Материал: Методы решения задач проектирования технологических процессов обработки давлением. Шагунов А.В., Корольков В.И

2.Определение компонентов поля скоростей в соответствии с условием постоянства объема.

3.Определение компонентов тензора деформаций.

4.Вычисление интегралов в формуле для функционала полной мощности. Точное интегрирование во многих случаях оказывается невозможным, тогда использую приближенные, а также численные методы.

5.Составляют и решают системы уравнений условия

определения неизвестных варьируемых параметров ai .

6.По найденным значениям коэффициентов ai

определяют поле скоростей vi и, затем, полную мощность. Приравняв полную мощность мощности внешних сил на известных скоростях, определяют удельные силы деформирования.

7.По найденному полю скоростей при необходимости можно определить конечное формоизменение (изменение формы деформируемого тела) и поле напряжений.

Определение напряженного состояния по заданному

полю скоростей.

После определения поля скоростей по результатам решения вариационной задачи можно определить поле напряжений. Задача определения поля напряжений по полю скоростей имеет общее значение, поскольку поле скоростей может быть определено и другими методами18.

18 Например, известен визиопластический метод экспериментальноаналитического определения напряженного состояния по результатам экспериментального определения поля скоростей в деформируемом теле.

96

Теория пластического течения постулирует следующую взаимосвязь девиаторов напряжений и скоростей пластической деформаций:

D d D ,

где переменная характеристика среды d пропорциональна отношению интенсивности скоростей

деформации i и интенсивности напряжений i :

d 3 i 2 i

Значение интенсивности скоростей деформации в произвольной точке может быть определено по компонентам тензора скоростей деформаций:

Таким образом, характеристика среды d определена в каждой точке среды. Если пренебречь упругой деформацией,

компоненты девиатора напряжений могут быть определены:

97

szx zx zx

.

Недиагональные компоненты тензора и девиатора напряжений равны, следовательно, касательные напряжения могут быть определены непосредственно. Нормальные же напряжения могут быть определены только с точностью до среднего напряжения (гидростатического давления).

Однако определенность касательных напряжений позволяет проинтегрировать уравнения равновесия. Например:

.

Здесь 1 y, z - произвольная функция, определяемая из граничных условий (обычно на свободном контуре). Аналогично могут быть получены и другие компоненты тензора напряжений.

98

В.Л.Колмогоров предлагает решать вариационную задачу с использованием принципа виртуальных скоростей и напряжений. Иными словами и поле скоростей и поле напряжений считаются допустимыми и одновременно варьируются. В своих работах он предложил функционал, стационарность которого соответствует одновременно истинному полю скоростей и напряжений. Функционал имеет достаточно сложный вид и выходит за рамки программы курса.

99