Материал: Определение трещиностойкости материалов при испытании образцов с шевронным надрезом

4.      Критерий Гриффитса

В настоящее время в основе механики разрушения твёрдых тел с трещинами лежат количественные соотношения, которые более 90 лет тому назад были предложены Гриффитсом. Он использовал метод анализа напряжений, в пластине с эллиптическим вырезом, предложенный Инглисом, и показал, что уменьшение упругой энергии пластины толщиной t, при возникновении трещины длиной 2а, составляет (πσ²а²t)/Е, где σ - внешнее приложенное напряжение растяжение, Е - модуль Юнга. Поверхностная энергия трещины длиной 2а равна 2γ_sаt, где γ_s - удельная поверхностная энергия (энергия на единичную площадь). Из равенства этих двух приведенных выражений, Гриффитс получил связь γ_s с внешним напряжением в виде

                                                              (9)

При использовании уравнения (9) важно иметь в виду, что оно выведено для упругого материала, содержащего острую трещину, т.е. трещину с бесконечно малым радиусом кривизны на конце. Поэтому соотношение Гриффитса является необходимым, но недостаточным условием для разрушения.

В предположении, что напряжение в окрестности устья трещины не могут превышать когезивной прочности материала, он получил уравнение связи пластической деформации с радиусом кривизны ρ на конце трещины: γ_р/γ_р = πρ/8а₀, где а₀ - атомный параметр решетки кристалла.

Согласно второму закону термодинамики переход всей накопленной энергии деформации в поверхностную энергию трещины невозможен. Опыт показывает, что в металлах и сплавах поверхностная энергия на несколько порядков меньше энергии, расходуемой на пластическую деформацию. Орован предложил учесть энергию пластической деформации γ_р и представлять уравнение (9) в виде

                                                     (10)

Возникновение линейно-упругой механики разрушения связано с работами Ирвина, применившим к проблеме разрушения твердых тел энергетический подход. Он ввел понятие «движущая сила трещины» G, как количество упругой энергии, отнесенное к длине элементарного прироста трещины

¶U/¶a = G и показал, что

                                              (11)

Уравнение (11) является одним из наиболее важных соотношений в механике разрушения. Сравнивая (10) и (11), получаемG = 2(γ_s+ γ_р).

В работе Ирвин решил задачу о распределении напряжений в окрестности устья трещины. В общем виде на расстоянии r от устья трещины (Рисунок 7) компоненты тензора напряжений определяются выражениями

                                                   (12)

где для неограниченной пластины . Рассматривают три типа трещин, которые определяются по индексу при K: трещина отрыва KI, трещина сдвига K_II и трещина антиплоского сдвига K_III.

Наиболее часто рассматривают трещину отрыва. Зная разрушающее напряжение можно найти критическое значение коэффициента интенсивности напряжений

                                                                 (13)

Уравнение (13) определяет силовой критерий разрушения. Очевидно, что силовой и энергетический критерии выполняются одновременно. Заменяя в данном выражении σ, согласно уравнению (12), получим

                                                                     (14)

Коэффициент K_I называют коэффициентом интенсивности напряжений (КИН). Выражение (14) отражает условие плосконапряженного состояния. В случае плоско-деформированного состояния , где ν - коэффициент Пуассона.

Согласно уравнениям (12) распределение напряжений вокруг любой трещины носит одинаковый характер и зависит только от величины r и θ.

В случае трещины в теле определенной формы и размера качественный вид зависимостей (12) не изменяется, однако КИН становится функцией, зависящей от геометрических размеров образца и характера приложения к нему внешней нагрузки. В литературе по механике разрушения определено множество функциональных зависимостей КИН для образцов разной конфигурации. Как правило, все они носят эмпирический характер. Точного решения для количественной оценки поля напряжений у вершины трещины при заданных размерах образца и граничных условиях нагружения не получено.

Существуют стандартные методы определения трещин стойкости твердых тел. Обычно испытания проводятся на образцах больших размеров. Минимальная толщина стандартного образца должна быть не менее 10 мм по толщине. При этом, как правило, в образце предварительно необходимо зародить трещину путем циклического нагружения. Следует отметить, что данный метод требует расхода большого количества материала, а так же времени и ресурсов для наведения усталостной трещины.

В лаборатории мезомеханники ИФПМ СО РАН разрабатывают инновационный метод для определения трещиностойкости малоразмерных образцов с шевронным надрезом. При этом отпадает необходимость наводить трещину, т.к. трещина зарождается на определенном этапе нагружения и устойчиво растет достаточно длительное время.
Преимущество этого метода заключается в том, что в отличие от стандартного метода, затрачивается небольшое количество материала, времени и ресурсов.

Способ измерения трещиностойкости на малоразмерных образцах обосновал в 1979 году Баркер Л.М. в работе. Он предложил для этой цели использовать образцы с шевронным надрезом представленным на рисунке 8. При упругой деформации работа А внешней силы P будет тратиться на энергию поля внутренних напряжений U в пластине с трещиной и на поверхностную энергию W свободной поверхности трещины при ее распространении. Условие увеличения длины трещины а на величину da тогда можно записать в виде равенства 0 или

                                                          (14)

Суть энергетического критерия разрушения формулируется следующим образом: рост трещины имеет место в том случае, если система может выделить энергию, необходимую для начала распространения трещины на элементарное расстояние da . Энергия W, необходимая для роста трещины, появляется исключительно за счёт энергии упругой деформации U, возникающей в объёме материала под действием внешней приложенной силы Р. Величина dW/da и есть скорость высвобождения упругой энергии G.

.        Скорость высвобождения упругой энергии

Скорость высвобождения упругой энергии G связана с высвобождением деформации и работой по образованию новых граничных поверхностей. Для твердого тела, содержащего трещину длинной a и подвергнутого нагружению в упругой области на рисунке 9, величина накопленной упругой энергии деформации составляет:

                                                    (15)

где V - накопленная энергия деформации; P - приложенная нагрузка; смещение берегов трещины, вызванное этой нагрузкой (раскрытие трещины); M₁ - жесткость твердого тела с трещиной длинной a. Если трещина распространяется на величину da, то необходимая дополнительная поверхностная энергия покрывается работой внешних сил и высвобождением энергии деформации dV. В результате

                                                      (16)

и жесткость твердого тела уменьшается до М₂. Если твердое тело жестко зажато в захватах, то рост трещины на величину da приведет к падению нагрузки от P₁ до P₂; если фиксированной остается нагрузка, то распространение трещины приведет к увеличению  на, причем жесткость пластины М уменьшится

В случае фиксированных захватов уменьшается как P, так и М, однако величина отношения P/M останется той же, так как исходя из данных на рисунке 9.

                                                 (17)

Скорость высвобождения упругой энергии будет определяться уравнением

                                  (18)

Дифференцируя уравнение (17), получим

                                                    (19)

Подставляя этот результат в (18), имеем

.                                                 (20, а)

Можно показать, что в условиях фиксированной нагрузки

                                      (20, б)

Заметим, что в обоих случаях скорость высвобождения упругой энергии одна и та же, только знак меняется на обратный. И это отражает тот факт, что например G не зависит от типа приложенной нагрузки (Например, фиксированные захваты, постоянная нагрузка, комбинации изменения нагрузки и смещения при условии жесткой машины). Тогда в условиях нестабильности критическая скорость высвобождения энергии деформации определяется уравнением:

                                                (21)

где 1/М - податливость образца с трещиной, которая зависит от размера трещины. Если зависимость податливости от длинны для данной формы образца установлена, то G_c можно получить, фиксируя значение нагрузки при разрушении при условии, что величина пластической деформации в области вершины трещины минимальна.

6.      Энергия разрушения

Если энергия высока, как для случая с кривой С на рисунке 10, то говорят, что материал вязкий или обладает высокой вязкостью разрушения. Но если значения энергии низкие, то материал (например, кривые А и В) считают хрупкими. В случае образцов с надрезом определение вязкости представляет собой некоторую трудность. Относительную вязкость (или же хрупкость) материала можно оценить, определяя величину области пластической деформации у вершины трещины.

В связи с тем что концентрация напряжении у вершины трещин часто приводит к повышению приложенного напряжения выше уровня, необходимого для протекания необратимой пластической деформации, в области вершины трещины будет существовать зона пластически деформированного материала, расположенная в упруго деформированной среде. Так как в процессе пластической деформации величина релаксируемой энергии намного больше, чем при упругой деформации, вязкость образца с надрезом будет возрастать с увеличением пластической зоны в области вершины трещины. Как следует из модели представленной на рисунке 11, когда величина этой пластической зоны перед разрушением мала, общий уровень вязкости образца низкий и материал характеризуется как хрупкий. С другой стороны, если пластическая зона имеет широкое распространение в окрестности вершины трещины, охватывая протяженные объемы материала в образце вдали от зоны разрушения, то величина энергии разрушения будет высокой и материал характеризуется как вязкий.

.        Определение трещиностойкости материалов при испытании образцов с шевронным надрезом

При испытании на вязкость разрушения (трещиностойкость) малоразмерных образцов, как правило, используют образцы с шевронным надрезом. Надрез наводят в виде узкой щели. Граница надреза задаётся в виде ломаной линии с углом a, расположенной симметрично относительно оси образца (рисунок 12). При нагружении каждая половинка образца прогибается на определённую величину l.

Каждую половину образца можно рассматривать как прямоугольную балку, один конец которой зафиксирован, а на другой конец приложена определённая нагрузка P (рисунок 13). Известно, что при упругой деформации прямоугольной балки толщиной b и шириной а связь между стрелой прогиба l_е и величиной нагрузки Р определяется формулой

,                                                                 (22)

где l₀ - расстояние от точки приложения нагрузки до основания балки.

В качестве основной характеристики трещиностойкости материала использовали удельную энергию разрушения G, которую рассчитывали согласно новой методике, разработанной для малоразмерных образцов с шевронным надрезом.

.       
Определение удельной энергии разрушения

При определении условия нестабильного распространения трещины целесообразен энергетический подход. Суть энергетического критерия разрушения можно сформулировать следующим образом: рост трещины может иметь место в том случае, если система может выделить энергию, необходимую для начала распространения трещины на элементарное расстояние dl. Энергия, необходимая для роста трещины, появляется исключительно за счёт энергии упругой деформации, возникающей в объёме материала под действием внешней приложенной силы.

В условиях нестабильного распространения трещины длиной l на элементарную величину dl в образце шириной а критическая скорость высвобождения упругой энергии деформации на единицу длины фронта трещины определяется уравнением:

,         (23)

где Р - приложенная к образцу нагрузка, η = λ/P податливость образца (величина, обратная жесткости образца М = P/λ), dS = 2adl удвоенная площадь, которую заметает прямолинейный фронт трещины, продвигаясь на малое расстояние dl. Величина G_s всегда равна производной от упругой энергии, т.е. определяет интенсивность высвобождения упругой энергии при распространении трещины. Далее характеристику G_s мы будем называть удельной энергией разрушения. Упругое смещение точек приложения нагрузки λ_е для образца шириной а с трещиной длины l обеспечивает нагрузка:

    (24)

Податливость такого образца равна: