ρ j −заданные значения вероятности выполнения ограничений.