Министерство образования и науки Российской Федерации
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ
(Специализация 010956 “Математические и информационные технологии”)
Магистерская диссертация
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА РАЦИОНАЛЬНОСТИ БИРЖЕВОЙ СТАТИСТКИ
студента 873 группы
Рязанова Василия Владимировича
Научный руководитель
Шананин А.А., д.ф.-м.н., профессор
г. Долгопрудный
2014
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
Индексы потребительских цен и спроса представляют собой обобщенные показатели, позволяющие судить о тенденциях развития экономики в целом. Построению индексов и их анализу посвящено большое число работ([2], [8] и др.). Рассчеты ведутся статистическими службами на основе сравнения потребительской корзины в разные моменты времени (см. например [9]).
Тем не менее, традиционные экономоические индексы Ласпейреса и Пааше не всегда применимы из-за изменения потребительской корзины или структуры цен. В таких случаях происходит замещение товаров. Индексы же Ласпейреса и Пааше предполагают фиксированную потребительскую корзину.
Конюс и Бюшгенс в работах [11], [3] предприняли дальнейшее изучение экономических индексов. Предложенный ими подход учитывал изменение потребительской корзины вследствие перестройки цен и был основан на паретовской теории потребительского спроса [31], [32]. Индексы Конюса предполагают гипотезу рационализируемости. В случае, если экономические данные представляются в виде непрерывной зависимости потребления товаров от цен на них, то говорят, что заданы обратные функции спроса.
Важное условие рационализируемости было предложено Фробениусом и носит название условие интегрируемости. Оно определяет существование интегрирующего множителя у дифференциальной формы обратных функций спроса. Согласно П. Самуэельсону ([38]), данную проблему будем называть проблемой интегрируемости.
В дальнейшем, в ходе работы над теорией экономических индексов, П. Самуэльсоном была создана теория выявленного предпочтения, дающая набор важных эквивалентных условия. Данная теория затем легла в основу непараметрического метода.
Экономисты, как правило, имеют дело с торговой статистикой, которая представляет собой дискретный набор векторов цен и векторов спроса. Рационализируемость торговой статистики подразумевается как возможность продолжить её с дискретного набора точек до непрерывных рационализируемых обратных функций спроса. Опираясь на теорию выявленного предпочтения и теорему Африата-Вериана ([20], [21], [39], [40] ) А.А.Шананиным был предложен непараметрический метод анализа торговой статистики. Данный метод даёт возможность построения положительно-однородного индекса Конюса.
В случае неполной или нерационализируемой торговой статистики А.А.Шананиным ([15]) и М. Хутманом ([28]) было предложено обобщение непараметрического метода. Данный метод носит название обобщенного непараметрического метода (ОНМ). Для торговой статистики вводится скалярный параметр - показатель нерациональности, который характеризует степень нарушения гипотезы рационализируемости.
Дальнейшее исследование показало осмысленность вычисления индексов Конюса для изучения сегментации и структуры финансовых рынков.
При исследовании биржевой статистики, возникает ряд сложностей. Такие особенности биржи, как активность спекулянтов, игроки с приватной информацией и взаимозаменяемость акций приводят к значительному нарушению гипотезы рационализируемости.
Актуальным является выявление нерациональных игроков на рынке, а именно, поиск моментов времени и акций, на которых велись нерациональные торги.
Цель работы состоит в разработке алгоритма поиска нерациональных игроков на рынке, фильтрации моментов времени и номенклатуры товаров для выяления нерациональных точек. Такая фильтрация позволила бы помимо выявления нерациональных игроков, выкалывать из статистики нерациональные точки, для дальнейшего изучения сегментации или построения индексов.
Предложен алгоритм построения временного показателя нерациональности. Предложен алгоритм построения множества прогнозов спроса для выявленных временных точек. Изучены свойства полученных рядов и множеств прогнозов.
Была проведена проверка алгоритма на основе дневной торговой статистики мировых финансовых бирж за период 2004 - 2011 годы. Были проведены эксперименты при различной временной агрегации торговой статистики. Было произведено сравнение выявленных нарушений нерациональности с информацией о компаниях из печатных изданий.
Результаты показали, что метод даёт результаты, которые находят подтверждения в новостных сводках. Анализ цен и объёмов продаж показывает, что поведение статистики выявленных акций меняется в моменты временной нерациональности.
нерациональный игрок торговый финансовый биржа
1. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА О РАЦИОНАЛЬНОМ ПОТРЕБИТЕЛЕ
В данном разделе изложен обзор основных подходов и методов построения экономических индексов в случае когда статистика задается гладкими функциями спроса. Изложена постановка задачи о рациональном поведении.
1.1 Традиционные экономические индексы
Индексы потребительских цен и спроса представляют из себя обощенные показатели, позволяющие исследовать состояние целой экономической системы. Для построения индексов, как правило, используется торговая статистика, состоящая из дискретного набора векторов цен и потребления.
Опишем традиционный подход к построению индексов, основанный на оценке стоимости потребительской корзины (см. [9]).
Пусть - -мерный вектор потребления, а - -мерный вектор цен, где - количество различных товаров. Тогда стоимость потребительской корзины будет равна скалярному произведению . Обозначим период как базовый, а - как текущий. Величина называется индексом цен Ласпейреса, а величина - индексом цен Пааше. Т.к. в экономике присходит замещение подорожавших товаров подешевешими, то индекс Пааше, как правило, больше индекса Ласпейреса. Систематическое отличие между двумя этими индексами носит название эффекта Гершенкрона.
А.А. Конюс в работе [11] предложил подход к построению индексов, который учитывал бы изменение спроса при изменении цен. Исследование проблемы продолжил Бюшгенс [3]. Данный подход основан на паретовской теории потребительского спроса, в основе которой лежит гипотеза рационального поведения потребителя. Потребитель в каждый момент времени выбирает наилучший набор товаров, доступный в силу бюджетных ограничений.
На рисунке 1 продемонстрирован подход Конюса и Бюшгенса. Задана система поверхностей безразличия, на каждой из которых полезность для потребителя неизменна. Момент времени характеризуется спросом и уровнем полезности , а - спросом и уровнем полезности . Набор товаров, имеющий полезность и удовлетворяющий бюджетным ограничениям в момент времени обозначим как . Аналогичным образом обозначим . Величины и будем называть индексом спроса Конюса-Ласпейреса и индексом спроса Конюса-Пааше соответственно.
Рисунок 1.
1.2 Постановка обратной задачи о рациональном поведении
Опишем потребительское поведение с помощью обратных функций спроса . Функции выражают зависимость между векторами цен и векторами потребления . Пусть - класс вогнутых, положительно-однородных первой степени, непрерывных на множестве функций, положительных на множестве
Определение 1 Будем говорить, что обратные функции спроса рационализируемы в классе функций полезности если существует такая функция полезности что справедливо
При этом говорят, что функция полезности рационализирует обратные функции спроса . Данное определение означает то, что при ценах среди всех товаров, которые могли бы быть куплены при бюджете вектор товаров дает максимум функции полезности
1.3 Альтернативные постановки задачи о рациональном поведении
Отметим, что существует другие варианты постановки задачи построения экономических индексов, эквивалентных рационализируемости обратных функций спроса.
Предложение 1 Пусть Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. существуют такие что
2. существует функция такая, что справедливо где - преобразование Янга функции
3. существует рационализирующая обратные функции спроса
Таким образом, возможна постановка задачи о рациональном потребителе не только через обратные функции спроса, но и двойственная ей постановка через прямые функции спроса.
1.4 Индексы Конюса-Дивизиа
Справедливо следующее:
Предложение 2 Пусть функция полезности рационализирует обратные функции спроса .
Пусть (под этим обозначением здесь понимается супердифференциал функции) и , а и . Тогда , то есть индекс Конюса--Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше.
В связи с этим фактом, будем называть рассматриваемые индексы просто индексами Конюса.
Данные индексы являются хорошим средством описания потребительского поведения, т.к. при их использовании мы не сталкиваемся с явлением, подобным эффекту Гершенкрона.
Справедлив следующий факт: если функция полезности рационализирует обратные функции спроса ,то индекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.
В случае, когда - дифференцируемая функция, то условие максимума (2) в задаче (1) принимает вид основной формулы экономических индексов:
Таким образом, проблема построения индексов Конюса спроса и цен ( и ) сводится к поиску интегрирующего множителя для дифференциальной формы обратных функций спроса
Индекс Дивизиа также пользуется большой популярностью в литературе по теории экономических индексов (см. [9]):
В общем случае, индекс Дивизиа зависит от пути интегрирования. Условия при которых индекс Дивизиа не зависит от пути интегрирования изучались в нескольких работах, например, в [29] и [34]. В случае рационализируемости обратной функции спроса в классе дифференцируемых функций из справедливо следующее утверждение:
Предложение 3 (см. [22]) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа вне зависимости от пути интегрирования.
Исходя из данного предложения рассматриваемые индексы будем называть индексами Конюса-Дивизиа.
1.5 Свойства преобразования Янга
В [1] установлено, что преобразование Янга переводит функции из класса в функции из класса . Также, если рассмотреть любую функцию и функцию , связанную с ней формулой , то справедливо двойственное соотношение:
Следовательно, преобразование Янга иновлютивно на классе.
Как известно, все функции класса являются положительно-однородными первой степени. Любая такая функция может быть однозначно задана своей поверхностью уровня. Т.е. функции и однозначно задаются поверхностями и соответственно. В следующем предложении сформулирован геометрический смысл преобразования Янга:
Предложение 4 ([19]) Если функция и , то