3.2 Арбитражные цепочки на валютных рынках
На мировых биржах торги ведутся в разных валютах. Чтобы изучать биржи в совокупности необходимо выработать механизм приведения цен к единой валюте. Обратимся к алгоритму, сформулированному и описанному в [11].
Пускай на рынке осуществяются попарные обмены типов валют. Через будем обозначать количество валюты -го вида, которое можно получить при обмене одной единицы валюты -го вида. Матрица , составленная из чисел называется матрицей кросс-курсов и описывает состояние валютного рынка.
Рассмотрим цепочку обменов при которой одна единица валюты обменивается на валюту затем все деньги обмениваются на валюту и так далее, в конце концов все деньги полученные при обмене в валюты в обмениваются в валюту В итоге получаем в валюте
Определение 6 Будем говорить, что матрица кросс-курсов допускает арбитражную цепочку если
При относительно небольшом количестве валют на рынке (даже несколько десятков) проверка отсутствия арбитражных цепочек прямым перебором - сложная вычислительная задача. Общее число цепочек равно
При реализации арбитражных цепочек, консолидированная банковская система несёт финансовые потери. Устранение потерь от арбитражных цепочек может быть достигнуто за счёт взимание пропорциональных комиссионных сборов. Задача о вычислении минимальной ставки комиссионных сборов, которые приводят к отсутствию арбитражных цепочек выглядит следующим образом: найти минимальное число такое, что для любой цепочки обменов любой длины будет выполнено:
Если данные неравенства выполнены при то арбитражные цепочки отсутствуют. В противном случае, уменьшение выплаты при обмене в раз приводит отсутствию таковых цепочек.
Пускай мы выбрали в качестве основной валюты - евро. Пусть - обменный курс -ой национальной валюты на евро. Чтобы при платежах не возникали потери из-за спекулянтов, необходимо чтобы обмен единицы -ой национальной валюты на -ую валюту при последующем переводе в евро не давал выигрыша по сравнению с непосредственным переводом единицы -ой валюты в евро.
Таким образом, вектор обменных курсов должен быть положительным решением системы линейных неравенств:
Для того чтобы такие обменные курсы на евро существовали необходимо и достаточно, чтобы матрица кросс-курсов была продуктивна в идемпотентном смысле.
Справделива следующая теорема Африата-Вериана, показывающая что существование таких обменных курсов связано с отсутствием у матрицы кросс-курсов арбитражных цепочек.
Теорема 4 (Африата-Вериана [21],[40]) Пусть положительная матрица. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
* система линейных неравенств (5) имеет положительное решение ;
* для любой цепочки обменов справедливо неравенство
Заметим, что данная теорема при эквивалентна теореме 3 в разделе 3.1. Если же положительного решения системы неравенств не существует, то можно ввести ставку
Найти решение систем неравенств можно, как и раньше, с помощью алгоритма Варшалла-Флойда. Методом деления отрезка пополам можно найти минимальную ставку комиссионных сборов , при которой отсутствуют арбитражные цепочки:
Следует отметить, что величина является аналогом минимального показателя нерациональности при исследовании торговой статистики, если положить .
3.3 Построение дерева экономических индексов с помощью ОНМ
Опишем процесс обработки торговой статистики статистическими службами. Вся номенклатура товаров разбивается на группы, далее та же операция повторяется и строятся подгруппы и т.д. В результате получается структура, которую можно представить как дерево, в котором все группы связаны отношением вложения. Отношение вложения определяет дерево на всем множестве товаров и это дерево называют деревом экономических индексов.
Как правило, отношение вложения определяется индивидуальными предпочтениями и опытом экспертов. Разные службы могут, таким образом, получить разные структуры дерева. Во время построения учитываются эвристические представления о родстве товаров, существующие на “гуманитарном” уровне. Однако потребительский спрос может менять свою структуру динамично и эвристические представления о разбиении не будут за ним успевать, а значит данная процедура построения дерева индексов может не в полной мере учитывать сложившиеся предпочтения в обществе. С помощью непараметрического метода можно обойти некоторые из этих трудностей.
Как показывалось ранее, непараметрический метод позволяет строить ряды индексов Конюса для рационализируемой торговой статистики. В случае статистики не удовлетворяющей ОСА вместо решения системы (2) берется решение системы (3) и строится аналогичный ряд индексов. Числовые значения индексов после введения показателя нерациональности изменяются незначительно.
В [16] были проведены эксперименты по обработке различных примеров торговой статистики. Можно отметить интересный результат, получившийся в ходе анализа статистики Голландии, которая состояла из 106 товаров за 1951 - 1977. Вся торговая статистика была рационализируемой, однако ни одна из групп товаров, которая была выделена экспертами, не удовлетворяла ОСА.
В работе [11] было произведено сравнения индекса Конюса с традиционными финансовыми индексами:
Рисунок 2: Фондовая биржа Нью-Йорка.
Рисунок 3: Фондовая биржа Лондона.
Рисунок 4: Фондовая биржа Франкфурта.
Графики наглядно демонстрируют поведение индексов. Индекс Конюса-Дивизиа повторяет поведение рынка, но отображает изменения в его состоянии более рельефно. Можно сравнить поведение индексов мировой статистики, отдельных бирж и секторов экономики.
Рисунок 5: Мировой индекс и Нью-Йоркская фондовая биржа.
Мировой индекс более изменчив, чем американский. Он показывал как более ускоренный рост, так и более резкое падение. Объясняется это тем, что рынок США давно уже сложился как развитый и устойчивый. Большое количество инвесторов совершают сделки в разных направлениях, не давая индексу резко менять своё направление. В то же время, при построении мирового индекса учитываются развивающиеся рынки, которые пока не сложились в устойчивую экономическую систему.
Рисунок 6: Развитые и развивающиеся рынки.
Также ОНМ позволяет строить индексы и для отдельных секторов экономики. Интерес представляет сравнение индекса финансового сектора с мировым.
Рисунок 7.
Индексы долгое время были близки, затем финансовый сектор испытал более резкое падение. Данное падение началось раньше падения мирового индекса, что согласуется с тем фактом, что мировой экономический индекс берёт своё начало с финансового сектора.
4. МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ НАРУШЕНИЙ РАЦИОНАЛЬНОСТИ ТОРГОВЛИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ
В первых трех главах автором был проделан обзор основных подходов к построению экономических индексов в случаях гладкой, негладкой и дискретной торговой статистики. Был произведён обзор непараметрического и обобщенного непараметрического методов.
В обобщенном непараметрическом методе показатель нерациональности служит не только для построения экономических индексов, но и является важной величиной характеризующей статистику. Показатель нерациональности является величиной, которая характеризует меру рациональности торговой статистики.
На финансовых рынках трейдеры зачастую ведут себя нерационально, искажая тем самым общую статистику и показатель нерациональности. Основные причины нерациональности трейдеров - активность спекулянтов, действия игроков с приватной информацией и взаимозаменяемость акций. Спекулянты, в отличие, от инвесторов оперируют короткими временными интервалами, игра на разности цен, которая зачастую противоположна основному тренду. Игроки с приватной информацией так же вносят существенный вклад в нерациональность статистики, совершая масштабные, неожиданные интервенции. Третья причина - на финансовом рынке большинство акций взаимозаменяемо, в отличие от товарных рынков.
Все эти три причины постоянно присутствуют на бирже и приводят к тому, что за исключением редких случаев показатель нерациональности оказывается больше 1. Логично предположить, что активность нерациональных игроков зависит от товара и от текущего момента времени. Например, спекулянты активизируются при выходе новостей о компании или её отчётности. Игроки с приватной информацией совершают свои операции накануне изменений в цене.
Таким образом, задача исследование рациональности торговой статистики по отдельным моментам времени и по отдельным акциям является актуальной. Возникает задача фильтрации временных точек и номенклатуры товаров.
Цель данной главы - выработать алгоритм сравнения рациональности отдельных точек торговой статистики, выработать алгоритм выявления товаров, торговля которыми приводит к увеличению показателя нерациональности.
4.1 Алгоритм исследования рациональности торговой статистики
Данный раздел ставит цель дать общий план анализа торговой статистики.
Пусть - исследуемая торговая статистика, рационализируемая с показателем нерациональности .
Алгоритм анализа рациональности торговой статистики:
1. Построение временного показателя нерациональности .
2. Поиск множества выбросов ряда .
Пункты 3-7 выполняются для каждой точки
3. Построение множества допустимых векторов спроса
4. Поиск проекции точки на множество , поиск вектора разности
5. Покомпонентная нормировка вектора .
6. Поиск множества выбросов вектора .
7. Анализ цен и спроса выявленных товаров из множества .
Каждый пункт требует детального объяснения и будет описан в данной главе.
4.2 Построение временного показателя нерациональности и его свойства
Пускай дана торговая статистика, которая не является рационализируемоей, то есть, по теореме Африата-Вериана, она не удовлетворяет системе неравенств .
При использовании обобщенного непараметрического метода анализа торговой статистики, система неравенств видоизменяется путём добавления показателя нерациональности :
Теперь сопоставим каждому моменту времени свой показатель нерациональности , где - количество временных точек торговой статистики.
Параметры ищутся путём решения следующей модифицированной системы неравенств:
Очевидно, что набор параметров, при котором система разрешима, существует. Можно в этом убедиться, подставив вместо всех показатель нерациональности .
Будем искать набор параметров, который делает систему разрешимой и при этом удовлетврояет условию .
Данная задача в некотором смысле эквивалентна поиску показателя нерациональности, но оптимизация здесь ведётся не по одному параметру, а по набору из параметров.
Таким образом, решается оптимизационная задача:
(6)
Система (6) эквивалентна системе (7)
(7),
где . Система (7) получается из системы (6) путём логарифмирования обеих частей. Т.к. все компоненты системы (6) положительны, то логарифмирование возможно, и система (7) эквивалентна системе (6). На практике удобнее искать решение системы (7), которое можно найти, например, методами линейного программирования.
Определение 7 Набор параметров , удовлетворяющей системе неравенств (6.1) и критерию (6.2) мы будем называть временным показателем нерациональности.
Отметим некоторые свойства временного показателя нерациональности.
Предложение 8 Пусть - показатель нерациональности торговой статистики , а -показатель временной нерациональности. Тогда выполнены следующие свойства:
1. , т.е. максимальный элемент временного показателя нерациональности не меньше показателя нерациональности .
2. , т.е. минимальный элемент временного показателя нерациональности не больше показателя нерациональности .
3. Если множество временных точек торговой статистики разбито на конечное число непересекающихся подмножеств (назовём их подстатистиками), т.е. , где - множества временных точек, -временной показатель нерациональности исходной торговой статистики, а - вектор, полученный объединение временных показателей нерациональности подстатистик , где объединение понимается в следующем смысле: , то .
Доказательство.
1. Допустим противное - . Подставим в систему (6) вместо величины . При таком наборе параметров система тоже будет разрешима, хотя и не будет давать минимума по оптимизационному критерию. Но раз у нас все показатели нерациональности равны, то они удовлетворяют и системе (3), если положить . По условию нахождения - минимальный параметр, который делает систему (3) разрешимой. Но, если , то это условие нарушено. Противоречие. Значит .
2. Допустим противное - . Рассмотрим ряд в котором все элементы равны . Т.к. , то и . Если все элементы ряда равны, то система (6) превращается в систему (3). Система (3) разрешима при показателе нерациональности , значит и система (6) разрешима при ряде . Но т.к. , значит . Это значит ряд не удовлетворяет критерию (6.1). Противоречие. Значит .