Методичка: Определение удельного заряда электрона с помощью электронно-лучевой трубки. Исследование вынужденных колебаний и резонанса в электрическом колебательном контуре

. (1)

Подобные процессы протекают под действием возвращающей силы F, которая чаще всего прямо пропорциональна отклонению состояния системы от равновесного состояния. В линейном однокоординатном случае справедливо соотношение

, (2)

где F - упругая или квазиупругая сила, х - отклонение системы от равновесного состояния; k - некоторый коэффициент пропорциональности, определяемый физикой колебательного процесса.

Согласно основному закону динамики поступательного движения уравнение (2) принимает вид

m или , (3)

где - циклическая частота, равная числу полных колебаний, совершаемых за 2 секунд. С учетом (1) циклическую частоту можно связать с периодом колебаний

.

Решение дифференциального уравнения (3) называется уравнением гармонических колебаний

x(t)=, (4)

где x(t) - значение колеблющейся величины х в момент времени t; - амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение колеблющейся величины (амплитуда часто обозначается символом А); - фаза колебаний, которая определяет состояние системы в любой момент времени t; - начальная фаза, т.е. значение в момент времени t=0.

Колебания, совершающиеся по закону (4) (вместо синуса может быть косинус), называются гармоническими. Система, совершающая гармонические колебания, является гармоническим осциллятором. На рис. 1 показан график гармонических колебаний (4), где по оси абсцисс отложено время t и фаза колебаний. Различие между началом отсчета времени (t=0) и началом отсчета фазы (=0) характеризуется начальной фазой .

Собственные колебания в электрическом колебательном контуре

Электрический колебательный контур состоит из последовательно соединенных ёмкостей С и индуктивности L (рис. 1). Если зарядить конденсатор, а затем замкнуть ключ К, то конденсатор начинает разряжаться и в контуре появляется нарастающий ток, а в катушке пропорциональное ему магнитное поле. Изменение магнитного поля приводит к появлению ЭДС самоиндукции, которая замедляет скорость разрядки конденсатора. После того, как конденсатор разрядится, и ток в контуре начнет уменьшаться, ЭДС самоиндукции будет поддерживать ток в прежнем направлении до тех пор, пока конденсатор не перезарядится. Затем следует процесс разрядки конденсатора, но в противоположном направлении. Эти процессы повторяются снова и снова, т.е. в контуре возникают собственные (свободные) колебания заряда в конденсаторе и силы тока в катушке.

Уравнение колебаний заряда q в электрическом колебательном контуре можно получить, используя закон Ома для замкнутой цепи: сумма напряжений равна действующей в цепи ЭДС. Для данного случая напряжение на конденсаторе равно ЭДС самоиндукции =. Так как , и , то . Отсюда получаем дифференциальное уравнение

(1)

Решением этого уравнения является гармоническая функция

, (2)

где собственная частота колебаний определяется выражением

. (3)

Таким образом, величина заряда q конденсатора с течением времени изменяется по гармоническому закону (2). График зависимости q(t) показан на рис. 2, где по оси абсцисс отложено и время t, и фаза колебаний. Различие между началом отсчета времени (t=0) и началом отсчета фазы ( определяется начальной фазой .

Затухающие колебания и их характеристики

Любой реальный колебательный контур имеет некоторое активное сопротивление R (рис. 3).

Поэтому часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, вследствие чего амплитуда колебаний в контуре постепенно уменьшается, колебания затухают.

Закон Ома для рассматриваемого случая имеет вид . Как и для незатухающих колебаний , и , а напряжение на активном сопротивлении . Тогда . Отсюда получаем дифференциальное уравнение затухающих колебаний

q=0 или

Решением этого уравнения является функция

, (4)

где - начальная амплитуда колебаний (в момент времени t=0);

- коэффициент затухания;

- циклическая частота затухающих колебаний;

- как и выше, частота собственных затухающих колебаний.

График затухающих колебаний показан на рис. 4, а. с увеличением активного сопротивления R затухание колебаний происходит быстрее. При достаточно большом сопротивлении R колебания вообще не возникают - наблюдается апериодический разряд конденсатора (рис. 4, б). Активное сопротивление, при котором периодические колебания переходят в апериодический процесс, называется критическим сопротивлением .

Пока , частота имеет действительное значение, что соответствует периодическому процессу (рис. 4, а). При периодический процесс переходит в апериодический (рис. 4, б). Приравнивая правые части уравнений для и , получаем выражение для критического сопротивления

. (5)

Огибающая колебаний, показанная на рис. 4, а пунктирной линией, отражает изменение амплитуды с течением времени, происходящее по закону

. (6)

Отсюда следует физический смысл коэффициента затухания : за время t= амплитуда уменьшается в е раз (е - основание натурального логарифма).

Уменьшение амплитуды за время одного полного колебания, то есть за период, характеризует логарифмический декремент

=, (7)

где и - амплитуды, соответствующие моментам времени t и (t+T), то есть отличающимся на период (рис. 4).

Так как напряжение на конденсаторе пропорционально его заряду, то колебания напряжения и заряда конденсатора происходят в одинаковой фазе. Закон колебаний напряжения и заряда аналогичны

. (8)

Колебания силы тока в контуре

(9)

Сдвинуты по фазе на величину Ш по сравнению с колебаниями напряжения на конденсаторе, но совпадают по фазе с колебаниями напряжения на активном сопротивлении R.

. (10)

Значение Ш лежит в пределах , зависит от параметров контура и определяется выражением

. (11)

Вынужденные колебания в электрическом колебательном контуре

Для возбуждения вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре необходимо его подключение к источнику тока, ЭДС которого периодически изменяется с течением времени (рис. 1).

Рассмотрим случай гармонического изменения ЭДС: . По закону Ома сумма напряжений на элементах R и C равна суммарной ЭДС, действующей в контуре

, (1)

где I - сила тока в контуре; q - заряд конденсатора. По определению I=.

С учетом этого, после дифференцирования уравнения (1) по времени, получаеи дифференциальное уравнение вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре

, (2)

где - коэффициент затухания, а - собственная частота колебаний, зависящие от параметров контура. Решение дифференциального уравнения (2), соответствующее установившимся колебаниям, называется уравнением вынужденных колебаний в колебательном контуре и имеет вид

I=. (3)

Как видим, ток в контуре изменяется по гармоническому закону с той же частотой , как и внешняя ЭДС, а амплитуда силы тока зависит от частоты твнешней ЭДС и параметров контура.

. (4)

Зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней ЭДС называется резонансной кривой. На рис. 2 показаны резонансные кривые для силы тока в контуре при различных значениях сопротивления R контура.

Видим, чем меньше R, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее резонансная кривая.

Важнейшим свойством резонансной кривой является существование максимума амплитуды колебаний при некоторой частоте, которая называется резонансной. В колебательном контуре амплитуда силы тока (4) достигает максимального значения при условии , следовательно, резонансная частота для силы тока

. (5)

Таким образом, резонансная частота колебаний электрического тока в контуре совпадает по величине с собственной частотой колебаний в колебательном контуре и не зависит от значения активного сопротивления R контура.

Методика эксперимента

Конденсатор, катушка индуктивности, активное сопротивление т источник переменной ЭДС, соединенные последовательно, образуют колебательный контур, в котором происходят вынужденные колебания.

Схема установки изображена на рис. 3. Конденсаторы с известной C и неизвестной ёмкостью, катушки с известной L и неизвестной индуктивностью и миллиамперметр для измерения силы тока в контуре смонтированы в лабораторном стенде и их выводы расположены на лицевой панели. Включение в цепь известных или неизвестных ёмкости или индуктивности производится соответствующими переключателями на стенде.

Активное сопротивление R контура задается магазином сопротивлений.

Источником переменной ЭДС служит генератор, создающий гармонические колебания напряжения. Частота колебаний v устанавливается соответствующими клавишами генератора, ручкой FREQUENCY (частота) и показывается на индикаторе. Амплитуда напряжения на выходе генератора регулируется ручкой AMPL.

Амплитуда колебаний силы тока в контуре измеряется миллиамперметром mA.

Если в контуре один из параметров (L или С) неизвестен, то определяют резонансную частоту и, используя (5), из соотношения

(6)

вычисляют неизвестную величину. Таким образом, установка может быть использована для определения неизвестной ёмкости или неизвестной индуктивности .

Приборы и принадлежности: лабораторный стенд; генератор; магазин сопротивлений.

Порядок выполнения работы

Таблица 1 Характеристики миллиамперметра

Переключателями на стенде включите в контур известные ёмкость и индуктивность C=0,03мкФ; L=12,3мГн.

По формуле рассчитайте теоретическое значение . Значения L и C указаны на установке.

8,3Гц

Включите генератор и установите частоту, равную полученному значению . Ручкой AMPL генератора установите силу тока в контуре примерно равной 2/3 предела измерения миллиамперметра и в дальнейшем при снятии резонансной кривой не изменяйте амплитуду сигнала на выходе генератора.

Изменяя с помощью ручки FREQUENCY частоту генератора в одну и в другую сторону от частоты , проследите качественно на шкале миллиамперметра за изменением амплитуды колебаний в контуре. Результаты запишите в отчет.

При двух заданных значениях сопротивления и магазина измерьте резонансные кривые контура. Каждая кривая должна содержать не менее 8 - 10 значений частоты в интервале от 1кГц до 20кГц. Особенно подробно следует определять силу тока в контуре в области резонансной частоты . Результаты измерений занесите в табл. 2.

Таблица 2

Постройте на одном графике обе резонансные кривые, откладывая по оси абсцисс частоту v, а по оси ординат - силу тока I.

На каждой кривой укажите активное сопротивлене контура, которое складывается из сопротивления магазина R и сопротивления катушки , значение которого указано на установке. Обсудите зависимость и формы резонансной кривой от сопротивления контура.

Включите в контур неизвестную индуктивность вместо известной. По максимуму тока в контуре определите и по формуле (6) вычислите величину .

=1200Гц

Измерьте неизвестную ёмкость . Для этого включите в контур известную индуктивность L и неизвестную ёмкость . По максимуму тока в контуре определите и по формуле (6) вычислите неизвестную .

Гц

Вывод

Исследовали вынужденные колебания в электрическом контуре; определили резонансные кривые; убедились в том, что величина сопротивления влияет на резонансную частоту и влияет на амплитуду тока при резонансе - чем меньше сопротивление, тем больше амплитуда тока при резонансе и тем острее резонансная кривая; экспериментальное значение резонансной частоты совпадает с теоретическим; используя явление резонанса, определили неизвестную ёмкость и индуктивность: ; .

Контрольные вопросы

Нарисуйте принципиальную схему колебательного контура, в котором происходят вынужденные колебания. Назовите параметры контура. Как зависят от параметров контура коэффициент затухания и частота собственных колебаний?