4
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Ордена Ленина Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша
УДК 517.958
Организация расчета двумерных квазистационарных электромагнитных полей в областях со сложной геометрией и различными физическими свойствами
Рис. 1. Принципиальная схема рельсотрона.
Направление ее действия соответствует обычному правилу вычисления векторного произведения [j B]. Сила Лоренца разгоняет якорь, движущийся вдоль рельсов и диэлектрических направляющих (они на рисунке не показаны). С электротехнической точки зрения рельсотрон представляет собой линейный электрический двигатель постоянного тока.
Фундаментальная проблема организации работы подобного устройства и достижения высоких и сверхвысоких скоростей макротел [1 - 3] состоит в том, что через скользящий контакт якорь / рельс приходится пропускать токи до нескольких миллионов Ампер. Экспериментальная практика показала, что после достижения якорем некоторой скорости (обычно около 1 км/с) контакт якорь/рельс теряет свойства чисто металлического и превращается в смешанный (появляется электродуговой разряд, т.е. плазма).
Это приводит к разрушению как якоря, так и рельса, и не позволяет эффективно преобразовать электрическую энергию, запасенную в источнике, в кинетическую энергию якоря. Переход электрического контакта из электрического в плазменный обычно приводит к тому, что ускорение якоря резко падает.
Очевидно, что для принятия технологических решений при проектировании реальных устройств необходимо правильное физико-математическое моделирование процессов на контакте.
Основным инструментом исследования явления электромагнитного ускорения, применяемым в данной работе, является обычная математическая модель [4, 5] в пространственно двумерном приближении. Модель соответствует геометрии, показанной на рис. 2.
Рис. 2. Постановка пространственно двумерной задачи.
Так как устройство симметрично, то моделирование достаточно вести в половине (верхней) приведенной области. Начало системы координат лежит на оси симметрии рельсотрона напротив левого торца рельса. Модель представляет собой систему, состоящую из уравнений диффузии магнитного поля и энергии (в форме уравнения теплопроводности):
(1)
Здесь использованы обычные обозначения: r--- плотность, e--- удельная внутренняя энергия, H - напряженность магнитного поля (единственная ненулевая компонента вектора H, направленная перпендикулярно плоскости рисунка, при этом напряженность электрического поля E имеет две ненулевые компоненты, лежащие в плоскости рисунка), - удельная электропроводность материала, u - скорость движения вещества, v - скорость движения якоря, k----- коэффициент теплопроводности, T - температура, Qtr - мощность тепловыделения за счет трения на контактной поверхности, cV - удельная теплоемкость при постоянном объеме, kt - коэффициент трения, sn - нормальное механическое давление на контакте, d----- дельта - функция Дирака, x0 - координата контакта якорь - рельс (по x).
Кроме уравнений (1), в модель входит обычное уравнение Ньютона, описывающее координату, скорость и ускорение тела, меняющиеся под действием интегральных сил Лоренца и трения. Оно здесь для краткости опущено. Задача решается в половине пространственной области, изображенной на рис. 2, при t > 0.
Начальные условия задачи таковы: температура везде одинакова и задана, напряженность магнитного поля везде равна нулю, начальная скорость якоря задана:
.(2)
Граничные условия задачи состоят в следующем: на всех границах области, кроме отрезков прямых x = 0 и y = 0 и левого межрельсового пространства, напряженность магнитного поля H равна нулю; в пространстве между рельсами слева от якоря напряженность магнитного поля H задана (в виде зависимости от величины полного протекающего тока); на оси симметрии x = 0 внутри якоря в силу симметрии отсутствует тангенциальная компонента напряженности электрического поля; на торце рельса отсутствует тангенциальная компонента напряженности электрического поля в системе координат, где вещество покоится (отсутствие тока поперек рельса):
(3)
Тепловой поток на всех внешних границах (кроме правого торца рельса) области равен нулю: , на правом торце рельса .
Система уравнений записана с применением смешанных эйлерово - лагранжевых переменных (СЭЛ).
Производная означает производную по времени при фиксированных СЭЛ - переменных.
Мощность тепловыделения за счет трения моделируется соотношением, включающим коэффициент трения, скорость скольжения и нормальное механическое напряжение на контакте.
Численный алгоритм для реализации модели на ЭВМ основан на методе конечных элементов [4 - 8] и удовлетворяет требованиям полной консервативности и квазимонотонности.
Для аппроксимации неизвестного решения задачи использовались два семейства аппроксимирующих функций, соответствующих разбиению области на треугольники и ячейки Дирихле.
Первое семейство - это плоскость в пределах треугольника, проходящая через 1 в одной из вершин и 0 в двух других. Второе - это характеристическая функция ячеек Дирихле - то есть 1 внутри ячейки и 0 вне ячейки. Алгоритм получения системы алгебраических уравнений для амплитуд конечных элементов подробно описан в [4, 5].
Полученная система уравнений даже в рассматриваемом пространственно двумерном случае, вообще говоря, является нелинейной. Нелинейность системы вызвана зависимостью электро - и теплофизических параметров от температуры, которая в свою очередь определяется через джоулево тепловыделение в результате протекания электрического тока и выделения тепла в результате трения.
Для нахождения решения нелинейной системы алгебраических уравнений устроен итерационный процесс, называемый внешним. При этом уравнения электродинамики и кинематики решаются при фиксированных значениях температуры, взятых с предыдущей итерации. Известными также считаются и значения теплофизических параметров в уравнении теплопроводности.
Для прекращения внешних итераций используется некоторый критерий обрыва итераций в зависимости от величины относительного изменения решения на двух последовательных итерациях.
На каждой внешней итерации для нахождения приближенного решения необходимо решить две системы линейных алгебраических уравнений (для H и T). Для нахождения H используется метод неполной декомпозиции Холесского с применением метода сопряженных градиентов [9, 10]. Приближенные значения температуры в силу малости коэффициента теплопроводности на данных характерных временах находятся с помощью метода Зейделя. электродинамический рельсотрон итерационный
Наличие фазовых переходов в системе учитывается с помощью однородного метода [11]. Некоторые другие подробности организации итерационных процессов приведены в [5].
Целью данной работы является разработка и применение специальной пользовательской оболочки, предназначенной для организации расчета задач указанного типа в областях сложной геометрической формы с неоднородными электро - и теплофизическими свойствами.
На первых стадиях работы над данной программой в этой деятельности принимал участие П.Ю. Бородин.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 00 - 02 - 16130).
§ 1. Прикладная программа EML
Описанная во введении численная модель реализована в прикладной программе EML. Программа EML позволяет автоматизировать процесс проведения вычислительных экспериментов.
Будучи создана на языке Microsoft FORTRAN, она является приложением MS - DOS.
В связи с особенностями библиотеки графических подпрограмм и функций компилятора Microsoft FORTRAN Powerstation 1.0 приложение EML.exe из операционной системы Windows должно запускаться ярлыком, в котором на вкладке "Программа" следует щелкнуть левой клавишей мыши по кнопке "Дополнительно" и установить флажок “Не давать программе обнаружить Windows”. Если в конфигурации компьютера отсутствует мышь, то программа не запускается.
Оболочка пользователя предусматривает следующие основные сценарии проведения вычислительного эксперимента:
а) задание новой геометрии области;
б) загрузка из файла существующей геометрии области;
в) построение новой сетки;
г) загрузка из файла существующей для данной расчетной области сетки;
д) задание новых тепло- и электрофизических параметров;
е) загрузка из файла существующего набора физических параметров;
ж) решение задачи с заданного начального момента времени;
з) продолжение решения с момента, в который был остановлен предыдущий сеанс счета.
Сценарии реализуются предоставлением возможности сохранять соответствующие файлы на жестком диске и загружать данные из этих файлов.
Основное преимущество, которое дает применение пользовательской оболочки EML - возможность интерактивного задания геометрии области сложного вида.
Организация хранения данных на жестком диске облегчает проведение серий расчетов (вычислительных экспериментов).
Ход решения отображается на экране, позволяя лучше понимать влияние тех или иных параметров на решение и на вычислительный процесс.
1.1 Общая структура приложения EML
После запуска оболочки на экране монитора возникает главное меню.
Вид меню приведен на рис. 3. Название каждого пункта главного меню полностью соответствует его назначению.
Ниже приведена структура меню приложения EML (основные окна).
Краткие описания работы с различными окнами приведены в пунктах 1.1 и 1.2.
Рис. 3. Главное меню - появляется при запуске приложения EML.
Геометрия области задается в окне, которое появляется при выборе в главном меню пункта "Сетка" - см. рис. 4.
Рис. 4. Окно, которое появляется при выборе в главном меню пункта "Сетка".
Рис. 5. Окно с вновь созданной сеткой.
Сетка, которая возникает при выборе пункта "Построить сетку", показана на следующем рисунке (рис. 5). Процесс задания геометрии и построения сетки подробно рассматривается ниже в разделе 1.2.
При выборе пункта главного меню "Исходные данные" появляется окно со списком величин, которые используются в задаче - в основном это физические свойства материалов якоря и рельса (причем и якорь, и рельс, могут состоять из двух материалов каждый, материал верхнего слоя якоря - находиться в различных фазовых состояниях).
Подробнее об этом рассказано в разделе 1.3. Пример набора таких параметров приведен на рис. 6.
Рис. 6. Окно, которое появляется при выборе в главном меню пункта "Исходные данные".
Следующий по порядку в главном меню пункт - "Счет". Соответствующее окно показано на рис. 7. Назначение пунктов меню этого окна очевидно, оно полностью соответствует названию.
Рис. 7 - окно, которое появляется при открытии пункта главного меню "Счет".
Несколько параметров, отражающих особенности численного метода, а также параметры вывода результатов решения задачи на экран монитора и их записи на жесткий диск можно менять в окне, возникающем при выборе в главном меню пункта "Параметры управления счетом".
Набор таких параметров показан на рис. 8. Более подробно см. в разделе 1.3.
Рис. 8. Окно, которое появляется при выборе в главном меню пункта "Параметры управления счетом".
В каждом из окон при открытии пункта меню "Справка" на экран выводится контекстная справка.
Для навигации по экрану (то есть либо открытия других окон, либо запуска расчетных и других процедур, соответствующих пунктам меню) применяется мышь. При помощи клавиатуры производятся следующие действия:
Esc - отмена при работе с диалоговыми окнами;
Enter - подтверждение при работе с диалоговыми окнами;
“+” - укрупнение масштаба по вертикали (х)-(величина масштаба отображается в левом нижнем углу экрана) при задании геометрии области;
“-” - измельчение масштаба по вертикали при задании геометрии;
ввод чисел при задании исходных данных;