Индексы «sv», «PHA» и «m» соответствуют связующему, перхлорату аммония и алюминию.
Приведенная математическая модель учитывает неоднородность теплофизических свойств компонентов смесевого твердого топлива и позволяет исследовать процесс прогрева СТТ до момента начала газификации связующего.
Основные выводы, которые можно сделать из анализа литературы по прогреву и зажиганию твердого топлива К-фазой:
- вклад кондуктивного (контактного) теплового потока в общий тепловой поток может превосходить 50%;
- при значительной массовой и объемной доле металлов в воспламенительном составе требуется рассматривать неодномерные модели течения двухфазной среды;
- К-фаза полагается многофракционной по причине соударения К-частиц как между собой, так и со стенками камеры сгорания.
а) частица оксида; б) частица металла с оксидной пленкой
Рисунок 2 - Расчетная схема (1 - оксид металла; 2 - ТТ; 3 - металл)
Применение в воспламенительных составах металлов (алюминий, магний) требует изучения влияния частиц оксидов этих металлов на прогрев и воспламенение твердого топлива. Оксиды металлов, образуемые при сгорании твердых топлив, имеют сферическую форму. Однако при контакте с зарядом твердого топлива происходит деформация К-частицы. От соударения частица приобретает форму, близкую к цилиндрической, что показано на рисунке 2.
При решении сформулированной задачи могут быть приняты допущения:
1. Поверхностный слой ТТ не деформируется после контакта.
2. Теплообмен между частицей и зарядом происходит в условиях идеального контакта.
3. В виду малых размеров К-частиц (до 150 мкм) их влиянием на конвективную составляющую теплообмена ТТ с окружающей средой можно пренебречь.
4. Учитывается влияние температуры на теплофизические свойства оксидов металлов, так как диапазон исследуемых температур от 700 K до 2000 K.
5. Твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.
Математическая модель нагрева твердого топлива частицей металла с оксидной пленкой:
(3)
где - доля прореагировавшего вещества.
Индексы «t», «ok» и «m» соответствуют топливу, оксиду металла и металлу.
Начальные и граничные условия:
(4)
где ф1 - время воспламенения твердого топлива.
Используя приведенную математическую модель, можно исследовать процесс теплообмена между твердым топливом и К-частицами различной структуры. Такой подход позволяет учитывать особенности процесса зажигания заряда твердого топлива частицами воспламенительного состава, что мало описано как в отечественной, так и в зарубежной литературе.
Тепловой нож (ТН) представляет собой пространственную деталь из тугоплавкого металла (вольфрам, молибден, ниобий). После разогрева теплового ножа в камере сгорания и соприкосновения ТН с горящей поверхностью заряда происходит локальное увеличение теплообмена. Итогом этого является местное форсирование скорости горения твердого топлива. Такой эффект может быть использован в двигательных установках с регулируемыми параметрами.
Результатами натурных экспериментов являются выводы о том, что РДТТ с регулируемыми параметрами требуют использования зарядов из безметального топлива с температурой продуктов сгорания от 1500 до 1700 K при времени работы от 100 с. В таких сложных условиях использование жаропрочных сталей не представляется возможным. Тугоплавкие материалы сочетают в себе эксплуатационные и технологические свойства, востребованные при конструировании тепловых ножей.
Процесс взаимодействия теплового ножа с зарядом твердого топлива изображен на рисунке 3.
Рисунок 3 - Расчетная схема теплового ножа и твердого топлива (1 - тепловой нож; 2 -участок твердого топлива)
Допущения в задаче прогрева тепловым ножом заряда твердого топлива:
1. Твердое топливо деформируется только в зоне контакта с тепловым ножом;
2. Глубина врезания теплового ножа соизмерима с глубиной прогретого слоя;
3. Теплообмен между тепловым ножом и зарядом идет в условиях идеального контакта;
4. Твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.
Математическая формулировка плоской двухмерной задачи нестационарной теплопроводности имеет вид, аналогичный (1). Начальные и граничные условия аналогичны (2).
Приведенная модель в двухмерной постановке позволяет исследовать процесс пиролиза твердого топлива при контакте ТТ с тепловым ножом.
В работе выполнен обзор существующих конструкций зарядов твердого топлива, в которых можно применить неизвлекаемые теплопроводные элементы (НТЭ). Неизвлекаемые теплопроводные элементы представляют собой пространственные детали, устанавливаемые в заряде твердого топлива, что позволяет отказаться от изготовления конструктивных элементов в теле заряда (канавки, проточки). Основными предполагаемыми достоинствами НТЭ являются: снижение трудоемкости изготовления заряда твердого топлива; изменение горящей поверхности в широком диапазоне; повышение коэффициента объемного заполнения камеры сгорания. Для практического применения неизвлекаемого теплопроводного элемента нерешенными вопросами являются:
- выбор материалов;
- выбор формы поперечного сечения НТЭ;
- обеспечение гарантированного воспламенения в зоне контакта НТЭ и заряда.
Рассмотрим неизвлекаемый теплопроводный элемент в качестве альтернативы радиальной кольцевой проточке, как показано на рисунке 4.
Рисунок 4 - Заряд РДТТ с радиальной кольцевой проточкой
Для исследования теплообмена между НТЭ и твердым топливом делаются следующие допущения:
1. Большая температуропроводность материала НТЭ в сравнении с температуропроводностью ТТ (это позволяет рассчитывать НТЭ по одномерным математическим моделям);
2. Теплообмен между НТЭ и зарядом идет в условиях идеального контакта;
3. Твердое топливо воспламеняется по твердофазной модели.
Математическая модель осесимметричной двухмерной задачи нестационарной теплопроводности имеет вид аналогичный (3). Начальные и граничные условия аналогичны (4).
Во второй главе («Численные методы решения задач теплопроводности») проводится анализ существующих численных методов решения уравнения теплопроводности: метод конечных разностей, метод взвешенных невязок, метод контрольных объемов (интегро-интерполяционный), конечно-элементный метод, спектральный метод. Кроме того, описаны способы дискретизации расчетной области.
Метод контрольных объемов позволяет, с одной стороны, решать параболические, гиперболические и эллиптические задачи, а с другой - использовать адаптивные сетки в расчетных областях со сложной геометрией.
Для создания на базе конечно-объемного метода алгоритма, позволяющего рассчитывать теплопроводность в материалах с существенно меняющимися теплофизическими характеристиками на неортогональных и неупорядоченных сетках расчетной области, был использован закон сохранения энергии в интегральной записи. Уравнение нестационарной теплопроводности рассматривается в виде:
, (5)
где , ,
, .
Индексы «i» и «j» поясняются на рисунке 5.
Рисунок 5 - Расчетная схема из неортогональных контрольных объемов
Для решения нестационарных уравнений теплопроводности в конечно-объемной постановке могут применяться различные численные методы: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта, метод Адамса-Башфорта.
При решении уравнения (5) принимаются следующие допущения:
- аппроксимация производной температуры по времени:
,(6)
где - температура в исследуемом контрольном объеме в момент времени ф;
Дф - шаг по времени;
- температура в исследуемом контрольном объеме в момент времени ф+Дф;
- коэффициент теплопроводности на грани элементарного объема определяем как среднегармоническую величину:
,(7)
где Дl - расстояние между узлами контрольных объемов; Дlp - расстояние между точкой пересечения грани исследуемой ячейки и линией, соединяющей соседние узловые точки.
Из соотношения (5) следует, что для определения значения теплового потока через грань контрольного объема требуется знать производную температуры по пространственной координате на данной грани.
На рисунке 6 точками отмечены узлы контрольных объемов, крестиками - грани контрольных объемов.
Рисунок 6 - Схема для определения производной температуры по пространственной координате
Определим значение производной температуры по координате Ox на грани «0». Для этого воспользуемся значениями температур на девяти гранях, пронумерованных от «0» до «8»:
,(8)
где T0 - значение температуры в точке «0».
Индекс «i» соответствует порядковому номеру грани ячейки.
Для определения всех коэффициентов hi необходимо использовать метод неопределенных коэффициентов и решить систему линейных уравнений:
Рисунок 7 - Схема кусочно-линейной аппроксимации температурного поля
(9)
Систему, аналогичную (9), можно записать для производной температуры по координате на всех гранях ячейки «i, j». Полученные результаты можно применить к соотношению (7).
Для расчета теплопроводности в композиционном материале использовалась схема аппроксимации, показанная на рисунке 7. В таком случае производная температуры на одной из граней ячейки определяется следующим соотношением:
.(10)
Аппроксимация производной от температуры по пространственной координате, приведенная в (10), может применяться в двух- и трехмерных задачах.
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности в неоднородной пластине без внутренних источников тепла.
.(11)
Начальные условия задачи:
,(12)
Граничные условия имеют следующий вид:
(13)
где L - толщина пластины.
Учитывая соотношение (5), численная интерпретация (11) в конечно-объемной постановке на нерегулярной и неортогональной сетке примет вид:
. (14)
Устойчивость численного решения рассматривается как функция времени и исследуется на интервале ф [0…ф*], где ф* _ предельное значение времени, при котором ошибка численного решения является ограниченной. В таком случае в уравнении (14) можно перейти от частной производной по времени к обыкновенной, а произведя преобразование, получаем:
,(15)
где ;
; .
Записав уравнение (15) для каждого контрольного объема, получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Введем также понятие относительной численной ошибки, определяемой соотношением:
.(16)
Переходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для относительной ошибки численного решения:
(17)
где - безразмерное время.
Частное решение системы ищем в виде: .
Преобразование системы (17) дает:
(18)
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно представить в матричном виде:
,(19)
где I - единичная матрица;
; .
В записанном выражении (19) матрица является характеристической матрицей, а вектор с - это собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению .
В соответствии с теорией устойчивости Ляпунова ошибка численного решения будет ограниченной на интервале времени ф [0…ф*], если все собственные значения матрицы A удовлетворяют условию:
| | 1. (20)
Приняв условие ф* = ф, можно анализировать устойчивость численного решения для конкретного шага по времени.
Следует отметить, что предложенная методика определения устойчивости численного решения была использована для двух- и трехмерных задач. В этих случаях необходимо было решать соответственно пяти- и семидиагональные матрицы.
Из сформулированного условия (20) следует, что решения частичной проблемы собственных значений будет достаточно для того, что бы определить устойчивость численного решения.
Результаты расчетов максимального собственного значения матрицы A для одно- и двухмерного случая представлены на рисунке 8.
а) одномерная расчетная область б) двухмерная расчетная область
Рисунок 8 - Изменение максимального собственного значения в зависимости от параметра устойчивости a/z2 (1 - порох «Н»; 2 - алюминий; 3 - вольфрам; 4 - молибден; 5 - ниобий)
Были проведены тестовые расчеты, в которых сравнивалось численное и аналитическое решения. Наибольшее отличие численного решения от аналитического на неортогональной сетке составило не более 0.5%.
В третьей главе проведен расчет прогрева смесевого твердого топлива и теплопроводности между К-частицей и твердым топливом.
Результаты расчета прогрева смесевого твердого представлены в виде температурных полей на рисунках 9-12.
Размеры расчетных областей и компонентов смесевого топлива, приведенных на рисунке 1: H = 1.6610-4 (м), L = 3.3210-4 (м), dok = 1.510-4 (м), dm = 1.510-5 210-5 (м). Расчетная область дискретизируется на равные элементарные объемы размером x = y = 210-6 (м). Расчет ведется до того момента, когда температура на поверхности заряда достигнет 570 K.