В третьей главе рассматриваются вопросы расчета нелинейных пластинчатых систем на устойчивость. На основе уравнений, составленных во второй главе, получены дифференциальные уравнения устойчивости. Поперечная нагрузка Q выражается по В.З.Власову через продольную силу P (рис. 2) и кривизну:
(14)
Рис.2. Общий вид пластинчатой системы с действующей нагрузкой
Здесь а и являются координатными функциями. Под ni понимаем нормальное напряжение, вызванное в поперечном сечении пространственной системы от действия приращения Р продольной нагрузки.
В результате подстановки (14) во вторую группу уравнений (6) получим дифференциальное уравнение устойчивости для нелинейной пластинчатой системы, взаимодействующей с упругой средой:
(15)
Предложена методика расчета на действие продольных и поперечных нагрузок физически нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой, когда точки поперечного сечения оболочки имеют только нормальные перемещения. Отмечено, что нелинейные дифференциальные уравнения продольно-поперечного изгиба призматической оболочки с несмещающимися ребрами позволяют рассчитывать и пластины в упругой среде.
Дифференциальные уравнения для расчета призматических оболочек с несмещающимися ребрами и пластин на продольно-поперечный изгиб (устойчивость) имеют вид:
(16)
При решении задачи задаем начальное несовершенство в пластинчатой системе. Для этого вводим бесконечно малую величину поперечной нагрузки в уравнении (15) и (16). В уравнениях (15, 16) соответственно силы P и являются параметром критической нагрузки.
Составлен алгоритм решения задачи на устойчивость. Для решения нелинейной задачи используется численная методика определения критической нагрузки. Для этого нагрузка разбивается на малые величины Р. Двигаясь по параметру нагрузки, мы должны каждый раз удовлетворять граничным условиям на краях оболочки. Для этого используется итерационный процесс типа Ньютона. При приближении нагрузки к критической величине итерационный процесс начинает расходиться. Уменьшая шаг величины Р можно с достаточной точностью определить величину критической нагрузки.
В четвертой главе на основании полученных уравнений (6) исследованы напряженно-деформированные состояния различных пластинчатых систем.
По методике, изложенной во второй главе, проведен расчет П-образной пластинчатой системы (рис. 3), когда верхняя и правая пластины контактируют с упругой средой. Упругая среда задана в виде однослойного основания, а внешняя равномерно распределенная нагрузка q, расположенная в плоскости верхней грани, действует по левому верхнему краю в поперечном направлении по всей длине оболочки. Оболочка рассматривалась при двух видах граничных условий на торцах:
а) края опираются на диафрагмы, абсолютно гибкие из своей плоскости и абсолютно жесткие в плоскости;
б) края заделаны в абсолютно жесткие неподвижные массивы.
Рис. 3. Схема действующей нагрузки и поперечного сечения оболочки в упругой среде
Исследовано влияние физической нелинейности на напряженно-деформированное состояние (НДС) системы. Геометрические параметры призматической системы принимались следующие: д/а = 1/10 - отношение толщины к поперечному размеру; l/a = 5 - 9 отношение длины к поперечному размеру; Н1/a = Н/a = 2.5 - отношение толщины деформируемых слоев к поперечному размеру оболочки. Физические постоянные - Е1/Е = 106, н = 0, Е0/G = 0.001, н0 = 0.3. Q = q/Gд = 5 10-5 - относительная величина нагрузки.
Во всех случаях упругая среда уменьшает влияние физической нелинейности на НДС системы, что вполне очевидно, т.к. упругая среда уменьшает деформацию системы.
На рисунке 4 представлен график изменения относительного поперечного перемещения V/ верхнего ребра по относительной длине l/2a пластинчатой системы с учетом упругой среды при опирании торцов на диафрагмы. Кривая 1 построена по линейной теории с учетом упругой среды, кривая 3 построена для физической линейной пластинчатой системы без упругой среды, а 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды.
На рисунке 5 приведен характер изменения изгибающего момента в среднем сечении пластинчатой системы в наиболее напряженной точке С.
Из графиков видно (рис. 4., рис. 5.), что упругая среда значительно может снижать напряженно-деформированное состояние оболочек. При учете физической нелинейности увеличиваются перемещения в призматической системе. Если учитывать одновременно упругую среду и нелинейное деформирование материала оболочки, то при определенных соотношениях степени физической нелинейности и модуля деформации упругой среды напряженно-деформированное состояние пластинчатой системы можно определять по линейной теории. Анализ результатов расчета показал, что коэффициент , учитывающий работу упругой среды на сдвиге мало, влияет на напряженно-деформированное состояние оболочки (в пределах 1% - 2%, на рисунке 5 кривые 4 и 5).
В определенных случаях может оказаться так, что физически нелинейную пластинчатую систему можно рассчитывать по линейной теории при наличии упругой среды. Упругая среда будет гасить влияние физической нелинейности.
Рис. 4. Графики изменения относительного перемещения верхнего ребра по длине оболочки: 1, 3 - по линейной теории соответственно с учетом и без учета упругой среды; 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды
Рис. 5. Графики изменения относительной величины максимального изгибающего момента Мs, действующего в поперечном направлении в угловой точке С в сечении x=l/2 в зависимости от относительной длины оболочки: 1, 3 - по линейной теории соответственно с учетом и без учета упругой среды; 2 - с учетом физической нелинейности и упругой среды.
Рассматривалась односвязная пластинчатая система на действие крутящей и продольной нагрузок (рис. 6)
Рис. 6. Поперечное сечение оболочки, взаимодействующей с упругой средой и схема ее загружения
В качестве следующего примера выполнен расчет пластинчатой системы замкнутого поперечного сечения, контактирующей с упругой средой, на действие сжимающей по торцам и крутящей нагрузок. Геометрические параметры оболочки следующие: д/а = 1/48 - отношение толщины стенки оболочки к поперечному размеру, l/a = 15 - отношение длины к наибольшему поперечному размеру, а/в = 1.5 - отношение большей стороны поперечного сечения к меньшей. Отношение деформируемого слоя упругой среды к поперечному размеру системы равно Н/a = 2.5, а отношение модуля деформации к модулю сдвига - Е0/G = 0.001. Степень физической нелинейности принималась Е1/E = 105. Сжимающие силы прикладываются к торцам оболочки, кручение создается распределенной нагрузкой, приложенной по верхним ребрам (2). Края оболочки опираются на диафрагмы, которые считаются абсолютно гибкими из своей плоскости и абсолютно жесткими в ней.
Задача решается численным методом. Интегрирование нелинейных дифференциальных уравнений проводится методом Рунге-Кутта. При приближении к критическому состоянию деформации начинают неограниченно расти. Данные в третьей главе уравнения позволяют исследовать призматическую систему на устойчивость. При отсутствии упругой среды и решении задачи в линейной постановке относительная величина критической нагрузки равнялась Q. = P/Gд2 = 2.6*10-3, а при учете упругой среды - Q=3.2*10-3. При наличии физической нелинейности и упругой среды величина критической нагрузки уменьшается до Q=2.9*10-3.
Далее рассмотрен пример расчета на продольно-поперечный изгиб прямоугольной плиты. При этом для сравнения численного расчета показан расчет в тригонометрических рядах в первом приближении. Результаты расчетов показывают, что напряженно-деформированное состояние плиты значительно зависит от соотношения Е0/Е, высоты упругой среды Н и соотношения продольной нагрузки к поперечной.
Заключение
1. Получены нелинейные дифференциальные уравнения статического расчета пластинчатых систем типа призматических оболочек, взаимодействующих с упругой средой, представленной однослойной моделью
2. Получены нелинейные дифференциальные уравнения устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде.
3. Составлены дифференциальные уравнения для расчета физически нелинейных пластинчатых систем типа призматических оболочек с несмещающимися ребрами при продольно-поперечном изгибе.
4. Разработаны алгоритмы расчета призматической оболочки с учетом физической нелинейности материала оболочки и упругой среды.
5. Составлена программа для численного решения задач статики и устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем, реализующая предложенный алгоритм.
6. Исследовано влияние физической нелинейности и упругой среды на напряженно-деформированное состояние и устойчивость пластинчатой системы.
7. Показано, что учет физической нелинейности увеличивает напряженно-деформированное состояние в призматических оболочках, а учет упругой среды уменьшает.
8. Анализ полученных результатов показал, что при определенных соотношениях физической нелинейности и упругой среды (при степени физической нелинейности равной и отношении модуля деформации к модулю сдвига ) в нелинейных задачах можно получить результаты близкие к результатам, полученным по линейной теории.
Литература
1. К расчету физически нелинейных призматических оболочек в упругой среде // Четвертые Вавиловские чтения: Материалы постоянно действующей Всероссийской междисциплинарной научн. конференции. - Йошкар-Ола, 2000. - Ч.3. - С. 203-206 (Соавтор Иванов С.П.)
2. Продольно-поперечный изгиб плит, лежащих на упругом основании// Материалы междунар. науч.-практ. конф. "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов" -Йошкар-Ола, 2004 -С.297-298.
3. К расчету на устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде// Тезисы докл. Междунар. молодеж. науч. конф.: ХХХ Гагаринские чтения. -М., 2004. -С.21-21. (Соавтор Иванов С.П.)
4. Устойчивость пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Седьмые Вавиловские чтения: Материалы Всерос. междисциплинар. науч. конф. с международным участием -М.-Йошкар-Ола, 2004. -С.279-287. (Соавтор Иванов С.П.)
5. Устойчивость пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой // Материалы междунар. науч.-практ. конф.: "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов".-Йошкар-Ола, 2004 -С.288-297. (Соавтор Иванов С.П.)
6. Расчет физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Журнал РАН: Механика композиционных материалов и конструкций - М., 2005. - Т.11, №1. - C.146-155. (Соавтор Иванов С.П.)
7. Устойчивость и продольно - поперечный изгиб призматических систем в упругой среде// Труды XXI междунар. конф. по теории оболочек и пластин - Саратов, 2005. - С.90-95. (Соавтор Иванов С.П.)
8. О продольно-поперечном изгибе в упругой среде физически нелинейных пластинчатых систем, имеющих несмещаемые ребра// Наука в условиях современности: Сб. статей. - Йошкар -Ола: МарГТУ, 2006. -С.184 - 188. (Соавтор Иванов С.П.)
9. Приложение вариационного метода В.З. Власова к расчету физически нелинейных пластинчатых систем, взаимодействующих с упругой средой// Сб. трудов МГСУ посвященной столетию В.З. Власова - М., 2006. - С.79 - 88. (Соавтор Иванов С.П.)
10. Об устойчивости физически нелинейных пластин// IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. - Нижний Новгород. Т.3, 2006. - С.99. (Соавтор Иванов С.П.).
11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006613281. Программа расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой из нелинейно-упругих материалов. -№ 2006612511; Заявлено 20.07.2006; Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 18.09.2006. (Соавторы Иванов С.П., Лоскутов Ю.В.)