Материал: Общие свойства импульсных систем

, (20)

где - абсцисса центра тяжести спектра выходного сигнала.

Определение связано с вычислением моментов n-го порядка:

, (21)

где - огибающая спектра.

В случае вычисления момента первого порядка (n=1) формула (21) приобретает вид:

. (22)

В формуле (22) роль «силы» играет площадь, охваченная огибающей спектра, а  является точкой приложения этой силы. Отметим, что для идеальной системы .

. Графическое представление электрических сигналов

Существует два способа представления электрических сигналов: временной и спектральный.

При временном способе электрический сигнал изображается графиком в прямоугольной системе координат, по ординате которой указывается мгновенное значение напряжения (тока) изображаемого сигнала, а по оси абсцисс - текущее время (рис.9).

Рис.9 Временной способ представления сигнала

При спектральном способе представления электрический сигнал рассматривается как сумма простых (гармонических) колебаний, каждое из которых имеет свое максимальное значение, частоту и фазу. Эта сумма гармонических составляющих однозначно определяет сигнал (его свойства, форму кривой и т.п.). При спектральном способе гармонические составляющие графически представляют в прямоугольной системе координат в виде вертикальных линий, абсциссы которых определяют частоту гармоник, а высота (ордината) соответствует их максимальным значениям (рис.10).

Рис.10 Спектральный способ представления сигнала

Напомним, что связь сигналов во временной и частотной области устанавливается преобразованиями Фурье. При этом периодический импульсный сигнал с периодом «Т» во временной области представляется дискретным частотным спектром в частотной области по формуле:

, (23)

где  - постоянная составляющая;

 - амплитуды спектральных составляющих;

 - угловая частота следования импульсов.

В свою очередь амплитуды гармоник находятся по известным формулам:

 (24)

Непериодический импульсный сигнал имеет непрерывный частотный спектр (спектральную плотность) , который находится с использованием прямого преобразования Фурье:

. (25)

Если известна спектральная плотность  , то можно найти сигнал во временной области  с использованием обратного преобразования Фурье (интеграла Фурье):

. (26)

. Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов

Для лучшего понимания материала о свойствах спектров модулированных импульсных сигналов, представленных в последующих разделах, рассмотрим способы построения амплитудно-частотного спектра (АЧС) и фазо-частотного спектра (ФЧС) немодулированной последовательности импульсов, а также поведение АЧС при изменении длительности и частоты следования этих импульсов. Зададим периодическую импульсную последовательность (рис.11):

, (27)

где  - амплитуда импульса;

 - середина первого импульса, относительно начала координат;

 - длительность импульса;

 - период следования импульсов.

Постоянная составляющая:

, (28)

где  - относительная длительность импульсов.

Амплитуды косинусоидальных составляющих:

. (29)

Амплитуды синусоидальных составляющих:

. (30)

Амплитуды гармоник:

. (31)

Фазы гармоник:

. (32)

Выражение для немодулированной последовательности импульсов приобретает вид:

. (33)

Анализ выражения (23) дает следующие выводы:

)        постоянная составляющая пропорциональна ;

)        амплитуды всех гармоник пропорциональны  и зависят от

)        распределение амплитуд гармоник по величине подчиняется закону , где ;

)        сдвиг фазы не зависит от , а определяется только значением .

Для определения АЧС выражение (33) запишем в следующем виде:

, (34)

где - частота следования импульсов;

1,2,3,…- номер интервала значений «».

Огибающая АЧС:

, (35)

где .

Огибающая пересекает ось частот при , т.е. при ,,,.

При , ;

при , , , ;

при , , ,  и т.д.

Таким образом, для построения АЧС есть все необходимое:

)        угловая частота следования импульсов ;

)        угловые частоты всех других гармоник , где n = 1,2,3,…;

)        закон изменения амплитуд .

Нормируем амплитуды, поделив все в формуле (33) на . Проводим вертикали частот 0, ,  и т.д. и огибающую. Пересечение их дает амплитуды гармоник (рис.12).

Рис.12 Спектральная характеристика немодулированной последовательности прямоугольных импульсов

Обычно эффективная полоса частот задается выражением:

.

При построении АЧС необходимо пользоваться следующими положениями:

)        спектральные линии должны быть расположены на равном расстоянии, которое равно ;

)        спектр имеет арочную структуру. Ширина первой полуарки и каждой малой арки равна , т.е. определяется периодом следования  и относительной длительностью импульсов ;

)        число спектральных линий под каждой аркой определяется соотношением между длительностью импульсов и частотой их следования и равно , т.к. при  кратных  амплитуды равны нулю.

Для построения ФЧС воспользуемся выражением:

, (36)

Которое следует из выражения (34) и обозначает сдвиг фазы n - ой гармоники. Ширина арки равна:

.

Сдвиг фазы на частоте, соответствующей окончанию арки:

.

Получается треугольник (рис.13):

К определению угла наклона ФЧС:

Рис.13

.

Отсюда , т.е. знак  определяет наклон огибающей и знак дискретного слагаемого  в формуле (36) (см рис.14).

. Краткие сведения о разрывных функциях

Для аналитического представления импульсных сигналов широко применяют разные функции.

Под разрывными понимают функции, для которых в определенных точках  пределы справа и слева от точки  не равны друг другу, т.е. имеют в виду функции с разрывами первого рода. Наиболее распространенные из них приведены в табл.1, а графики этих функций представлены на рис.15.

Рис.14 ФЧС при различных значениях

Таблица 1

1. Единичная  -“-          рис.15,а рис.15,б               1(x)

Рис.15

импульсный модуляция частотный сигнал

Табл.1 является исходной, для описания сложных сигналов при моделировании электронных импульсных схем, например, с ШИМ, МИМ и т.д. С помощью рассмотренных разрывных функций можно задавать алгоритмы преобразования сигналов управления и описать импульсный сигнал на выходе модулятора в функции времени.

Литература

1. Барыбин, А.А. Электроника и микроэлектроника. Физико-технологические основы / А.А. Барыбин. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 424 c.

. Белов, Н.В. Электротехника и основы электроники: Учебное пособие / Н.В. Белов, Ю.С. Волков. - СПб.: Лань, 2012. - 432 c.

. Белоусов, В.В. Судовая электроника и электроавтоматика: Учебник / В.В. Белоусов, В.А. Волкогон. - М.: Колос, 2008. - 645 c.

. Борисенко, В.Е. Наноэлектроника: теория и практика: Учебник / В.Е. Борисенко, А.И. Воробьева, А.Л. Данилюк, Е.А. Уткина. - М.: БИНОМ. ЛЗ, 2013. - 366 c.