Материал: Методы решения задач проектирования технологических процессов обработки давлением. Шагунов А.В., Корольков В.И

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

контактной поверхности, при деформации пренебрегаем бочкообразностью.

Пусть заготовка под действием внешней силы P

получила деформацию на величину h (рис.16). Примем, что

перемещения в заготовке распределены линейно вдоль оси

z .

Тогда для произвольного сечения справедливо:

 

 

 

 

 

 

u

z

z h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что граничные кинематические условия по

перемещениям выполняются.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

k

 

 

h

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z=h

 

 

 

uz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

Рис.16.

Напряженное состояние при осадке цилиндрической заготовки – осесимметричное. Компонентами тензора

деформаций являются величины , , z , , z , z Величину осевой деформации можно определить

непосредственно:

z uz h

z h

Остальные деформации определим из условия несжимаемости:

81

 

 

 

 

 

 

0;

 

u

 

u

 

u

z

0

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последнюю формулу можно преобразовать к виду:

 

 

 

 

1

 

 

u

 

 

h 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интегрируя, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

1

h 2

f z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 h

 

,

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,u 0 f z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окончательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

1 h

 

 

1 h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 h

2 h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сдвиговые деформации в площадках отсутствуют,

поскольку

 

 

напряженное состояние

 

–

осесимметричное,

следовательно:

 

 

 

 

z

0

. С

другой

стороны

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

u

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Таким образом,

деформации

z

- главные.

Попутно

заметим,

 

что,

поскольку

все

деформации постоянны, то напряженное состояние –

однородное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интенсивность

 

 

деформаций определим следующим

образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

2

z 2 z 2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 h 2

3 h

 

2

 

h

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2 h

2 h

 

 

 

h

82

Составляющие уравнения баланса работ11:

Ap P h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

A

s

 

 

i

dV

s

 

 

2 d dz

s

 

 

h

2 d dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h 2

2

 

 

 

z h

 

d

2

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 d k

h 2

 

2 k udf 2 k u

 

h

 

2 2 d

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

2

3

2

 

 

 

 

d 3 h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P h

 

d 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 3

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

 

 

4

h

k

12

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приняв

 

 

трение

 

 

по

 

 

Прандлю

 

k s s ,

окончательно

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 2

 

 

1

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P s

 

 

 

 

 

 

1

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

-

 

уже

 

известная

нам формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зибеля.

Эту формулу мы получали ранее с помощью инженерного метода, предположив, что касательные напряжения по высоте заготовки изменяются линейно.

11 Коэффициент 2 в формуле для A присутствует т.к. существует две поверхности, трение на которых одинаково.

83

Лекция 8. Использование вариационных методов при решении задач проектирования технологических процессов.

Еще одним методом, относящихся к группе энергетических, является вариационный метод. Применение вариационного метода для анализа задач обработки давлением связано с уральской школой: И.Я.Тарновский, А.А.Поздеев, В.Л.Колмогоров и др. Прежде чем перейти к изложению метода остановимся на некоторых элементах вариационного исчисления, которые будем использовать в дальнейшем.

Понятие функционала. Основная задача вариационного исчисления.

Вариационное исчисление – это математическая дисциплина, разрабатывающая методы отыскания экстремальных значений функционалов.

Функционалом называется переменная величина, зависящая от одной или нескольких функций.12 Функционал задан, если каждой функции из некоторого класса функций поставлено в соответствие некоторое число.

Одним из простейших функционалов является длина кривой, соединяющая две точки (рис.17).

Пусть y f (x) - произвольная кривая, соединяющая две точки:

x a, y A

x b, y B

12 Функция, в отличие от функционала зависит от переменных. Если отвлечься от строго математического определения функционал – это функция, от одной или нескольких функций.

84

 

 

y=f(x)

 

 

 

Таким

 

y

 

образом,

 

класс

 

 

 

 

 

 

 

кривых

 

определен

 

 

 

 

 

B

 

 

 

тем,

что

они

 

l

 

 

проходят

 

через

две

 

 

 

 

заданные

точки.

A

 

 

 

Наложим

 

на

 

 

 

 

 

функции,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определяющие

 

 

 

 

 

 

кривые,

 

 

 

x

дополнительное

 

 

 

ограничение, что они

 

a

b

 

 

 

непрерывны

и

 

 

 

 

Рис.17.

дважды

дифференцируемы.

 

Длина кривой

 

l

 

 

 

dl

 

l

 

 

dx2 dy2

b

a

dy

2

b

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

1 y' dx

 

 

dx

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

Функционалами также являются площадь кривой, проходящей через две точки, объем тела, определяемых вращением вокруг оси кривой, проходящей через две точки.

Как видно из этих примеров, функционалы могут быть определены кратными интегралами.

Когда функция y f (x) , от которой зависит функционал, непрерывна и дважды дифференцируема, функционал может быть записан в следующем общем виде:

J J y x abF x, y, y' dx

Всегда, когда функция f (x) принимает определенный вид (соответствует определенному классу), функционал принимает то или иное значение – число, характеризующее

данную функцию f (x) .

85

Смотрите также:

Компьютерная графика
Перспективы развития электронного бизнеса в Республике Узбекистан
Развитие региональной инновационной инфраструктуры по модели создания кластеров
Роль Президента Российской Федерации в системе органов государственного управления
Становление акушерства и гинекологии как самостоятельных клинических дисциплин. Вклад А.Я. Крассовского, В.Ф. Снегирёва, Д.О. Отта в отечественную акушерско-гинекологическую практику