Например, если в мире w агент a принимает решение о том, пойти ему на вечеринку или не пойти, и если w ~a w' и w ~a w'', то мир w' - это мир, в котором a идёт на вечеринку, а w'' - мир, отсекаемый выбором a, т.е. тот, в котором a предпочитает остаться дома.
Отношение ~ указывает на возможные альтернативы действию агента, не входящие в класс эквивалентности, определенный через отношение ~. Средствами ~ и ~ можно благополучно указать на различия в толковании ветвления, о которых мы говорили выше: см. рис 7.
Рис. 7. Ветвление как непредсказуемые последствия выбора или как выбор
Здесь переходы, предоставленные в распоряжение a на левом процессуальном графе, попадают в разные классы эквивалентности, что означает, что в мире w a стоит перед выбором между ф и ф. На правом процессуальном графе рис. 7, напротив, оба действия a подпадают под один и тот же класс эквивалентности. Можно сказать, что в этом случае a совершает одно действие, такое, что в мирах w' и w'', составляющих один класс эквивалентности, заданный ~a, имеет место ф. Формула ф появляется в w'' как возможное непредсказуемое последствие действия a или просто как возможное обстоятельство его действия, такого, что ф. Применительно к понятию авторитетных отношений, прямых и непрямых действий, осуществляемых в связи с ними, отношения ~ и ~ будут работать так.
Пусть a - агент в связи с некоторой ф, и пусть a обладает авторитетным отношением по ф к в. Будем считать, что отношения ~ и ~ вместе исчерпывают все возможности выбора агента в некоторый момент времени. Тогда наше допущение об a означает, что он может или исполнить ф самостоятельно, или обязать в сделать так, что ф. (До времени опустим возможность для a отказаться от осуществления выбора вовсе.) Тогда данную ситуацию можно смоделировать так:
Начальный мир левого процессуального графа показывает, что перед а открывается выбор, как поступить: выполнить ф самостоятельно (т.е. осуществить переход к миру, где истинна ф, воспользовавшись для этого отношением ~а) или отказаться от самостоятельного выполнения, перепоручив осуществление ф агенту в (и осуществить переход в мир, связанный с начальным отношением »а). Во втором случае уже в принимает решение о ф: выполнить (переход ~в) или отказаться (переход »в).
Рис. 8. Распределение классов эквивалентности при наличии авторитетного отношения между агентами
Мы построили правый процессуальный граф рис. 8, связанный отношением бисимуляции с левым процессуальным графом, для демонстрации того, что обращение к отношениям ~ и ~ (и соответствующим модальностям [~]а, [~]в, ..., [»]а, [~]в,...) сохраняет базовую интуицию данного раздела об авторитетном отношении по ф как о транзитивном переходе к ф через возможное действие другого агента (при обязательном условии возможности самостоятельного исполнения ф). Она, теперь выраженная средствами выстраиваемого на основе PDL фрагмента логической системы, примет следующий вид: Иа[~Ьф ^ Наф.
Будем считать, что модель MPDL для представления авторитетных отношений между агентами в PDL дана набором (W, {~}Г, {~}Г>, где {~}Г и {^}Г есть множества отношений на W для агентов из Г = {а, в,...}, в каждое из которых вкладывается указанное выше содержание. Тогда:
е.т.е. для всех w', таких, что w ~а w', верно, что w' |= ф (выбор а в w) и е.т.е. для всех w', таких, что w ~а w', верно, что w'|= ф (альтернативный выбор а в w).
Эти определения позволяют показать то, как соотносятся классы эквивалентности для ситуации авторитетных отношений между тройкой агентов а, в и у.
Рис. 9. Авторитетные отношения на тройке агентов данные средствами ? и ?
Процессуальный граф на рис. 9 дает описание следующих вариантов развития событий в ситуации наличия авторитетного отношения по Ф между тройкой агентов а, в и у:
[?]б[?]в[~]гц - б отдаёт указание в, в отдаёт указание г, г выполняет указание;
[?]б[~]в[~]вц - б отдаёт указание в, в отдаёт указание в (так), в выполняет указание;
[?]б[~]гц - б отдаёт указание г, г выполняет указание;
[~]б[~]бц - б отдаёт указание б, б выполняет указание;
[?]б[?]в[?]г - б отдаёт указание в, в отдаёт указание г, г отказывается выполнить указание;
[?]б[~]в[?]в - б отдаёт указание в, в отдаёт указание в, в отказывается выполнить указание;
[?]б[?]г - б отдаёт указание г, г отказывается выполнить указание;
[~]б[?]б - б отдаёт указание б, б отказывается выполнить указание.
Обратим внимание читателя на несколько интересных моментов. Во- первых, мы ввели в модель «ветки Бартлби» для агентов: теперь а, в и у могут отказаться от выполнения ф, что делает их агентами в связи с ф в еще большей степени, чем раньше, когда таких веток не было. Во-вторых, на нашей модели агенты обладают возможностью отдавать указание самим себе. Это делают в и а тогда, когда решают выполнить ф самостоятельно и не назначать к выполнению ф другого агента, связанного с ними авторитетным отношением по ф. Агент у не отдаёт указание самому себе на выполнение ф, так как он не принимает такого решения, которое бы предполагало отдачу указания на выполнение ф другому агенту.
Из второго замечания следует третье: мы интерпретируем отношение ~ двояким образом, в зависимости от того, связан ли некоторый агент, осуществляющий по нему переходы, авторитетным отношением с другим агентом. Если это так, то для такого агента переход по ~ означает отказ от самостоятельного исполнения и отдачу указания на исполнение другому агенту. Если авторитетного отношения нет, то переход по ~ означает отказ от выполнения некоторого (прямого) действия. В-четвертых, заметим, что теоретически мы можем отказаться от ограничения на возможные действия агента, связанного авторитетным отношением, и уклониться от дихотомии «делай сам или отдай указание другому». В самом деле, агент, связанный авторитетным отношением по ф с некоторым другим агентом, может отказаться от выполнения ф, но при этом не поручать выполнение ф другому агенту. Аналогично тот же агент может отказаться от отдачи поручения другому агенту, но при этом и не браться за выполнение ф самостоятельно. Пусть а - агент, который связан авторитетным отношением с в по ф. Тогда веер возможностей для а раскрывается так:
[~]аф - выполнить ф самостоятельно;
[?]б[~]бцЃИ¬[?]б - отказаться от выполнения ф, при этом не поручая ф другому;
- поручить выполнение ф агенту в;
- отказаться от поручения ф агенту в, но при этом не выполнять ф самостоятельно.
В-пятых, предположим, что на модели (см. рис. 9) в мире s0 истинна формула ИаИрНуф. Тогда по определению в s1 и в s4 истинна [г]р[~]уф. Обращает на себя внимание второе: по определению [®]р[~]уф истинна в s4 е.т.е. для всех миров, связанных с миром s4 отношением »в, верно, что в них истинна [~]уф. Но таких миров на модели нет! Тогда s4 оказывается миром, который обычно называют dead-end. Но это своё качество s4 проявляет не безусловным образом, а в связи с отношениями »в и ~в (то же справедливо и для отношений »а и ~а). Мир s4 - это dead-end для агентов в и а. Поэтому в s4 истинными оказываются любые формулы, начинающиеся с [»]в или с [~]в (снова, то же для а), подобно тому как в dead-end-мирах оказываются истинными любые формулы, начинающиеся с оператора ?. Подобное положение дел дает два следствия: во-первых, наличие dead-end-миров для некоторого набора отношений или агентов позволяет сохранить истинность базовых формул, как мы только что убедились на примере формулы [~]a[Д]в[~ly9; во-вторых, такие миры, и бесконечное множество формул, которое они порождают, приводят к ситуации, когда на моделях оказывается истинным слишком многое, что может сказаться самым пагубным образом на истинности базовых формул, непосредственно выражающих непрямые действия и авторитетные отношения.
Заключительные замечания. Дальнейшее исследование может развиваться по самым разным направлениям или оставаться в русле указанного и сосредоточиться на частностях (которые, в свою очередь, могут дать новые направления). Мы укажем на пару таких сюжетов.
Первый из них связан с типами агентов, в частности с таким, который сохранял бы авторитетное отношение по некоторой формуле ф даже после того, как он утратил возможность выполнять ф самостоятельно. Это тем более интересно для случаев, когда авторитетными отношениями связано достаточно большое количество агентов. Продолжает ли и в этом случае действовать принцип Q, и всегда ли в таких случаях действие последнего агента в цепочке равносильно действию первого, когда тот совершает некоторое ф как бы его или её руками?
В рамках второго возможного сюжета интересно найти способ показать на процессуальных графах различные действия агентов, связанные с уклонением от выполнения назначенного. До настоящего времени мы трактовали такое уклонение слишком узко: как выполнение --ф. Однако очевидно, что спектр подобных действий значительно шире. Возможно, уклонение некоторого в следует понимать как обратный переход между мирами по отношению к тому переходу, который делает агент a, связанный с в авторитетным отношением. Наложение обязательств, понуждение к некоторому действию тогда не предстают как одномоментные действия. Они, напротив, являются результатом целой серии конкурентных действий агентов и подобны игре в теннис: отскочивший от поля мяч (возможное обязательство) всегда можно выбить обратно - на поле противника.
Литература
1. Broersen J. A complete stit logic for knowledge and action, and some of its applications // Declarative Agent Languages and Technologies VI, p. 47-59. Springer, 2009.
2. Broersen J. Making a start with the stit logic analysis of intentional action // Journal of philosophical logic. 2011. 40(4). Р. 499-530.
3. Benthem J. van, Pacuit E. Connecting Logics of Choice and Change // Nuel Belnap on Indeterminism and Free Action. Springer. 2014. P. 291-314.
4. Raz J. Practical Reason and Aorms. Oxford, 1999. (Первое издание 1975.)
5. Porn I. The Logic of Power. Oxford, 1970.
6. Handbook of Modal Logic / ed. by P. Blackburn, J. van Benthem, F. Wolter. Elsevier, 2007.
7. Benthem J. van, Ditmarsch H. van, Eijck J. van, Jaspars J. Logic in Action. 2012.