Материал: Математический пакет Maple
Замечание
2. В теореме 3.2 утверждается лишь, что 
.
Может
случиться, что при любых 
точки 
, так что
движение в направлении наискорейшего спуска может оказаться невозможным.
.
В качестве примера рассмотрим функцию
Где 
Возьмем
точку 
. Как было показано раньше, 
есть треугольник, натянутый на точки (-5, 1), (0, 4),
(5, 1). Так как 
, то 
не
является стационарной точкой функции 
на 
.
Введем ограничение
Нетрудно проверить, что в этом случае
.
.
Так
как луч 
пересекает множество (рис.),
то 
является стационарной точкой функции на множестве а поскольку - выпуклая функция, то - точка
минимума функции на 
.
Введем
теперь другое ограничение:
.
В
этом случае 
. Так как и не имеют общих точек, то не является стационарной точкой функции на множестве 
.
Нетрудно найти направление наискорейшего спуска функции в точке на
множестве . Это есть вектор
Заметим,
что 
при всех 
.
Положим,
наконец,
Нетрудно
проверить, что в этом случае
Таким
образом, не является стационарной точкой функции на множестве 
. Вместе
с тем движение вдоль направления наискорейшего спуска невозможно, ибо
направление 
выводит нас из области .
1.4 Достаточные условия локального минимакса при наличии ограничений
1.
Если - выпуклая функция, то любая стационарная точка
функции на есть
точка минимума на . Ниже
устанавливаются достаточные условия локального минимакса.
Пусть
. Введем в рассмотрение функцию
Тогда необходимое условие (2.10) может быть переписано в виде
Определение.
Точка 
называется точкой локального минимума функции на множестве , если
существует такое 
, что для 
, будет
.
Если
при тех же условиях для 
, выполняется неравенство
,
то
называется точкой строгого локального минимума
функции на .
Теорема
4.1. Пусть - стационарная точка функции на . Если
при этом
, (4.1)
то
является точкой строгого локального минимума функции на . Выясним
теперь геометрический смысл условия (4.1).
Теорема
4.2. Условие (4.1) эквивалентно тому, что множество 
и конус 
не могут
быть отделены, т.е. не существует ненулевого вектора 
и числа а таких, что
(4.5)
(4.6)
Следствие.
Если 
, то 
, и
потому условие неотделимости и означает, что 0 - внутренняя точка множества .
2. Приведем пример, показывающий, что стационарная точка может и не быть точкой локального минимума, если не выполнено условие (4.1).
Пример. Пусть
Где
Положим
. Возьмем точку 
. Ясно, что 
; есть треугольник с вершинами в точках (-5, 1), (0,
4), (5, 1); 
. Нетрудно проверить (рис. 31), что
,
так
что 
является стационарной точкой функции на .
С
другой стороны, условие не выполнено, поскольку 
и 
могут
быть отделены прямой
где
. Действительно,
,
.
Таким
образом, 
.
Покажем,
что 
не является точкой локального минимума функции на . Возьмем
точку 
. Очевидно, 
. Имеем
Отсюда
следует, что при малых будет
,
т.е.
не является точкой локального минимума функции на .
Заметим,
что этот эффект вызван тем, что функция 
не
является выпуклой, вследствие чего невыпуклой оказалась и функция .
*.
Приведем еще одно достаточное условие локального минимума функции на множестве .
Теорема
4.3. Пусть - стационарная точка функции на , причем . Предположим, что функции 
, дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой
окрестности 
, точки . Если
при некотором 
будет
Где
то является точкой строгого локального минимума функции на 
.
Глава II. Применение решений минимаксных задач в экономике с помощью математического пакета Maple
2.1 Виды минимаксных задач в экономике
.1.1 Линейное программирование
Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.
Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования. Это объясняется следующим:
Ø математические модели очень большого числа экономических задач линейны относительно искомых переменных;
Ø для них разработаны специальные конечные методы, с помощью которых эти задачи решаются, и соответствующие стандартные программы для их решения на ЭВМ;
Ø многие задачи линейного программирования, будучи решенными, нашли уже сейчас широкое практическое применение в народном хозяйстве;
Ø некоторые задачи, которые в первоначальной формулировке не являются линейными, после ряда дополнительных ограничений и допущений могут стать линейными или могут быть приведены к такой форме, что их можно решать методами линейного программирования.
Линейное программирование - это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.
Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.
Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.
Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).
.1.2. Матричные игры
Матричные игры - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с
противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых
стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II - n стратегий, то игра
может быть задана (m n)-матрицей
где
есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию 
, а игрок II - стратегию 
. Следуя общим принципам поведения в антагонистических
играх (частным случаем которых являются Матричные игры), игрок I стремится
выбрать такую стратегию 
, на которой достигается