Природа этого неизменного отношения между изменяющимися объектами проста: это отношение между следствиями одной причины. Я предлагаю обозначить его лейбницевским термином «предустановленная гармония». Будучи, как и связь состояний, следствием причинной связи, предустановленная гармония как вид отношения необходимости встречается в природе не реже, чем причинная связь и связь состояний. Она существует и между движениями фигурок на крышке музыкальной шкатулки, и между траекториями осколков разорвавшегося снаряда, и между эволюциями галактик, порожденных одним Большим взрывом.
Главное отличие предустановленной гармонии от причинной связи и связи состояний в том, что объекты, между которыми она находится, не соединены законом сохранения непосредственно: мы можем убрать одну фигурку на крышке музыкальной шкатулки, вторая будет совершать те же движения, можем убрать один сосуд с водой, второй будет нагреваться по-прежнему. Объекты, соединенные причинной связью и связью состояний, - это зависимая и независимая переменная. Объекты, соединенные предустановленной гармонией, тоже переменные, но уже не зависящие друг от друга. Но предустановленная гармония под определение отношения необходимости как неизменного отношения между изменяющимися объектами подходит.
Итак, двигаясь от аристотелевского определения необходимого как того, что не может быть иначе, к современному его определению, я различил три формы существования отношения необходимости: причинную связь, связь состояний и предустановленную гармонию. Теперь необходимо решить терминологическую проблему: договориться о термине, родовом по отношению к ним. Я насчитал в литературе семь претендентов на эту роль: «детерминация», «связь», «соответствие», «отображение», «корреляция», «функция», «обусловленность».
Понятия «детерминация» (от лат. «determinare» - определять, ограничивать) и «причинность» обычно употребляются как синонимы. Говоря «А детерминирует В» и «А является причиной В», обычно имеют в виду одно и то же. Но тогда получается, что связь состояний - уже не детерминация, что явно не соответствует интуиции. Я предлагаю различать два вида детерминации: причинную связь и связь состояний. В основе обеих лежит закон сохранения: причина детерминирует следствие тем, что становится следствием, предшествующее состояние объекта детерминирует последующее тем, что превращается в него. Соответствие законам сохранения является дефинитивным признаком отношения детерминации. А поскольку и причинная связь, и связь состояний - это отношения между зависимой и независимой переменной, отношение детерминации можно определить и как отношение зависимости.
Но для обозначения отношения зависимости в литературе существует и еще один термин - «связь». Получается, что детерминация и связь - это одно и то же. Но тогда предустановленную гармонию уже нельзя будет назвать связью: она не является отношением зависимости.
В процессе развития познания эта терминологическая проблема была решена по методу гордиева узла: термин «связь» стали употреблять в двух смыслах: узком и широком. Связь в узком смысле - это отношение детерминации или зависимости. Связь в широком смысле - это отношение соответствия, т. е. неизменное отношение между изменяющимися объектами. Под это последнее определение подходят не только причинная связь и связь состояний, но и предустановленная гармония. Все три отношения необходимости - это неизменные отношения между изменяющимися объектами. Но охватывает ли это определение все типы отношения необходимости?
Рассмотрим неизменное отношение между двумя изменяющимися величинами: весом и ростом развивающегося ребенка. Его можно представить как отношение между элементами двух множеств: множеством его весов и множеством его ростов. Это позволяет неизменное отношение между изменяющимися величинами представить как неизменное отношение между элементами двух множеств.
Такое «переключение гештальта» открывает новый тип отношения необходимости: перед нами неизменное отношение между элементами двух множеств. Причем одной и той же формулой можно описать и соответствие между возрастами и ростами одного ребенка в процессе его развития, и соответствие между возрастами и ростами множества одновременно живущих разновозрастных детей. В последнем случае связь представляет собой соответствие между элементами неизменных множеств. Понятия изменяющихся объектов исчезает из общего определения связи и остается лишь в определении первых трех ее разновидностей - причинной связи, связи состояний и предустановленной гармонии. Это позволяет определить связь как отношение соответствия между объектами любой природы. Снова напрашивается обобщение: отношение необходимости - это связь в данном широком смысле.
Это определение отношения необходимости является онтологическим. На его основе можно сформулировать и его гносеологическое определение: отношение необходимости (связь) - это такое отношение f между объектами a и b, зная которое и зная один из относящихся объектов, можно узнать и другой.
Подчеркну, что все рассмотренные выше виды отношения необходимости связаны: причинная связь первична, связь состояний вторична, предустановленная гармония третична, соответствие между двумя множествами значений изменяющихся величин стоит в этой генетической цепи на четвертом месте, а соответствие между элементами неизменных множеств является пятым звеном этой цепи.
Подчеркну то, к чему обычно стараются не привлекать внимания: предельную элементарность понятия «отношение необходимости». Следствием его предельной элементарности является и его исключительная важность. Формой проявления этой важности является изобилие терминов, которыми это отношение обозначается. Напомню их: «детерминация», «связь», «соответствие», «отображение», «корреляция», «функция», «обусловленность». Наиболее употребителен в науке термин «функция». Именно он фигурирует в названии одного из важнейших разделов математики - теории функций. Моя цель - выяснить соотношение понятий «функция» и «отношение необходимости».
Функция
Понятие «функция» (от лат. functio - исполнение, осуществление) ввел в математику Лейбниц. После этого оно определялось множеством способов. Г.М. Фихтенгольц считает, что этот процесс умножения определений остановил П. Дирихле, которому принадлежит заслуга «выдвижения на первый план идеи соответствия, которая единственно лежит в основе этого понятия»5.
В простейшем случае, рассмотрением которого я ограничусь, речь идет об отношении соответствия f между двумя изменяющимися величинами («переменными»): независимой x и зависимой у. Это открывает возможность для трех дополняющих друг друга определений функции:
1. «Переменная y называется функцией от переменной x в области ее изменения X, если по некоторому правилу или закону каждому значению x из X ставится в соответствие одно определенное значение y из F»6. Г.М. Фихтенгольц называет здесь функцией зависимую переменную y.
2. Функцией иногда называют только чистое отношение f между зависимой переменной y и независимой переменной х.
3. Встречается и трактовка функции как триединства независимой переменной х, зависимой переменной y и отношения соответствия f между ними, выражаемого формулой «y = f (х)».
Все три определения функции правомерны. Выбор между ними определяется задачами исследования. Для моей задачи - понять функцию как отношение необходимости - удобнее трактовать ее как чистое отношение f, остающееся за вычетом его носителей. Фихтенгольц понимает его как отношение соответствия между изменяющимися величинами, переменными. Такое понимание функции f условимся называть классическим. Ему соответствуют гносеологические определения функции как правила f, по которому, зная значение х, можно определить единственное значение у. Например, пусть независимая переменная - это диаметр D окружности, а зависимая переменная - длина L самой окружности. Чтобы из знания независимой переменной получить знание о зависимой, достаточно длину диаметра умножить на п: L = nD. Это правило умножения и понимается в данном случае как функция f в ее гносеологической интерпретации.
На начальных этапах развития математического естествознания классическое понимание функции вполне соответствовало практике исследования. Оно прекрасно иллюстрируются на примере нахождения следствия по известной причине, но дает сбои уже при нахождении причины по известному следствию: следствие приходится называть независимой, а причину - зависимой переменной, что явно бессмысленно. Эта же трудность возникает и при попытках распространить классическое определение функции на предустановленную гармонию: между движениями фигурок на крышке музыкальной шкатулки есть отношение соответствия, выражаемое формулой y = f (х), но нет отношения зависимости: одну фигурку можно снять, вторая будет совершать все те же движения.
Итак, классическое определение функции через понятия независимой и зависимой переменной не охватывает всех тех отношений, которые называют функциональными в практике современного познания и выражают формулой «y = f (х)». Это определение пытаются спасти, говоря, что понятия независимой и зависимой переменной не следует понимать буквально. А не буквально - это как?
Еще одна трудность классического определения функции открывается, если учесть, что в современной теории функций функциональным отношением связывают не только величины, но и объекты, охарактеризованные лишь качественно. Например, график дежурств, устанавливающий соответствие между людьми и днями недели, А.Н. Колмогоров приводит в качестве примера функционального отношения7.
Обе трудности снимает разделяемое А.Н. Колмогоровым теоретико-множественное определение функции как «отображения одного множества на другое (области определения функции на множество ее значений)»8. Правда, вместо введенного П. Дирихле термина «соответствие» А.Н. Колмогоров употребляет здесь термин «отображение», но сути дела это не меняет: в контексте анализа конкретных проблем он эти два термина употребляет как синонимы.
Важно видеть, что под теоретико-множественное определение функции можно подвести все отношения, подходящие под ее классическое определение: отношения соответствия между двумя переменными величинами можно представить как отношение между двумя множествами значений этих величин. Причем для символизации теоретико-множественного определения функции вполне подходит формула y = f (x). Эта формула фиксирует черты, общие соответствиям любой природы. Ее математическая сущность оказалась значительно более общей, чем классическая интерпретация функции.
В формуле y =f (x) переменные y и x различают не только онтологически, но и гносеологически: x - это уже известная, а y - еще не известная переменная. Деление переменных на известные и неизвестные позволяет безо всякого насилия над языком описать все ситуации, в которых применяется понятие функции, в том числе и к соответствиям между элементами неизменных множеств, например, к соответствию между возрастами и ростами одновременно существующих разновозрастных детей или к соответствию между одновременно существующими окружностями и их диаметрами.
Мой вывод: понятие функции в его самом общем, теоретикомножественном смысле наиболее строго и полно выражает то, что философы называют отношением необходимости или просто необходимостью. Колмогоров А.Н. Что такое функция? // Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. М., 1988. С. 68.
Там же.
Случайность
Сказанного об отношении необходимости и его носителях - необходимых объектах - достаточно, чтобы приступить к анализу категории «случайность». Одни философы признают объективное существование случайности, другие отрицают, однако для того чтобы дискуссия между ними была конструктивной, необходимо договориться, что мы будем обозначать этим термином.
Случайное и случайность. Выше я различил необходимое и необходимость: необходимое - это событие, необходимость - это отношение к другому событию или к условиям, которые делает это событие необходимым. Представляется очевидным, что точно так же различаются случайное и случайность: случайно событие, а случайность - это такое его отношение к его условиям, которое делает это событие случайным. При этом неявно предполагается, что отношение случайности так же реально, как и отношение необходимости: они соотносятся примерно так же, как отношения сходства и несходства.
Это ошибка. Никакого отношения случайности, парного отношению необходимости, в объективном мире не существует. Случайность - это просто отсутствие отношения необходимости, пустота на его месте. Понятия «необходимость» и «случайность» соотносятся как понятия «бытие» и «ничто»: ничто - это просто отсутствие бытия, случайность - просто отсутствие необходимости.
По вопросу о существовании случайных, т. е. ничем не детерминированных событий на протяжении всей истории философии противоборствуют две точки зрения.
Согласно первой любое событие в объективном мире, от солнечного затмения до укуса комара, однозначно детерминировано предшествующей ему историей этого мира. Поэтому все события в этом мире делятся на два класса: 1) те, необходимость которых уже познана, и 2) те, необходимость которых еще не познана. Эту-то непознанную необходимость и называют случайностью. Я буду называть ее также псевдослучайностью.