Материал: Метод координат в школьном курсе геометрии

Глава 2. Методологические основы применения метода координат для решения задач школьного курса геометрии

.1 Этапы решения задач методом координат

Чтобы решать задачи как и первого, так и второго типа методом координат, необходимо выполнение определенного алгоритма, состоящего из трех этапов.

Алгоритм решения задач 1 типа (задач на составление уравнения данной фигуры)

. Выявление характеристического свойства данной фигуры, т.е. такого ее геометрического свойства, которым обладают те и только те точки плоскости, которые фигуре принадлежат.

. Выбор на плоскости прямоугольной системы координат.

. Запись характеристического свойства фигуры на языке координат.

Алгоритм решения задач 2 типа (геометрические задачи, решаемые аналитическим методом)

. Перевод задачи на аналитический язык.

. Преобразование аналитического выражения.

. Определение по виду уравнения вид фигуры.

.2 Два вида задач, решаемых методом координат

В учебнике Атанасяна при изучении метода координат выделяется 2 основных типа задач:

1)      Задачи на отыскание множества точек плоскости, удовлетворяющих заданному условию.

)        Геометрические задачи, решаемые аналитическим методом.

Для разработки методики формирования умения применять координатный метод важно выявить требования, которые предъявляет логическая структура решения задач мышлению решающего. Координатный метод предусматривает наличие у обучающихся умений и навыков, способствующих применению данного метода на практике. Проанализируем решения некоторых задач. В процессе этого анализа выделим умения, являющиеся компонентами умения использовать координатный метод при решении задач. Знание компонентов этого умения позволит осуществить его поэлементное формирование.

Задачи, относящиеся к 1 типу.

Задача 1. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых .

Решение:

) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке О(0;0) так, чтобы она была серединой отрезка  (умение оптимально выбирать систему координат)

) Тогда точки A и B имеют следующие координаты ,  (умение определять координаты заданных точек)

) Для произвольной точки  имеем:

(умение находить расстояние между двумя точками)

) Если точка принадлежит искомому множеству, то

 .

Запишем это условие в координатах:

(умение переводить геометрическую задачу на аналитический язык)

) Раскрыв скобки, получаем .

(умение выполнять алгебраические преобразования)

) Таким образом, искомое множество - прямая, параллельная оси . (эта прямая перпендикулярна к прямой  и пересекает продолжение луча  в точке , причем  (умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

Задача №2. Даны две точки  Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки  в два раза больше расстояния от точки B.

Решение: 1) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A.

(умение оптимально выбирать систему координат)

) Тогда точки A и B имеют следующие

координаты:

(умение определять координаты заданных точек).

) Найдем расстояние от произвольной точки  до точек

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами)

) Если точка M принадлежит искомому множеству, то  или  Поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:

(умение выполнять алгебраические преобразования)

Если точка M не принадлежит искомому множеству, то ее координаты не удовлетворяют этому уравнению => уравнение  и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат.

Раскрываем скобки, группируем слагаемые, получаем:

(умение выполнять алгебраические преобразования)

Это уравнение является уравнением окружности радиуса  с центром в точке с центром в точке

(умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

) Аналогично можно доказать, что множеством всех точек M, удовлетворяющих условию  где k - данное положительное число, не равное единице, является окружность радиуса  с центром в точке

Это окружности, соответствующие различным значениям  называют окружностями Аполлония (т.к. они рассматривались древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате «О кругах» во 2 веке до н.э.)

Если то задача сводится к задаче о нахождении множества всех точек, равноудаленных от точек  Таким множеством является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

Задача №3. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых:  где k - данное число.

Решение:

) Пусть AB=2a, O - середина отрезка AB.

(умение оптимально выбирать систему координат)

) Тогда точки имеют следующие координаты: A(-a;0), B(a;0). (умение определять координаты заданных точек).

) Для произвольной точки M(x,y) имеем:

(умение находить расстояние между двумя точками, заданными координатами).

) Запишем заданное условие  в координатах.

(умение переводить геометрический язык на аналитический).

) Раскрывая скобки, получаем:

(умение выполнять алгебраические преобразования).

Так как k по условию любое, то следует рассмотреть 3 случая (в зависимости от числителя):

. , следовательно, искомое множество - окружность радиуса  с центром в точке О (середина отрезка AB)

. , следовательно, вся правая часть уравнения равна 0, следовательно, уравнению удовлетворяют только координаты точки О(0;0). Таким образом, искомое множество точек состоит из одной точки О - середины отрезка AB)

. , следовательно, правая часть уравнения отрицательная, следовательно, координаты любой точки не удовлетворяют уравнению.

(умение выполнять алгебраические преобразования; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ).

Задача №4. Даны две точки A и B. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых: а) ; б) .

Решение:

а) 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0).

(умение оптимально выбирать систему координат)

. В выбранной системе координат:

B(a,0), a=AB.

(умение определять координаты заданных

точек)

. Возьмем произвольную точку M(x,y).

(умение находить расстояние между точками, заданными координатами)

. Запишем в координатах условие

Это окружность радиуса 2a (2AB) с центром в точке

(умение выполнять преобразование алгебраических выражений; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)б) 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0). (умение оптимально выбирать систему координат)

. В выбранной системе координат:

B(a,0), a=AB.

(умение определять координаты заданных точек)

. Возьмем произвольную точку M(x,y).

(умение находить расстояние между точками, заданными координатами)

. Запишем в координатах условие .

Это окружность радиуса  с центром в точке  (умение выполнять преобразование алгебраических выражений; умение видеть за уравнением конкретный геометрический образ)

В данной задаче учащиеся должны уметь преобразовывать алгебраические выражения, выделяя полный квадрат, чтобы получить уравнение окружности. В учебнике Атанасяна для 7-9 классов автор предлагает специальную задачу, чтобы отработать это умение. Рассмотрим ее.

Задача №5. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности:

а)  б)  в)  г)  д)