Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Специальность 05.23.17 - Строительная механика
напряженно-деформированное состояние и устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой
Иванов Олег Геннадьевич
Москва - 2006
Общая характеристика работы
Актуальность. В настоящее время во многих областях техники и строительства применяют тонкостенные пространственные системы в качестве различных инженерных сооружений. Часть из этих сооружений взаимодействуют с упругой средой. К ним относятся подземные переходы, тоннели, фундаменты и т.д., в технике как упругую среду можно рассматривать оболочки с ребрами жесткости.
Достаточно большое число материалов, применяемых в строительстве и технике, обладают нелинейной диаграммой деформирования, т.е. при расчетах необходимо учитывать физическую нелинейность. Если рассматривать диаграммы деформирования бетонов, различных сплавов, композитов, то видно, что они являются нелинейными.
Проблеме расчета конструкций на упругом основании, посвящены многочисленные научные исследования. Большинство работ относится к расчету на винклеровском основании физически линейных пластинчатых систем. Практически нет работ, связанных с расчетом пластинчатых систем в упругой среде с учетом нелинейной диаграммы деформирования материала оболочек.
Расчет пространственных систем с учетом физической нелинейности значительно трудоемок по сравнению с расчетом конструкций в линейной постановке.
Для более точной постановки коэффициента запаса прочности конструкции, и правильной оценки ее работы необходимо дальнейшее развитие методики расчета пространственных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой на прочность и устойчивость при наличии физической нелинейности. Поэтому разработка методики статического расчета и расчета на устойчивости пластинчатых систем в упругой среде с учетом физической нелинейности материала является актуальной проблемой.
Целью диссертационной работы является:
Разработка алгоритма, методики статического расчета и устойчивости физически нелинейных пластинчатых систем в упругой среде. Построение эффективных математических моделей расчета нелинейных пластинчатых систем на прочность и устойчивость. Разработка вычислительных алгоритмов, программных средств.
Научную новизну работы составляют:
получены основные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия и устойчивости пластинчатой системы в упругой среде, представленной однослойной моделью;
разработан алгоритм расчета призматической оболочки и программа, реализующая предложенный алгоритм;
составлено дифференциальное уравнение для расчета физически нелинейных пластинчатых систем типа призматических оболочек с несмещающимися ребрами при продольно поперечном изгибе;
исследовано влияние физической нелинейности и упругой среды на напряженно-деформированное состояние и устойчивость пластинчатой системы.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные алгоритмы и составленные программы могут быть использованы в настоящее время в инженерных расчетах с применением ПЭВМ. Алгоритм и методика расчета использованы при проектировании подземных сооружений проектным институтом "Марийскгражданпроект".
Обоснованность и достоверность научных положений устанавливается сходимостью решений, сопоставлениями с результатами других методов, а также точным выводом дифференциальных уравнений.
Положения, выносимые на защиту:
1. Математические модели статического расчета и устойчивости пластинчатых систем с учетом физической нелинейности материала оболочки, взаимодействующей с упругой средой.
2. Алгоритмы статического расчета и расчета на устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем типа призматической оболочки, взаимодействующей с упругой средой.
3. Результаты анализа напряженно-деформированного состояния и устойчивости пластинчатых систем в зависимости от степени физической нелинейности и упругой среды.
Апробация работы. Результаты работы докладывались или публиковались в трудах научно-технических конференций:
IV и VII Вавиловских чтениях. Всероссийские междисциплинарные научные конференции (Йошкар-Ола, 2000, 2003, 2004 гг.),
ХХХ Гагаринские чтения. Международные молодежные научные конференции (Москва, 2004г.),
XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек (Саратов, 2005 г.),
Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы строительного и дорожного комплексов" (Йошкар-Ола, 2004 г.),
IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.),
на заседании кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2006г.),
на заседании кафедры сопротивления материалов и прикладной механики МарГТУ (Йошкар-Ола, 2006г.).
По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ. Наименования работ приводятся в списке использованной литературы.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы. Общий объем ее составляет 116 стр. и включает в себя 1 таблицу, 32 рисунка и список литературы из 127 наименований.
Краткое содержание работы
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертационной работы, приведены основные положения, составляющие научную новизну, практическую ценность и достоверность полученных результатов. Кратко излагается содержание работы по главам.
В первой главе приведен краткий обзор работ, связанных с расчетом тонкостенных пространственных систем, контактирующих с упругой средой, на статику и устойчивость.
Приводятся описание различных материалов (сплавы, пластмассы, композиты) диаграммы деформирования, которых можно аппроксимировать в виде кубической параболы.
Рассмотрены некоторые основные модели упругих оснований, наиболее часто применяемых при расчетах сооружений. Среди них наибольшее распространение получили модели Винклера, упругого полупространства, модель упругого основания с двумя коэффициентами постели и т.д. Проанализированы работы, связанные с расчетом оболочек, лежащих на неоднородном основании - Н.Н. Леонтьева, В.В. Петрова, и др.
Расчет балок и плит, контактирующих с упругой средой с использованием выше перечисленных и других моделей упругих оснований, связан с работами известных ученых, таких как Власов В.З., Габбасов Р.Ф., Горбунова-Посадов М.И., Клейн Г.К., Коренев Б.Г., Леонтьев Н.Н., Петров В.В., Соболев Д.Н., Травуш В.И. и др.
Вопросу расчета тонкостенных пространственных систем типа призматических оболочек с учетом и без учета упругой среды посвящены работы Березинской О.А., Власова В.З., Иванова С.П., Кузнецова О.Р., Леонтьева Н.Н., Пастушихина В.Н., Петрова В.В. и др.
Проблеме расчета оболочек вращения посвящены многочисленные исследования. Теория цилиндрических оболочек представляет собой частный случай общей теории оболочек, которые изложены в работах В.З. Власова, П.Л. Пастернака, С.П. Тимошенко. Кроме того, расчет цилиндрических оболочек, взаимодейсвующих с упругой средой, изложен в работах Кима В.Е., Серова М.В, Шашвалеева К.Ф., Якубова С.Х. и др.
Из приведенного краткого обзора в конце главы сделаны выводы, по которым сформулированы задачи диссертации. Можно отметить, что обзор работ по теории расчета пластинчатых систем в упругой среде показывает, что они в основном относятся к расчету физически линейных пластинчатых систем на винклеровском основании. Методика расчета в винклеровском варианте вносит определенную погрешность, особенно когда конструкция контактирует со связанными средами, так как здесь не учитываются касательные напряжения. В разрабатываемой методике упругая среда принимается как однослойное основание конечной толщины Нm. По сравнению с винклеровским основанием данная модель более совершенно способна “распределять” нагрузку.
Во второй главе разрабатывается методика статического расчета пластинчатых систем в упругой среде с учетом физической нелинейности. В основу методики положены известные гипотезы теории призматических оболочек В.З.Власова, гипотеза о нелинейно-упругом материале, гипотезы теории тонких оболочек Кирхгофа - Лява. Интенсивности напряжений уi и деформаций ei связываются в виде кубической параболы.
(1)
где Е и Е1 - постоянные, принимаются из опытных данных.
При выводе уравнений учитывается сжимаемость материала и полагаются справедливыми законы малых упругопластических деформаций А.А. Ильюшина. Связь между деформациями и перемещениями осуществляется в форме:
(2)
Перемещения u в продольном x, v - поперечном s и w - нормальном z направлениях (рис. 1) выбираем по В.З.Власову в виде разложений:
(3)
Для вывода уравнений использовался энергетический метод. Составлялась полная энергия для системы. Из условий совместности деформаций в местах соединений пластинчатой системы можно принять при d=k
(4)
Используя уравнения Эйлера-Лагранжа с учетом (4), определяли экстремум полной энергии.
Рис. 1. Общая схема пластинчатой системы в упругой среде
Полагая, что прогибы пластин системы совпадают с осадкой упругой среды, присоединив работу реактивных давлений упругой среды соответственно в продольном и нормальном направлениях:
(5)
получаются обыкновенные нелинейные дифференциальные уравнения равновесия пластинчатой системы, взаимодействующей с упругой средой:
(6)
нелинейный пластинчатый упругий программный
где - отношение модуля упругости к модулю сдвига,
Все коэффициенты линейной части уравнений определяются по В.З.Власову кроме еhk, который учитывает действие изгибающего момента Мx в продольном направлении, и mhk, учитывающего крутящий момент Мxs:
(7)
Выражения правых частей Фj, Фh учитывают физическую нелинейность задачи и из-за громоздкости записи в развернутом виде не приведены. Отбросив упругую среду и нелинейные части, приняв коэффициенты ehk=mhk=hk=0, получим уравнения, полностью совпадающие с уравнениями В.З.Власова для расчета призматических оболочек в линейной постановке.
Упругая среда учитывается в виде однослойного основания, и коэффициенты уравнений имеют следующий вид:
(8)
где 0<ks<1 (коэффициент, учитывающий трение упругой среды с оболочкой)
где Е0, 0 - модуль деформации и коэффициент Пуассона упругой среды, Hm - высота слоя основания.
Используя вышеуказанную методику, получаем дифференциальные уравнения для расчета нелинейных пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой, когда точки поперечного сечения оболочки имеют только нормальные перемещения.
При этом деформации выражаются следующим образом:
(9)
Нормальные перемещения принимаем в виде разложения:
(10)
Выбор координатных функций fk(s) проводится в соответствие деформированным состоянием системы, а искомые функции Wk(x) являются обобщенными прогибами и подлежат определению из решения задачи.
Составляем полную энергию для системы. Определяем минимум энергии, используя уравнения Эйлера-Лагранжа. Полагаем, что прогибы пластин системы совпадают с осадкой основания и, присоединив работу реактивных давлений упругой среды, после некоторых преобразований получим нелинейные дифференциальные уравнения равновесия для пластинчатых систем, имеющих несмещаемые ребра:
(11)
где нагрузка Qi равна:
Выражение Фi в (11) учитывает физическую нелинейность материала оболочки и имеет следующий вид:
(12)
Индексы после запятой в (12) показывают на дифференцирование выражений по данным переменным. Функции, входящие под интегралы, имеют следующий вид:
(13)
где = 3 E2 5/20; E2 = E1/E(1+)2.
Таким образом, в реферируемой работе получены дифференциальные уравнения, позволяющие учитывать физическую нелинейность в пластинчатых системах, взаимодействующих упругой средой. На основе уравнений (11) также можно рассчитывать и пластины.
Для решения статических уравнений на ПЭВМ составлена фортран - программа. Численное интегрирование дифференциальных уравнений проводилось методом Рунге - Кутта. Здесь непосредственно интегрировались нелинейные дифференциальные уравнения. Для поиска недостающих условий на краях пластинчатой системы в краевой задаче применялся метод итераций типа Ньютона. Решение тестовых примеров показывает достаточную точность получаемых результатов.