Материал: Метод координат в школьном курсе геометрии
Решение:
а) 
Это уравнение является уравнением
окружности, центр которой имеет координаты 
, а радиус равен 5.
б) 
Это уравнение является уравнением
окружности, центр которой имеет координаты 
, а радиус равен 1.
в) 
Уравнению не удовлетворяют
координаты никакой точки, так как сумма двух квадратов не может быть
отрицательным числом. Следовательно, это не уравнение окружности.
г) 
Это уравнение является уравнением
окружности, центр которой имеет координаты , а радиус равен 5.
д) 
Это уравнение является уравнением
окружности, центр которой имеет координаты 
, а радиус равен 2.
Задача №6. Дан ромб 
диагонали которого равны 
и 
Найдите множество всех точек 
для каждой из которых 
Решение: 1) Введем прямоугольную
систему координат 
так, чтобы диагонали ромба лежали
на осях координат.
(умение оптимально выбирать систему координат)
) В данной систему координат вершины ромба будут
иметь следующие координаты:
(умение определять координаты заданных точек)
) Пусть 
произвольная точка.
Найдем расстояния от этой точки до
каждой вершины ромба.
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
) Запишем условие 
в координатах:
( умение переводить задачу с геометрического на аналитический язык)
Раскрывая скобки, получаем: 
( умение выполнять алгебраические преобразования)
Это уравнение прямой, проходящей через начало координат, т.е. через точку пересечения диагоналей ромба.
( умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)
Задачи, относящиеся ко 2 типу.
Задача №1. Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, проведенная к большей стороне, равна 15 см. Найдите медианы треугольника.
Решение: Пусть в 
.
) Введем прямоугольную систему
координат (возможны 2 случая расположения):
( умение оптимально выбирать систему координат )
2) Тогда вершины 
имеют следующие координаты:
( умение определять координаты заданных точек )
а) если точка 
б) 
лежит на продолжении 
) Используя формулу расстояния между
двумя точками, получаем:
Таким образом, точка 
имеет координаты:
а) (8;15); б) (-8;15)
(умение находить расстояние между двумя точками; умение выполнять алгебраические преобразования)
) Пусть точки 
- середины сторон 
В случае а) получаем:
В случае б):
( умение находить координаты середины отрезка)
) Найдем медианы 
по формуле расстояния между двумя
точками:
В случае а):
В случае б):
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами; умение выполнять алгебраические преобразования).
Задача №2. Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы.
Решение. Пусть в 
) Введем прямоугольную систему
координат с началом в точке 
(умение оптимально выбирать систему
координат)
) Тогда вершины 
имеют следующие координаты: 
(умение определять координаты заданных точек).
) Обозначим середины сторон 
через 
Найдем их координаты.
(умение находить координаты середины отрезка)
) Найдем медианы 
по формуле нахождения расстояния
между двумя точками:
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)
Решение: Пусть 
) Введем прямоугольную систему
координат так, чтобы основание 
лежало на оси абсцисс; точка 
середина 
Тогда 
делит 
пополам.
(умение оптимально выбирать систему координат)
) Тогда вершины трапеции имеют следующие
координаты:
(умение определять координаты заданных точек).
) Найдем 
по формуле нахождения расстояния
между двумя точками:
=> 
что и требовалось доказать.
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами).
) Докажем обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция - равнобедреннная.
Пусть в трапеции 
с основаниями 
диагонали равны: 
и пусть 
Введем прямоугольную систему
координат так, чтобы основание лежало на оси абсцисс; точка середина
(умение оптимально выбирать систему координат).
Тогда вершины 
имеют координаты: 
а вершины
причем 
высота трапеции.
(умение определять координаты заданных точек).
) По условию 
т.е
=> 
Разложим на множители: 
Так как 
первый сомножитель положительный
=> 