Т.к. переход к основной формуле теории экономических индексов предполагает дифференцируемость функции полезности , был выделен отдельный класс дифференцируемых функций, на котором преобразования Янга также инволютивно.
Определение 2 Назовем классом множество функций которые непрерывны на и удовлетворяют на следующим свойствам:
1) для любого
2)
3) для любого и любого
4) для любого
5) строго квазивогнута;
6) для любого задача минимизации имеет, по крайней мере, одно оптимальное решение на .
1.6 Условия рационализируемости в гладком случае
Определяя индексы Конюса-Дивизиа в разделе 1.4, мы использовали предположение о существовании функции полезности. Рассмотрим условия, при которых данная функция существует.
Следующая теорема даёт условия рационализируемости обратных функций спроса в классе . Пусть - множество
Теорема 1 ([13], [17], [33]) Пусть обратные функции спроса непрерывно дифференцируемы на Для того чтобы функции были рационализируемы в классе функций полезности необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) для любого
2) (условия отделимости) для любых произвольного и любого справедливо соотношение:
3) для произвольных таких что ни при каком выполнено неравенство:
4) (условия интегрируемости Фробениуса) для любых различных чисел и любого справедливо равенство:
5) для любого справедливо соотношение:
Условия 1 и 5 носят технический характер и связаны с выбором класса функции полезности . Условие 2 называется условием отделимости и выражает полноту номенклатуры товаров. Данное условие будет подробнее рассмотрено в разделе “Дерево экономических индексов”. Условие 3 носит название усиленной однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения и выражает эффект Гершенкрона.
Условие 3 следует из закона Хикса, согласно которому для любого такого, что справедливо:
Известно (см. [17]) что условие 3 сохраняется при малых возмущениях в норме , т.е. оно является условием типа неравенства. Условие 4, наоборот, нарушается при аналогичных возмущениях и является условием типа равенства. Данное условие носит названия условия Фробениуса и выражает собой критерий существования интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса Нарушение данного условия при малых возмущениях относительно нормы носит название проблемы интегрируемости.
Данная проблема в экономической литературе впервые была сформулирована Дж.Антонелли [33] в 1886. Исследованием проблемы интегрируемости занимались многие экономисты XX века, в т.ч. Дж.Хикс, В.Парето, К.Эрроу и др. В результате их усилий была создана теория выявленного предпочтения, которая позволила переформулировать условия рационализируемости в удобной для экспериментальной проверки форме. Данная теория будет подробнее описана в главе 2.
1.7 Дерево экономических индексов
Обратимся к вопросу сегментации финансовых рынков. Полная совокупность различных товаров на международных рынках достигает размера в единиц. Безусловно, данное многообразие товаров распадается на группы взаимодополняемых-взаимозаменяемых единиц. Пропорции спроса на эти товары определяются пропорциями между ценами на них. Такие группы товаров принято называть отделимыми.
Определение 3 Будем говорить, что группа товаров отделяется от остальной номенклатуры товаров если перестановкой компонент вектор товаров можно представить в виде и функция полезности представляется в виде суперпозиции
В [4] показано следующее: если функции и непрерывно дифференцируемы, то обратные функции спроса на товары из группы удовлетворяют условию отделимости в следующей виде:
Предложение 5 Для любых выполнено:
где - обратная функция спроса на -ый товар из выделенной группы товаров .
Доказательство. Рассмотрим задачу максимизации функции полезности при ограничениях
Тогда пропорция цен равна:
Аналогично из свойств дифференцирования:
Итого, мы показали, что если группа является отделимой, то выполнены условия отделимости Фробениуса.
Всю номенклатуру товаров можно разделить на “полные” группы, для которых построение экономических индексов обосновано. Данную процедуру можно повторять рекурсивно, выявляя полные подгруппы в найденных ранее группах. Так строится дерево экономических индексов.
2. УСЛОВИЯ РАЦИОНАЛИЗИРУЕМОСТИ В НЕГЛАДКОМ И ДИСКРЕТНОМ СЛУЧАЯХ
В главе 1 было показано, как проблема интегрируемости привела к созданию теории выяленного предпочтения, позволяющей исследовать негладкий случай. Дальнейшее изучение теории экономических индексов привело к созданию непараметрического метода построения индексов в случае торговой статистики, состоящей из дискретного набора точек.
2.1 Теория выявленного предпочтения
В [37] П. Самуэльсоном было введено понятие выявленного предпочтения:
Определение 4 Будем говорить, что выявлено предпочтительнее если выполняется неравенство
Отношение выявленного предпочтения можно проинтерпретировать следующим образом. Если , то при ценах потребитель мог приобрести как набор , так и набор , но тот факт, что был приобретён именно набор , и озночает, что выявленно предпочтительнее .
П.Самуэльсоном было сформулировано следующее свойство, дающее в двумерном случае (т.е. при ) необходимое и достаточное условие рационализируемости обратных функций спроса в классе .
Слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Если и и то и
Чтобы слабая аксиома оставалсь выполнимой на системе лучей необходимо и достаточно выполнение однородной слабой аксиомы теории выявленного предпочтения ([19]):
Однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Для любых и справедливо неравенство
Следует отметить, что однородная слабая аксиома теории выявленного предпочтения эквивалентна эффекту Гершенкрона.
Хаутеккером было предложено более сильное требование, необходимое и достаточное для рационализируемости обратных функций спроса при в классе, вообще говоря, не положительно однородных функций полезности из
Сильная аксиома теории выявленного предпочтения. Если и то
При из сильной аксиомы теории выявленного предпочтения следует слабая аксиома теории выявленного предпочтения. Вплоть до работы Д.Гейла [26] неоднократно предпринимались попытки установить эквивалентность этих двух аксиом. Д.Гейл построил пример обратных функций спроса, удовлетворяющих слабой аксиоме теории выявленного предпочтения, но не рационализируемых.
Выполнение сильной аксиомы теории выявленного предпочтения на системе лучей эквивалентно однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА).
Определение 5 Будем говорить, что обратные функции спроса удовлетворяют однородной сильной аксиоме (ОСА), если для любого набора векторов из справедливо неравенство
Теперь сформулируем следующий критерий рационализируемости.
Теорема 2 [18] Пусть - неотрицательная , непрерывная на вектор-функция, такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. Обратные функции спроса рационализируемы в классе функций полезности
2. Система линейных неравенств
где ,, имеет решение , положительное и непрерывное на
3. Обратные функции спроса удовлетворяют ОСА.
4. Существуют такие индексы цены и спроса из класса , чт. В случае же когжа будет достигаться равенство
Следствие. Индексы цены и спроса можно выразить следующим образом через решение системы:
2.2 Непараметрический метод анализа торговой статистики
До сих пор мы рассматривали случай, когда вся информация задана обратными функциями спроса . На практике исходной информацией для вычисления индексов цен и спроса служит торговая статистика , представляющая набор значений обратной функции спроса в конечном числе точек . Под рационализируемостью торговой статистики мы будем понимать возможность продолжить её до обратных функций спроса, рационализируемых в классе . Теория выявленного предпочтения позволяет эффективно проверять рационализируемость торговой статистики и вычислять индексы Конюса. В основе алгоритма проверки лежит следующая теорема, которая является дискретным аналогом теоремы 2.
Теорема 3 (Африата-Вериана [21], [39]) Следующие свойства торговой статистики эквивалентны:
1. существует функция полезности , рационализирующая торговую статистику, то есть
2. торговая статистика удовлетворяет однородной сильной аксиоме выявленного предпочтения (ОСА), то есть для любого упорядоченного набора моментов времени выполняются неравенства
3. существует решение у системы неравенств:
(1)
4. существует функция полезности, рационализирующая торговую статистику, вида
где удовлетворяют (1).
Теорема Африата-Вериана позволяет эмпирически проверять условия рационализируемости и сторить индексы Конюса-Дивизиа.
Предложение 6 Пусть где являются решениями системы линейных неравенств согласно условию 3 теоремы 3, а
Тогда
Данный метод построения экономических индексов называется непараметрическим методом.
Непараметрический метод в отличие от традиционных методов вычисления индексов Ласпейреса и Пааше позволяет на основе проверки отделимости изучать сегментацию рынков.
Опишем способ решения системы неравенств Африата-Вериана, носящий название алгоритма Варшалла-Флойда. Обозначим коэффициенты матрицы индексов цен Пааше через
В новых обозначениях система (1) имеет вид
(2)
Определим как максимум по всем возможным упорядоченным подмножествам множества произведений вида считая при этом, что пустому множеству соответствует то есть
Следствие из теоремы Африата - Вериана гласит, что система (2) разрешима, тогда и только тогда, когда Отметим, что если система (2) имеет положительное решение, то она эквивалентна следующей системе
Рассмотрим идемпотентное полукольцо с двумя операциями и Тогда
Здесь означает возведение матрицы в степень в идемпотентном смысле (т.е. вместо всех операций суммирования происходит операция взятия максимума). Когда на каком-то шаге вычисления идемпотентных степеней выясняется, что диагональный элемент больше 1, это означает, что все элементы матрицы равны и система неразрешима. В противном случае для вычисления ряда можно ограничиться первыми слагаемыми, и, таким образом, алгоритм вычисления имеет сложность порядка Решение системы (1) можно выбрать так:
3. ОБОБЩЕННЫЙ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
В главе 2 были установлены важные теоремы и свойства торговой статистики, удовлетворяющей ОСА. Текущая глава посвящена анализу торговой статистики в случае нарушения ОСА.
3.1 Показатель нерациональности
Не всякая торговая статистика удовлетворяет ОСА. Значит, теорема Африата-Вериана об эквивалентных условиях не может быть применима, а, следовательно, система не будет иметь решения и непараметрический метод построения индексов также не может быть применим.
В ([21], [15], [28]) было разработано обобщение непараметрического метода, которое применимо при нарушении гипотезы о рациональном поведении. Вводится параметр , с помощью которого модифицируется система линейных неравенств (2):
(3)
Очевидно, что существует положительное , при котором система разрешима и имеет положительное решение. Обозначим через минимальное допустимое значение Величина является мерой нарушения торговой статистики гипотезы о рациональности поведения.
В предыдущей главе мы рассматривали алгоритм Варшалла-Флойда и строили идемпотентное полукольцо. Сформулируем следующее предложение:
Предложение 7 Пусть элементы матрицы индексов Пааше положительны. Тогда система уравнений
имеет решение только при .
Т.к. матрица положительно-однородна, значит она неразрешима в идемпотентном смысле. В [6] было показано, что система (4) имеет решение, притом при единственном значении . Из теоремы о сходимости алгоритма Варшалла-Флойда следует (см [7]), что система линейных неравенств (3) имеет положительное решение если и только если для любого упорядоченного набора справедливо неравенство
Для величины справедливо выражение
,
которое совпадает с выражением [6] для значения , при котором система имеет положительное решение. Таким образом, предложение доказано.
Величина является идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона матрицы индексов цен Пааше . Условие , которое означает существование положительного решения системы, интерпретируется как идемпотентный аналог соответствующего утверждения из теоремы Фробениуса-Перрона [14]. Легко заметить, что увеличивая , мы расширяем множество решений системы. При имеется единственное положительное решение системы, которое и соответствует идемпотентному аналогу вектора Фробениуса-Перрона.