Материал: Методические особенности обучения решению геометрических задач

Методические особенности обучения решению геометрических задач

1.      Математические задачи в курсе геометрии основной школы

В типологии математических задач, представленной в [11. С. 103] одним из первых рассматривается деление их по признаку математического содержания. В соответствии с этим делением, если условие и заключение задачи принадлежат определенному разделу математики, то она принадлежит одному из следующих типов - арифметические, алгебраические, геометрические, тригонометрические, комбинаторные и т. д. Таким образом, геометрические задачи составляют в этой типологии отдельный класс задач, специфические особенности которых мы и рассмотрим.

.1 Геометрическая задача: понятие, структура, решение

Одной из важнейших характеристик овладения математикой на том или ином уровне является умение решать задачи, причем не только стандартные, но и «требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности» [17 с 16.].

Говоря о геометрической задаче, напомним некоторые положения общей теории задач в обучении математике, конкретизируя их, где это возможно и целесообразно, на задачах геометрического характера.

Примем следующее понятие задачи: задача - это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь на те условия, которые указаны в задаче, и/или учитывая их, [23 С. 6]. Тогда математическая задача - это задача, сформулированная на математическом языке, а геометрическая задача - это задача, сформулированная на геометрическом языке.

Заметим, что иногда задача формулируется на житейском, бытовом или профессиональном языке нематематической отрасли знаний, но решается математическими (геометрическими) средствами. Тогда прежде чем решать, ее надо перевести на математический (геометрический) язык. Такого рода задачи очень важны в процессе формирования компетенций. Однако они очень редко встречаются в учебниках математики (геометрии) или в сборниках математических (геометрических) задач.

Из данного выше определения задачи следует, что ее структура в самом общем плане включает в себя условие задачи (совокупность утверждений) и требование задачи. В задаче обычно присутствует не одно условие, а несколько независимых элементарных (т.е. нерасчленимых далее) условий. Требований в задаче также может быть не одно.

Пример. Задача. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см. и 12 см. Найти катеты треугольника.

В этой задаче можно выделить такие элементарные условия:

) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;

) в этот треугольник вписана окружность;

) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;

) длина одного из этих отрезков равна 5 см.;

) длина другого отрезка равна 12 см.

Требование этой задачи можно расчленить на два элементарных:

1)  найти длину одного катета треугольника;

2)      найти длину другого катета треугольника.

Понятие «решение задачи» используется в нескольких основных смыслах:

- решение задачи как план (способ, метод) осуществления требований задачи;

решение задачи как процесс выполнения плана, реализации требования;

решение задачи как результат выполнения плана решения.

школа теорема геометрия чертеж

1.2    
Роль и функции геометрических задач

Роль и функции задач в обучении геометрии в основной школе во многом определяются целью изучения курса геометрии в VII-IX классах, которая сформулирована а программах по математике следующим образом: «Целью изучения курса геометрии в VII-IX классах является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин (физика, черчение и т.д.) и курса стереометрии в старших классах» [18. С. 8.].

Итак, в качестве обучающей цели курса геометрии VII-IX классов в программах по математике является систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости; в качестве развивающей цели - формирование пространственных представлений и развитие логического мышления; пропедевтическая цель состоит в подготовке аппарата, необходимого для изучения смежных дисциплин и стереометрии. Геометрические задачи эффективно способствуют достижению всех сформулированных в программе целей курса геометрии VII-IX классов.

Систематическое решение задач способствует сознательному и прочному усвоению теории геометрии, помогает увидеть ее практическую ценность, формирует ключевые компетенции в области геометрии. Геометрические задачи, как и другие математические задачи, выполняют воспитательные, развивающие и обучающие функции.

Осуществляя подбор задач для урока, учитель может преследовать различные цели, используя различные функции той или иной задачи на различных этапах урока.

·        Задача может предварять какое-либо теоретическое положение и помогает отыскать его или усмотреть некоторую геометрическую зависимость. Тогда в задачи включают отдельные элементы доказательства теоремы. Рассмотрим пример.

Пример. Перед доказательством признака равенства треугольников по трем сторонам можно предложить следующие задачи:

а) Дано: АВ = ВС; АD = СD.(Рис. 1).

Доказать: BAD = BCD

Рис. 1.

б) Дано: в четырехугольнике АBCD:

АВ = АD; ВС = СD (Рис. 2.).

Доказать: ABC = АDС

Рис. 2

·        Решение задачи может служить источником получения новых знаний по геометрии. Тогда полезно к условию задачи сформулировать некоторую последовательность заданий-требований.

Пример. Задача. Через точку М внутри круга проведены две хорды АB и CD. Доказать, что треугольники AMC и DMB подобны (Рис. 3).

Рис. 3.

Последовательность заданий-требований может быть такая:

Записать пропорциональность сходственных сторон.

Сравнить произведение отрезков хорды CD, на которые их делит точка М.

Провести диаметр через точку М и сравнить произведение отрезков диаметра с произведениями отрезков каждой из хорд, проходящих через точку М.

Сформулировать полученное предложение.

·        Задача по геометрии может выполнять роль демонстрации практической значимости геометрии. Далее мы будем говорить специально о такого рода задачах, рассматривая классификации геометрических задач.

Пример. Задача. Длина тени, отбрасываемой деревом, равна 8,7 м, в то время как длина тени палки, воткнутой вертикально в землю, равна 1,2 м. Определить высоту дерева, если длина палки равна 0,88 м.

Рис. 4

1.3 Классификации геометрических задач

В методической литературе приняты следующие условные классификации геометрических задач.

. По специфике языка. В курсе геометрии основной школы часто решаются текстовые задачи, т.е. те задачи, условие которых представлено преимущественно на естественном языке. Примером такого рода задачи из задач, рассмотренных в предыдущем пункте, может служить задача о хордах круга. Как видно из этого примера, кроме естественного здесь может использоваться и геометрический язык.

Иногда решаются и сюжетные геометрические задачи, то есть те, в которых присутствует фабула. В них описан «некоторый жизненный сюжет (явление, событие, процесс) …» [22. С. 3]. Чаще всего это геометрические задачи с практическим содержанием. Таковой является, например, последняя задача предыдущего пункта.

Сюжетные геометрические задачи играют значительную роль в процессе обучения, т.к. при их решении решается одна из важнейших задач всего курса математики - обучение методу моделирования и, в первую очередь, перевод естественного языка на язык математический, что иногда представляет значительную трудность.

Абстрактные задачи (с использованием только геометрического языка) встречаются гораздо реже. Иллюстрацией такого рода задач могут служить две задачи на готовых чертежах в первом из рассмотренных в предыдущем пункте примере.

. По характеру рассматриваемых в геометрической задаче объектов они подразделяются на чисто геометрические задачи и практические задачи.

В чисто геометрических задачах речь идет только о геометрических фигурах вне связи их с конкретными объектами окружающего мира. Именно такие задачи составляют основное содержание задачного материала современных учебников геометрии. Приведенные в предыдущем пункте задачи, кроме последней, являются чисто геометрическими.

В практических задачах основными объектами являются предметы окружающего мира. Например, последняя задача предыдущего пункта относится к практическим. Эти задачи помогают учащимся узнавать в предметах окружающего мира знакомые геометрические фигуры, использовать те или иные свойства этих фигур и тем самым осознавать возможности практического применения геометрии. Более того, практические задачи играют большую роль в формировании общих компетенций. Задач с практическим содержанием в учебниках обычно недостаточно. Большую помощь в насыщении курса планиметрии такого рода задачами может оказать пособие для учителя [Апанасовы].

. По отношению к теории [23. Оборот титула] или по уровню проблемности [11. С. 102] геометрические задачи делятся на стандартные и нестандартные задачи.

Геометрические задачи, для решения которых в школьном курсе имеются готовые алгоритмы или эти алгоритмы непосредственно следуют из определений или теорем, называют стандартными.

Примеры. Первый пример. Стандартными являются геометрические задачи, в которых теоремы могут служить алгоритмами решения. Так, теорема о средней линии трапеции служит алгоритмом для решения задач нахождения длины средней линии трапеции по ее основаниям. Последовательность шагов алгоритма для решения таких задач проста:

) устанавливаем длину оснований трапеции;

) находим их полусумму. Это и будет длина средней линии.

Второй пример. Все так называемые элементарные задачи на построение являются стандартными.

. Наиболее распространенная классификация, которая обычно используется и в работе с учащимися, - это классификация, основанием которой является характер требований задачи. В соответствии с этим основанием геометрические задачи условно классифицируются на задачи: 1) на вычисление, 2) на доказательство, 3) на построение (конструктивные задачи).

Заметим, что эта классификация, несмотря на очень широкое ее распространение, достаточно условна: задача на вычисление часто является и задачей на доказательство, так как требует обоснования; одним из очень существенных этапов решения задачи на построение является доказательство; во многих задачах сочетается построение, вычисления и измерение. Все же эта классификация облегчает рассмотрение особенностей каждого вида геометрических задач.

. В методической литературе специально выделяются так называемые “задачи на готовых чертежах”. Далее мы кратко их охарактеризуем. Функции этих задач не столько математические, сколько методические.

. Методический характер носит и классификация, основой которой является характер использования задачи на уроке. В соответствии с этой классификацией можно выделить:

задачи на раскрытие содержания новых понятий,

задачи на применение отдельной теоремы, формулы и др.;

комбинированные задачи: на применение нескольких теорем, формул и т.д.

Некоторые примеры такого рода задач приведены в пункте 1.2.

Рассмотрим методику использования в процессе обучения наиболее интересных с методической точки зрения классов геометрических задач.

2.     
Методические особенности обучения решению геометрических задач.

.1 Чертеж и краткая запись условия геометрической задачи

Основная особенность геометрических задач состоит в том, что их решение практически всегда сопровождается на том или ином этапе (иногда на нескольких) построением схематического чертежа-наброска, или, в некоторых случаях, полноценного чертежа. Правильное выполнение простейшего чертежа, как и его чтение, - одни из важнейших компетенций, необходимых каждому человеку в его повседневной, а во многих случаях и профессиональной деятельности.

С методической точки зрения чертеж - важнейшее средство наглядности, значение которого для обучения геометрии трудно переоценить. Особенно значительную роль играют чертежи в курсе геометрии основной школы, так как они, в отличие от старших классов, достаточно легко выполнимы и отражают истинное положение фигуры на плоскости.

При построении чертежа следует выполнять ряд требований. Сформулируем основные из них.

. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур).

. Все элементы фигуры и некоторые ее характеристики должны быть обозначены на чертеже с помощью букв и других знаков.

Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в тексте никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми или наиболее удобными в данном конкретном случае.

. Чертеж к геометрической задаче должен отражать наиболее общий случай вида и расположения основного ее объекта.

Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид, то следует построить разносторонний непрямоугольный треугольник. Или если в задаче основным объектом является трапеция, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т.д.

. При выполнении чертежа желательно соблюдать заданные в условии пропорции в построении отдельных элементов фигуры.

Это не значит, что необходимо строго выдерживать масштаб. Однако, если по условию задачи сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана треугольника, то она должна проходить через одну из вершин и приблизительно через середину противоположной стороны. Надо соблюдать также такие заданные в условии задачи отношения, как параллельность, перпендикулярность и т.п.

. Чертеж существенно облегчит процесс решения задачи, если он верен, легко выполним, нагляден.

Построение чертежа, как правило, сопровождает краткая запись всех условий и требований геометрической задачи. В ней, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условии задачи.

При этом названия фигур или отдельных ее частей следует заменять схематической записью их определений. Так, вместо того, чтобы писать, что ABCD - трапеция, лучше записать, что AB ║ CD.