Материал: Методические особенности обучения решению геометрических задач

В краткой записи, так, где это возможно и целесообразно, следует использовать стандартный математический символический язык, т.е. знаки =, ║, и т.п.

Заметим, что эти рекомендации не носят тотального характера, при решении некоторых геометрических задач чертеж и краткая запись могут быть выполнены иначе. Приведем пример построения чертежа и выполнения краткой записи одной интересной геометрической задачи.

Пример. Задача. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям; тупой угол, прилежащий к ее основанию, равен 120˚, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см; большее основание равно 12 см. Найти среднюю линию трапеции.

Основной объект задачи - трапеция, в которой одна из диагоналей перпендикулярна ее основаниям.

Если начинать чертить эту трапецию обычным способом с построения ее сторон, ошибка практически неизбежна, т.к. нестандартное положение занимает диагональ трапеции: она должна быть перпендикулярна ее основаниям. Поэтому наиболее оптимальный путь - построение этой диагонали, которую можно представить в качестве вертикального отрезка, от концов которого строятся два горизонтальных отрезка, - основания трапеции, направленные в разные стороны от диагонали. Строим тупой (по условию) угол при большем (обычно нижнем) основании. Вторая его сторона пересечет меньшее основание в одной из вершин трапеции. Достраиваем трапецию, придерживаясь заданных пропорций, проводим в ней среднюю линию, вводим стандартные обозначения тупого угла при большем основании (Рис. 5).

Рис. 5

.2 Методика обучения решению стандартных геометрических задач

Как мы уже говорили, стандартные геометрические задачи - это такие задачи, которые решаются с помощью одной теоремы, одного определения геометрического понятия и т.п. Тем не менее, не всегда процесс решения такой задачи проходит гладко. Дело в том, что в конкретной теореме, определении конкретной геометрической фигуры алгоритм применения их к определенной стандартной геометрической задаче находится в свернутом виде. Для того, чтобы его использовать, следует развернуть этот алгоритм в пошаговую программу действий. К тому же стандартные задачи являются основными геометрическими задачами, поскольку все остальные в конечном счете сводятся к ним.

Можно выделить следующие особенности процесса решения стандартных геометрических задач.

. Анализ стандартной геометрической задачи сводится к распознаванию вида задач, к которому принадлежит данная задача, т.е. того общего положения геометрии (аксиомы, теоремы, определения геометрической фигуры), с помощью которого она решается.

Это диктует необходимость для обучаемого держать в оперативной памяти все изученные в геометрии общие положения - аксиомы, теоремы, определения геометрических фигур

. Поиск решения стандартной геометрической задачи состоит в составлении на основе общего положения геометрии последовательности шагов решения задач данного вида, то есть в разворачивании свернутой в общем положении программы деятельности. Ее не обязательно формулировать письменно, достаточно просто наметить.

. Решение стандартной геометрической задачи состоит в применении этой программы к условиям данной задачи.

. При этом какой-то шаг программы может быть ранее решенной стандартной задачей. Таким образом, процесс накопления стандартных задач во многом индивидуален. Он обеспечивает решение все более сложных, но все же уже для решаемого стандартных задач.

Пример. Для решения элементарной задачи на построение треугольника по трем элементам (сторонам и углам), каждая из которых является стандартной, используются такие ранее решенные элементарные стандартные задачи, как построение угла и отрезка, равных заданным. 

.3 Методика обучения решению геометрических задач на доказательство

Надо признать, что задачи на доказательство - наиболее трудный вид геометрических задач. Но так как задача на доказательство по сути дела является теоремой, то для нее практически сохраняются все особенности методики обучения доказательству теорем. Поэтому мы не будем повторять основные положения этой методики, ограничившись примером работы над задачей на доказательство.

Пример. Задача. В треугольниках АВС и А1В1С1 углы А и А1 - прямые, BD и B1D1 - биссектрисы. Докажите, что треугольники равны, если угол В равен углу В1 и BD=B1D1. [4. С.85].

ЭТАП. Анализ условия задачи и построение чертежа

1. Какого типа эта задача? 2. Какие фигуры участвуют в задаче? 3. К какому виду относятся эти треугольники? 4. Какие элементы этих треугольников заданы? 5. Каковы эти биссектрисы?                Геометрическая задача на доказательство. Треугольники АВС и А1В1С1. Треугольники прямоугольные, В= =В1.

В этих треугольниках из вершин В и В1 проведены биссектрисы.

ЭТАП. Поиск путей доказательства

1. В задаче требуется доказать, что треугольники равны. Какими теоремами пользуемся для доказательства того, что треугольники равны? 2. Что нужно найти в этих треугольниках, чтобы доказать их равенство? 3. Сколько пар равных элементов необходимо найти в этих треугольниках, почему? 4. Какие равные элементы мы имеем по условию задачи? 5. Каких равных элементов нам не хватает, чтобы применить один из признаков? 6. Попробуем доказать равенство катетов АВ и А1В1. Как мы доказываем равенство отрезков? 7. Чтобы доказать равенство катетов АВ и А1В1, какие треугольники следует рассмотреть? 8. Определите вид треугольников. 9. Сколько пар равных элементов нам следует найти в этих треугольниках? 10. Что известно об этих треугольниках по условию? 11. Итак, какой вывод можно сделать о треугольниках ABD и A1B1D1? 12. Зачем мы рассматривали эти треугольники? 13. Значит, какой вывод можно сделать из равенства треугольников? 14. Зачем мы рассматривали равенство отрезков АВ и А1В1? 15. Итак, какой вывод можно сделать о DАВС и DА1В1С1? 16. В итоге наметим план решения задачи: a) Рассмотрим DАВD и DА1В1D1 и докажем их равенство. Сделаем вывод о равенстве сторон АВ и А1В1 b) Рассмотрим DАВС и DА1В1С1 и установим их равенство                Признаками равенства треугольников    Нужно найти равные элементы.  Две пары, так как треугольники прямоугольные.   Угол В равен углу В1.  Равенства гипотенуз, или равенства катетов.  Доказываем через равенство треугольников.   Рассмотреть

Они прямоугольные.

Две пары.

BD=B1D1, Ð1=Ð2 (как половины равных углов)

DАВD=DА1В1D1 по катету и острому углу.

Чтобы доказать равенство отрезков АВ и А1В1.

АВ=А1В1.

Чтобы доказать равенство DАВС и DА1В1С1.

DАВС= DА1В1С1 по катету и острому углу.

Поиск путей решения (анализ) и составление плана удобно сопровождать схемой, заменяя стоящие знаки вопроса на знаки равенства при синтезе ( см далее схему).

ЭТАП. Оформление решения.

Доказательство:

1.        Рассмотрим DАВD и DА1В1D1. Они прямоугольные, т.к.:

BD=B1D1 (по условию),

ÐABD=ÐA1B1D1 (как половины равных углов), так как ÐВ=ÐВ1 (по условию) и ½ÐВ=½ÐВ1 .

Следовательно, DАВD= DА1В1D1.

2.        Рассмотрим DАВС и DА1В1С1. Они также прямоугольные, т.к.:

ÐВ=ÐВ1 (по условию).

Следовательно, DАВС=DА1В1С1 (по катету и острому углу), что и требовалось доказать.

2.4 Методика обучения решению задач на вычисление

Прежде поясним, почему именно они подвергаются детальному анализу. Задачи на доказательство, как мы уже сказали, по существу являются теоремами. Задачи на построение требуют отдельного рассмотрения в теме “Геометрические построения на плоскости”.

Задачи на вычисление составляют основное содержание задачного материала учебников геометрии основной школы. Более того, задача на вычисление обычно включает в себя элементы построений, а также доказательство некоторых геометрических фактов, то есть они зачастую значительно богаче по геометрическому содержанию, чем другие классы задач.

Введем рабочее понятие задачи на вычисление.

Задача на вычисление - это задача, в которой требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади и др.) или их отношения через известные величины, которые могут быть даны в общем виде или числовыми значениями.

Иногда данные величины выражены буквами и ответ должен быть дан в общем виде. Но в большинстве задач данные выражены числами и решение их следует доводить до числа. При решении вычислительных задач учащиеся пользуются теми навыками в преобразованиях формул и вычислениях, которые получены ими на уроках математики (арифметики) и алгебры. Поэтому процесс решения таких задач в значительной мере сводится к:

составлению уравнений, формул;

алгебраическим преобразования,

арифметическим вычислениям.

Таким образом, именно эти задачи в наибольшей степени реализуют внутрипредметные связи с арифметикой, алгеброй, в дальнейшем - тригонометрией.

Геометрические задачи на вычисление имеют свои специфические особенности. Рассмотрим их в контексте основных этапов решения любой задачи. Напомним эти этапы:

) анализ условия задачи,

) поиск способа решения задачи, составление плана;

) осуществление плана, оформление решения задачи;

) изучение полученного решения.

Охарактеризуем специфические особенности первого этапа решения геометрической задачи на вычисление - работы с условием. Основной метод обучения здесь - чаще всего метод беседы. Учитель должен тщательно отработать систему вопросов к учащимся.

В начале работы с условием чаще всего ставится вопрос: “Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче?”, выделяется основная фигура.

После этого полезно поработать с содержанием геометрических понятий, входящих в условие задачи, ее терминологией. Уместны вопросы типа:

Какая фигура называется ... ?

Что значит, что ... ? и др.

Параллельно строится чертеж, причем правильный чертеж во многом определяет ход решения задачи.

Мы уже рассматривали подробно требования к чертежу. Переформулируем их в более простом, понятном ученикам виде, в котором их можно использовать на уроке:

максимально возможное соответствие условию;

наглядность, оптимальные размеры (не только на доске; учителем, особенно на первых порах, даются и необходимые указания по построению чертежей в тетрадях);

рассматриваются (и это специально оговаривается учителем) геометрические фигуры общего вида, а не частные случаи.

По окончании построения чертежа на нем выделяются данные и искомые элементы цветом, обозначениями:

углы - цифрами и дугами;

равные отрезки значками “ï”, “ïï”, “ïïï”;

прямые углы значком “¬” и др.

Иногда на чертеже указываются данные величины. При этом основное требование - не загромождать чертеж.

Раскроем специфические особенности второго этапа решения геометрической задачи на вычисление.

Чаще всего используется аналитический метод поиска решения: рассуждения ведутся от требования задачи к ее условию. Здесь уместны вопросы типа:

Что надо найти в задаче?

А что для этого надо знать?

В какую фигуру входит ... ?

Что отсюда следует? И так далее.

Синтетический путь поиска решения задачи (от условия задачи к ее требованию) уместен, если не удается анализ:

Рассмотрим фигуру ...

Сделаем дополнительные построения ...

И тому подобное.

На этапе поиска решения определяющую роль играет чертеж. На нем ищутся фигуры, в которые входят искомые и данные элементы и таким образом устанавливаются соотношения между ними. Часто выполняются дополнительные построения - только необходимые, не загромождающие чертеж.

Учителю очень важно ненавязчиво руководить выбором и использованием теории (определений, теорем, аксиом). Здесь уместны вопросы типа:

Какая геометрическая фигура называется ... ?

Сформулируйте определение ...

Какими свойствами обладает ... ?

Какое из них связывает данные и искомые элементы?

Как эту связь выразить в виде формулы, уравнения, отношения?

После этого подводятся итоги: из предложенных вариантов решения выбирается наиболее эффективный, намечается общий (недетализированный) план решения задачи.этап - осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

При выполнении вычислений возникает вопрос: в каком виде должен быть получен ответ и промежуточные результаты? Постепенно следует приучать учащихся решать задачу в общем виде, подставляя числовые данные в заключительную формулу или уравнение, так как иногда при вычислении промежуточных результатов выполняется лишняя работа (некоторые величины, которые были найдены в процессе решения задачи, могут не входить в конечную формулу).

При оформлении решения чаще всего практикуется пошаговая запись решения с обоснованиями (аналогичная оформлению доказательства теорем). Заключает оформление ответ на вопрос задачи.

Последний этап решения задачи (исследование полученного решения) в случае геометрической задачи на вычисление предполагает:

оценку полученного ответа на достоверность.

- проверку решения (в отдельных случаях).

Пример методики работы с задачей на вычисление.

Задача № 412 [3]. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС=12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е - на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

этап. Основной метод - вопросно-ответный (беседа).

Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче? (Равнобедренный прямоугольный треугольник и квадрат).

Выясним, как они расположены относительно друг друга. Для этого вспомните, какими свойствами обладает равнобедренный прямоугольный треугольник? (Катеты равны, угол прямой). Квадрат? (Углы прямые и стороны равны).

В обозначении квадрата использована буква С, что это значит? (Одна вершина квадрата и вершина прямоугольного треугольника с прямым углом при ней совпадут в точке С).

Что сказано о трех других вершинах квадрата? (Е - на гипотенузе, а D, F - должны лежать на катетах, потому, что по условию стороны квадрата с общей вершиной С лежат на катетах)

Параллельно строится чертеж, оформляется краткая запись.

этап.

Аналитический метод поиска решения:

Какие величины даны в условии? (Длина катета треугольника). Что надо найти в задаче? (Периметр квадрата)

По какой формуле он рассчитывается? (Р=4а).

А что для этого надо знать? (Длину стороны квадрата).

Частью каких элементов треугольника являются стороны квадрата? (Частью сторон).

Итак, надо попытаться доказать, что сторона треугольника равна по длине двум сторонам квадрата. Одна сторона квадрата непосредственно является частью стороны треугольника. Значит нужно доказать, что оставшаяся часть FB равна стороне квадрата.

В состав какой фигуры входит отрезок FB? (DEFB). Может быть, можно визуально найти равный ему треугольник, в состав которого входит сторона квадрата? (DADE, сторона DE).

Итак, нужно доказать равенство треугольников. Что мы можем сказать о виде треугольников? ( они прямоугольные). Какие признаки равенства прямоугольных треугольников знаем? Какие равные элементы имеются в треугольниках? (Два угла соответственно равны и два катета как стороны квадрата).

Какой можно вывод сделать, опираясь на признак равенства? (Треугольники равны).

Что из этого следует? (DE=FB).

Чему равна длина стороны треугольника? (Сумме длин сторон квадрата CB=CF+DE=2CF).

Чему равна длина стороны квадрата из этого выражения? (Половине длины стороны треугольника).

Зная длину стороны треугольника, сможем найти сторону квадрата? Периметр?