Материал: Математическое моделирование

Математическое моделирование

1. Математические модели

математический моделирование mathcad scilab

1.1 Математические модели и моделирование технического объекта

На пути реализации в технике наиболее перспективных научных открытий и разработок обычно стоят препятствия, связанные с отсутствием или ограниченными возможностями конструкционных или функциональных материалов и с недостаточностью достигнутого технологического уровня. Поэтому процесс реализации научных и технических идей - это процесс поиска разумного компромисса между желаемым и возможным. Этим компромиссом является математическая модель.

Математической моделью (ММ) называют совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т. п.) и связей между ними, отображающих важнейшие для проектирования свойства технического объекта (ТО). Выполнение проектных операций и процедур в САПР основано на оперировании ММ. С их помощью прогнозируются характеристики и оцениваются возможности предложенных вариантов схем и конструкций, проверяется их соответствие предъявляемым требованиям, проводится оптимизация параметров, разрабатывается техническая документация и т. д.

Моделирование - это изучение объекта путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью, состоящее в замене эксперимента с оригиналом экспериментом на модели.

Для обсуждения и обоснования основных подходов к разработке проблем математического моделирования технических устройств и процессов в них представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему , определяющую последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента. Исходной позицией этой схемы служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел, систему устройств, процесс, явление или отдельную ситуацию в какой-либо системе.

Рисунок 1- Условная схема математичекского моделирования

На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме(PC). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого или существующего) ТО к его расчетной схеме(PC). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в PC, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в PCте качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным. Иногда вместо PCиспользуют термин содержательная модель ТО, а в некоторых случаях - концептуальная модель. В сложившихся инженерных дисциплинах (например, в сопротивлении материалов, электротехнике и электронике) помимо описательной (вербальной) информации для характеристики PCразработаны специальные приемы и символы наглядного графического изображения. По ряду новых направлений развития техники подобная символика находится в стадии формирования. При разработке новых ТО успешное проведение первого этапа в значительной мере зависит от профессионального уровня инженера, его творческого потенциала и интуиции. Полнота и правильность учета в PCсвойств ТО, существенных с точки зрения поставленной цели исследования, являются основной предпосылкой получения вдальнейшем достоверных результатов математического моделирования. И наоборот, сильная идеализация ТО ради получения простой PCможет обесценить все последующие этапы исследования.

Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании PC. Это описание в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими PCТО, и называют математической моделью (ММ).

Надо сказать, что для некоторых типовых PCсуществуют банки ММ, что упрощает проведение второго этапа. Более того, одна и та же ММ может соответствовать PCиз различных предметных областей. Однако при разработке новых ТО часто не удается ограничиться применением типовых PCи отвечающих им уже построенных ММ. Создание новых ММ или модификация существующих должны опираться на достаточно глубокую математическую подготовку и владение математикой как универсальным языком науки.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный количественный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра PC(штриховая линия на рисунок 1).

Количественные оценки могут дать основания упростить модель, исключив из рассмотрения некоторые параметры, соотношения или их отдельные составляющие, несмотря на то что влияние описываемых ими факторов учтено в PC. В большинстве случаев, принимая дополнительные по отношению к PCдопущения, полезно построить такой упрощенный вариант ММ, который позволял бы получить или привлечь известное точное решение. Это решение затем можно использовать для сравнения при тестировании результатов на последующих этапах. В некоторых случаях удается построить несколько ММ для одного и того же ТО, отличающихся различным уровнем упрощения.

Построение иерархии ММ связано с различной детализацией свойств изучаемого ТО. Сравнение результатов исследования различных ММ может существенно расширить и обогатить знания об этом ТО. Кроме того, такое сравнение позволяет оценить достоверность результатов последующего вычислительного эксперимента: если более простая ММ правильно отражает некоторые свойства ТО, то результаты исследования этих свойств должны быть близки к результатам, полученным при использовании более полной и сложной ММ.

Итог анализа на рассматриваемом этапе - это обоснованный выбор рабочей ММ ТО,которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу. Успех в проведении третьего этапа зависит, как правило, от глубины понимания связи отдельных составляющих ММ со свойствами ТО, нашедшими отражение в его PC, что предполагает органическое сочетание владения математикой и инженерными знаниями в конкретной предметной области.

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап - в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Для успешного проведения четвертого этапа необходимо владеть арсеналом современных методов вычислительной математики, а при математическом моделировании довольно сложных ТО выполнение пятого этапа требует профессиональной подготовки в области программирования на ЭВМ.

Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО. Тестирование может выявить недочеты как в программе, так и в алгоритме и потребовать доработки программы или же модификации и алгоритма и программы. Анализ результатов вычислений и их инженерная интерпретация могут вызвать необходимость в корректировке PCи соответствующей ММ.

После устранения всех выявленных недочетов триаду „модель - алгоритм - программа “ можно использовать в качестве рабочего инструмента для проведения вычислительного эксперимента и выработки на основе получаемой количественной информации практических рекомендаций, направленных на совершенствование ТО, что составляет содержание седьмого, завершающего „технологический цикл^” этапа математического моделирования.

Представленная последовательность этапов носит общий и универсальный характер, хотя в некоторых конкретных случаях она может и несколько видоизменяться. Если при разработке ТО можно использовать типовые PCи ММ, то отпадает необходимость в выполнении ряда этапов, а при наличии и соответствующего программного комплекса процесс вычислительного эксперимента становится в значительной степени автоматизированным. Однако математическое моделирование ТО, не имеющих близких прототипов, как правило, связано с проведением всех этапов описанного „технологического цикла^''.[3]

Целью моделирования являются: получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

1.2 Применение численных методов в моделировании

Дифференциальные уравнения, которые можно проинтегрировать известными методами, встречаются сравнительно редко. В связи с этим особое значение приобретают приближенные методы решения дифференциальных уравнений. Эти методы делятся на две группы:

а)      аналитические;

б)      численные.

Применение аналитических методов дает приближенное решение в виде аналитического выражения, численных - в виде таблицы численных значений.

Наиболее распространенными из численных методов, применяемых в математическом моделировании, являются метод Эйлера и метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле. По методу Эйлера в формуле Тейлора не учитываются члены, содержащие производные второго и более высокого порядка. Метод Эйлера имеет первый порядок точности, откуда следует, что для достижения высокой точности требуется мелкий шаг, что экономически не выгодно. Достоинством метода является его простота. Метод Эйлера используют для более точных многошаговых методов.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального

у'=(х, у), (1.1)

удовлетворяющее условию:

у=у₀прих=х₀, т. е. у(х_а) =у₀. (1.2)

При численном решении уравнения (1.1) задача ставится так:

в точках х₀, x1, х₂, ..., х_пнайти приближения у_пдлязначений точного решения у(х_п). Разность x=x_n+1-x_n = hназывается шагом сетки. Во многих случаях принимают величину hпостоянной, тогда:

Х_n=Х₀=nh(n=0,1,2,…). (1.3)

Приближенно можно считать, что правая часть уравнения (1.1) остается постоянной на каждом из отрезков между точками деления. Метод Эйлера состоит в непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле:

 (1.4) 

В силу сделанных предположений на первом отрезке искомое решение приближенно представляется линейной функцией:

(1.5)

 (1.6)

В частности, при x=x₁получаем:

y₁=y₀+ht(x₀, y₀). (1.7)

Равенство (1.6) означает, что на отрезке [х₀, x_o+h] искомую интегральную кривую у=у(х) приближенно заменяют прямолинейным отрезком, выходящим из начальной точки М₀(х_0, у0) с угловым коэффициентом f(x₀, у₀). Аналогично находим приближенное значение y₂:

y₂ = y₁+hf(x₁,y₁). (1.8)

Для точки x_n = x_o+nhполучаем:

 (1.9)

Таким образом, в качестве приближения искомой интегральной кривой получаем линию, изображенную на рисунке 1.1, с вершинами в точках М₀(х₀, уо), M₁(y1, y2), .... М_п(х_п, у_п).

Рисунок 1.1 - График искомой интегральной кривой

Вычисление приближений у_пискомого решения у(х) по формуле (1.6) представляет собой обыкновенный метод Эйлера.

Этот метод дает весьма грубое приближение решения задачи Коши. Он обычно используется в случае, когда необходимо получить примерное представление о решении на небольшом промежутке.Если функция f(x,у) в уравнении (1.1) на некотором отрезке в рассматриваемой области непрерывна по х и удовлетворяет условию Липшица по у:

 (1.10)

 (1.11)

Погрешность обыкновенного метода Эйлера оценивается формулой:

 (1.12)

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее употребительных численных методов повышенной точности. Низкая точность метода Эйлера связана в первую очередь с тем, что остаточный член формулы Эйлера велик.

Очевидно, что для уменьшения погрешности вычисления необходимо увеличить количество учитываемых членов в формуле Тейлора. Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутта 4-го порядка, в котором учтены производные до 4-го порядка включительно. Метод Эйлера можно рассматривать как метод Рунге-Кутта 1-го порядка. Метод Рунге-Кутта требует большого объёма вычислений, однако расчёт оказывается более точным, чем расчёт по методу Эйлера с тем же шагом.

Величина погрешности метода оценивается с помощью правила Рунге. Значение оценки Рунге состоит в том, что погрешность оценивается через величины, получаемые непосредственно в процессе счёта. На этой формуле основан метод автоматического выбора шага в процессе счёта в стандартных программах.

Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти у_m+1, нужна информация о предыдущей точке x_m,y_m.

Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р различна для различных методов и называется порядковым номером или порядком метода.

Они не требуют вычисления производных от f(x,y), а требуют вычисления самой функции.

Наиболее точный метод решения - метод Рунге-Кутта 4 порядка, один из самых употребляемых методов интегрирования дифференциальных уравнений.

Его особенности:

а)      этот метод является одноступенчатым и одношаговым;

б)      требует информацию только об одной точке;

в)      имеет небольшую погрешность;

г)       значение функции рассчитывается при каждом шаге;

Формулы, описывающие классический метод Рунге-Кутта четвертого порядка, состоят из следующих пяти соотношений:

y_m+1=y_m+h/6(R₁+2R₂+2R₃+R₄) (1.13)₁=f(x_m,y_m) (1.14) ₂=f(x_m+h/2,y_m+hR₁/2) (1.15)₃=f(x_m+h/2,y_m+hR₂/2) (1.16)

R₄=f(x_m+h/2,y_m+hR₃/2) (1.17)

_t=kh(1.18)

[6]

1.3 Использование численных методов в системе MathCAD

Рассмотрим один из самых распространенных численных методов в СКМMathCAD

Для решения дифференциальных уравнений и систем уравнений из-за его высокой точности часто применяется метод Рунге-Кутта. Отличительная особенность метода - уточнение наклона интегральной кривой за счет вычисления производной не только в начале текущего отрезка интегрирования, но и, например, в середине отрезка (для двучленных схем Рунге-Кутта) или четырехкратное вычисление производных в методе четвертого порядка.

Рассмотрим задачу Коши:

 (1.1)

 (1.2)

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле 1.3:

 (1.3)

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

 (1.4)

 (1.5)

 (1.6)

 (1.7)

где h - величина шага сетки по x.

Метод Рунге-Кутта легко переносится и на случай системы дифференциальных уравнений.

В Mathcad включена функция rkfixed, реализующая метод Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шага интегрирования. Обращение к этой функции: