3. Докажем это свойство от противного, пускай . Пусть , а . получается в ходе решения системы , (3a) , а в ходе решения системы , (3b), где . Система (3a) содержит подсистему (3b). Если система (3a) разрешима при неком наборе параметров, то и любая её подсистема будет разрешима при том же наборе параметров. Следовательно если в качестве параметров взять - они удовлетворяет также системе (3b). Но, раз , то , то условие не выполнено. Противоречие. Значит .
Свойство 3 означает, что если мы разобъем торговую статистику на несколько торговых статистик по временным точкам, посчитаем для каждой полученной торговой статистики временной показатель нерациональности, соединим их в единый ряд, то любая компонента этого ряда будет не больше соответствующей компоненты временного показателя нерациональности исходной торговой статистики.
На рис.8 приведён график временного показателя нерациональности для дневной торговой статистики США за период с февраля по май 2007 года. Горизонтальной чертой отмечен показатель нерациональности торговой статистики. Видно, что свойства выполнены.
Рисунок 8.
4.3 Выявление выбросов временного показателя нерациональности
Временной показатель нерациональности неоднороден, среди его значений могут быть как отдельные выбросы, так и значения меньшие 1. Цель данного раздела - описать критерий по которому строится множество выбросов .
Пусть - исследуемая торговая статистика, рационализируемая с показателем нерациональности , - временной показатель нерациональности.
Разумно составлять множество из максимальных элементов . То есть последовательный алгоритм наполнения множества выглядит следующим образом:
Алгоритм. - временной показатель нерациональности, - подмножество временного показателя нерациональности, заданное следующим образом: .
1. .
2. Выбираем максимальный элемент , где
3. Включаем данную точку в множество выбросов:
4. Проверка критерия остановки. Если критерий не выполнен, то переходим на пункт 2, если выполнен - завершаем алгоритм.
Отдельно стоит остановиться на 4 пункте - критерии остановки. В данной работе использовался следующий подход - заранее выбиралось число исключаемых точек. Точки выбирались исходя из следующего критерия: исследовалось влияние удаления первых точек на временной показатель нерациональности. На рисунке 9 представлен график зависимости показателя нерациональности от текущего максимального значения для торговой статистики бирж Nyse, Nasdaq за 2005-2010 годы, агрегированной по месяцам.
Рисунок 9: Выбор порога .
Удалению подлежат первые точки, которые существенно уменьшают общий показатель нерациональности . Как только наступает горизонтальный участок графика , это означает, что удаление одной следующей точки существенно не меняет рациональность торговой статистики. Поэтому в данной дипломной работе выбиралось следующее число точек - минимальное число точек, которое нужно удалить до наступления горизонтального участка графика . Как правило, эти величины составляли 1-5 точек.
4.4 Методика прогнозирования структуры потребительского спроса
Путь дана торговая статистка , рационализируемая с показателем нерациональности . Рассмотрим задачу продолжения торговой статистики на новую временную точку с сохранением показателя нерациональности (более подробно данная задача прогнозирования рассматривалась в [5]).
Будем рассматривать задачу в следующей формулировке. Считаем, что в новой точке нам известен вектор цен , и требуется найти множество допустимых .
Через будем обозначать множество, состоящее из векторов , для которых торговая статистика , будучи расширенной на набор удовлетворяет однородной сильной аксиоме с параметром нерациональности .
Т.к. исходная торговая статистика была рационализируема с показателем нерациональности , то по теореме Африата-Вериана выполнено:
После добавления новой точки будем искать такие векторы , которые бы не нарушали условие интегрируемости, т.е. чтобы расширенная торговая статистика была рационализируема с тем же показателем нерациональности, что и раньше. Это означает:
Обозначим через следующие константы:
Константы легко находятся с помощью алгоритма Варшалла-Флойда. Расширенная торговая статистика должна удовлетворять следующей системе неравенств:
,
Данная система и задаёт множество допустимых прогнозов векторов . Аналогичным образом можно поставить задачу прогноза цен при известных объемах продаж. В следующем разделе мы отметим некоторые свойства данного множества.
4.5 Свойства множества прогнозов векторов спроса
Пусть , рационализируемая с показателем нерациональности . Рассматривается задача прогнозирования вектора объёмов продаж при известных векторах цен в новой точке. Пусть - множество прогнозов на векторы спроса, такое, что расширенная торговая статистика - рационализируемая с прежним показателем нерациональности .
Отметим, что множество всегда содержит вектор . Опишем важные свойства множества в следующем предложении:
Предложение 9 Пусть - множество прогнозов векторов спроса торговой статистики на новую точку при . Тогда справедливы следующие свойства:
1. - положительный конус с вершиной в точке .
2. содержит по крайней мере одну точку .
Доказательство.
1. Это свойство непосредственно следует из линейности неравенств , относительно вектора . Подставив вместо вектора вектор , получаем
,
Следовательно, если вектор , то и вектор . Это означает, что множество - положительный конус с вершиной в точке .
2. Для точек торговой статистики справедливо Пусть . Проверим, что . Для этого достаточно проверить неравенства и
выполнены, т.к. , а для t неравенства выполнены (т.к. исходная торговая статистика рационализируема с показателем нерациональности )
тоже выполнены, т.к. и .
Таким образом, мы показали, что если дана торговая статистика и мы пытаемся расширить её на новую точку с произвольными ценами , то можно подобрать такие объемы, что новая статистика будет рационализируема с исходным показателем нерациональности, а значит наше множество прогнозов при не пуст и его построение всегда осмысленно.
4.6 Поиск вектора проекции на множество прогнозов и вектора отклонений
К настоящему моменту мы определились с тем, какие точки исключать из торговой статистики и исследовать на нерациональность. Дальнейшее исследование проходит по следующей схеме.
- исследуемая торговая статистика, которая рационализируема с показателем нерациональности .
Пусть - множество точек торговой статистики, которые не являются выбросами, т.е. не находятся в множестве , - торговая статистика, суженная до множества , рационализируемая с показателем нерациональности - точка, которая является временным выбросом, а - вектор цен в данной точке.
Строится множество прогнозов на векторы спроса для торговой статистики . Множество состоит из векторов , таких, что - рационализируема с показателем нерациональности для .
После построения множества ищется проекция вектора на множество . Удобнее всего решать данную задачу следующим образом.
Рассматривается оптимизационная задача:
Решение данной задачи легко находится методами квадратичного программирования. После нахождения вектора вычисляется вектор разности .
При дальнейшем анализе возникают определенные сложности, которые связаны в первую очередь с нормировкой вектора .
4.7 Нормировка вектора отклонений и выявление выбросов
Номенклатура товаров имеет неоднородную структуру. Какие-то товары имеют небольшие объемы продаж и высокие цены, какие-то имеют большие денежные потоки, какие-то меньшие. Отклонение на 1000 акций по одному товару может составлять 1% от торгов, по другому 10%. Возникает задача выбора оптимальной нормировки вектора разности для дальнейшего анализа.
Автором сравнивались следующие варианты нормировки:
1. Отсутствие нормировки
2. Нормировка компонент вектора на средние объёмы, , где
3. Нормировка компонент вектора на текущие объёмы,
4. Нормировка компонент вектора на компоненты вектора проекции, .
5. Вычисление вектора отклонений по денежным объёмам, .
6. Вычисление вектора отклонений по денежным объёмам и его нормировка на средние денежные объёмы, , где .
Таблица 1: Различные варианты нормировок вектора и .
В таблице 1 приведены графики компонент векторов и в зависимости от нормировки.
Автором был выбран вектор отклонения по бюджетам в качестве основного и отклонения на данном векторе и рассматривались как акции, где велись нерациональные торги. Данный выбор обусловлен тем соображением, что при активности спекулянтов мерой воздействия на рынок должна служить именно денежная сумма, которая участвовала в нерациональной торговле. Нормировка на объёмы не даёт полноты картины, т.к. даже большое отклонение в объёмах может быть незаметно для рынка, если цена на данные акции невелика.
5. ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
В настоящей работе была проведена проверка работы метода на финансовой торговой статистике. Исследовались данные дневных торгов основных мировых бирж. Рассматриваемый период: январь 2004 - ноябрь 2011 года.
В работе исследовались биржи NYSE(USA), NASDAQ(USA), London, Euronext, Italy, Dax(Germany), Swiss, Spain.
Для проведения расчетов использовалась модифицированная среда “Индекс” [10].
5.1 Исследование торговой статистики бирж США
В данном разделе исследовалась рациональность дневной торговой статистики бирж Nyse, Nasdaq агрегированной по месяцам. Первый этап исследования состоял из исследования статистики за 2005-2010 годы.
Рисунок 10: Временной показатель нерациональности.
Рисунок 11: Выбор количества выбросов
На рисунке 10 представлен график временного показателя нерациональности . Рисунок 11 позволяет выбрать оптимальное выбросов . Исходя из визуального анализа, видно, что удаление одной точки не приводит к изменению показателя нерациональности, в то время, как удаление двух точек существенно уменьшает . Итого, .
Выбросами оказались две точки - №8 (август 2005 года) и №34 (октябрь 2007 года).
Рисунок 12: Отклонение .
Рисунок 13: Отклонение .
Исходя из анализа векторов отклонений по бюджетам на рисунках 12 и 13, следующие акции были помечены, как подозрительные:
Август 2005: 52(Google), 2(Exxon Mobil), 54(Cisco Systems), 60(Ebay).
Октябрь 2007: 5(Citigroup). 51(Apple), 52(Google), 55(Baidu) .
Рисунок 14: Динамика цен и спроса акций Citigroup
Рисунок 15: Динамика цен и спроса акций Google
На рисунках 14-15 представлены графики цен и объёмов продаж некоторых из исследуемых акций. Звездочками показаны временные точки, которые были отмечены как выбросы по данной акции.
Если обратиться к анализу акций Citigroup, видно масштабное падение цен, которое началось в момент всплеска нерациональности. Статья [36] хорошо описывает данную ситуацию. Компания уже была под подозрением из-за слабого курса акций, после чего попала в еще более сложное положение из-за незащищенности перед проблемным кредитным рынком [27]. 31 октября известный банковский аналитик Мередит Уитни заявила в своём докладе, что банк, сильно пострадал от кризиса ипотечного рынка и был недостаточно капитализирован, несмотря на свои огромные размеры.
Отчёт Уитни отразился на курсе акций. Но это было только начало - она предсказала, что Citi будет вынужден сократить свои дивиденды и сбросить ценные активы, чтобы поправить своё положение. Работу над докладом Уитни начала в начале октября после того, как Citi сообщил о резком сокращении доходов в третьем квартале. Уитни рассудила, что с учётом нынешней экономики, банк не имеет средств, чтобы повысить свои показатели капитализации за счет органического роста. Она утверждала, что сокращение дивидендов или продажи активов были единственными быстрыми способами, получить деньги.
Как мы видим, прогнозы Уитни подтвердились на практике, а момент публикации и начала кризиса Citigroup был отмечен как подозрительный, согласно предлагаемому автором подходу.
В августе 2005 компания Google приобретает стартап, разрабатывающий операционную систему Android [24]. Данная покупка была нацелена на перспективный, но на тот момент малоизвестный рынок мобильных смартфонов. В ту пору малое число инвесторов всерьёз рассматривало будущие перспективы Android, поэтому покупка данного стартапа была отмечена нерациональной сделкой.
Октябрь 2007 был отмечен макимальной ценой на акции Google. Это был момент предшествующий началу самой большой после середины XX века экономической рецессии. Безусловно часть трейдеров прогнозировала данное развитие сценария и избавлялась от акций, впреддверии их падения. Из-за большого объёма денежных торгов акциями Google относительно других котировок и нерационального избавления от акций данная кампания была отдельно отмечена алгоритмом.