Материал: Математический пакет Maple

Математический пакет Maple

Введение

В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем ( Maple, Mathematics, MATLAB. MatCad и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. Система аналитических вычислений Maple - хороший выбор для проведения любого исследования, где требуется математика - от курсовой работы до научного открытия. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.

Математический пакет Maple - интеллектуальный лидер в своих классах и образец, определяющий развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов. Сам пакет постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple - мощная и хорошо организованная система, надежная и простая в работе. Освоение даже части его возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ним. Еще одним достоинством пакета является неизменность набора основных команд и конструкций языка при появлении новых версий.

Язык Maple - это функции и команды сравнительно небольшого по объему, но быстрого ядра, написанного на языке Cи, основной библиотеки, содержащей около 500 команд и функций, написанных уже на собственном языке Maple, и большого количества специализированных библиотек, также написанных на собственном языке Maple и расширяющих “способности” Maple в различных областях математики. Пожалуй, наиболее важная особенность системы - открытость архитектуры, т.е. возможность редактировать и изменять подпрограммы библиотек, а также пополнять библиотеки собственными подпрограммами. Благодаря этому за короткое время было создано большое число Maple-подпрограмм, целиком написанных пользователями из самых разных областей науки и техники. Лучшие подпрограммы пополняют библиотеку пользователей, так называемую Share-библиотеку, которая распространяется вместе с пакетом Maple.

К настоящему времени программа Maple превратилась в мощную вычислительную систему, предназначенную для выполнения сложных проектов. Maple умеет производить сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел; находить конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы; находить все корни многочленов; решать аналитически и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые классы уравнений в частных производных. В Maple включены специализированные пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры; евклидовой и аналитической геометрии; теории чисел; комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики; теории групп; численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс-метод); финансовой математики; для выполнения интегральных преобразований и многих других задач.

Глава I. Дискретная минимаксная задача с ограничениями на параметры

минимаксный задача matlab mарle

Минимакс (минимизация максимального уклонения) - принцип оптимального выбора параметров.

.1 Постановка задачи

Пусть , - функции, заданные и непрерывно дифференцируемые на некотором открытом множестве . Предположим также, что задано выпуклое замкнутое (не обязательно ограниченное) множество .

Требуется найти точку , для которой

.

Введем в рассмотрение функцию

.

Эта функция задана на . Поставленная задача сводится к минимизации функции  на множестве . Функция  является дифференцируемой по всем направлениям в любой точке множества ; в частности, везде на .

1.2 Необходимые условия минимакса

1. Предположим, что на некотором открытом множестве  заданы непрерывно дифференцируемые функции . Как и ранее, будем использовать обозначения

Пусть  - выпуклое замкнутое множество, содержащееся в . Рассматривается задача минимизации функции  на .

Теорема 2.1. Для того чтобы точка  была точкой минимума функции  на множестве , необходимо, а в случае выпуклости  на  и достаточно, чтобы

Замечание 1. Нетрудно проверить, что необходимое условие (2.1) эквивалентно следующему равенству:

               (2.1)

Было показано, что при фиксированном  функция

является непрерывной по  функцией на всем пространстве . Поскольку множество ,

при любом фиксированном  является замкнутым и ограниченным, то отсюда следует, что функция  достигает своего минимума на .

Учитывая это замечание, заключаем, что инфимум, стоящий в левой части соотношения (2.1'), достигается, и условие (2.1') может быть переписано в виде

Замечание 2. При  из теоремы 2.1 следует необходимое условие минимума непрерывно дифференцируемой функции  на выпуклом множестве : для того чтобы непрерывно дифференцируемая функция  достигала своего минимального на  значения в точке , необходимо, а в случае выпуклости  на  и достаточно, чтобы

            (2.9)

Определение. Точка , для которой выполняется соотношение (2.1), называется стационарной тонкой функции  на .

. Возьмем любую точку  и зафиксируем ее.

Рассмотрим конус :

Очевидно, . Замыкание конуса  называется конусом возможных направлений множества  в точке  и обозначается

Теорема 2.2. Соотношение (2.1) эквивалентно неравенству

                  (2.10)

Доказательство см. Демьянов, стр. 148-149.

Замечание 1. Так как множество

замкнуто и ограничено, то инфимум в левой части (2.10) достигается, и поэтому неравенство (2.10) может быть переписано в виде

                 (2.10')

Замечание 2. Рассмотрим случай . Для любой точки  будем иметь

,

так что условие (2.10') примет вид

.3 Геометрическая интерпретация необходимых условий

1. Зафиксируем , и пусть  - конус возможных направлений множества  в точке . Введем в рассмотрение сопряженный конус :

Конус  является замкнутым и выпуклым множеством.

Пусть, как и ранее,

Теорема 3.1. Соотношение (2.1) (или, что то же самое, (2.10)) эквивалентно следующему условию:

                            (3.1)

Замечание 1. Если , то  для любого . В этом случае условие (3.1) эквивалентно следующему включению:

.    (3.4)

Соотношение (3.4) совпадает с необходимым условием минимакса на всем пространстве .

Замечание 2. Пусть . В этом случае  для любого . Учитывая (3.1), получаем следующее геометрическое условие минимума непрерывно дифференцируемой функции, на множестве .

Для того чтобы непрерывно дифференцируемая функция  достигала своего минимального на  значения в точке , необходимо, а в случае выпуклости  на  и достаточно, чтобы

. Возьмем теперь любую точку . Построим для этой точки многогранник  и конус . Положим

                 (3.5)

Поскольку  и  - замкнутые множества и одно из них () ограничено, то инфимум в (3.5) достигается. Таким образом, существуют такие точки  и , что

.            (3.6)

Если , то точка  является стационарной точкой функции  на множестве , ибо в этом случае, очевидно, выполняется условие (3.1).

Пусть , т.е.  - не стационарная точка. Нетрудно показать, что в этом случае вектор , удовлетворяющий соотношению (3.6), единствен. Введем обозначение

Определение. Вектор , называется направлением наискорейшего спуска функции  на множестве  в точке , если

Теорема 3.2. Если , то направление  является направлением наискорейшего спуска функции  на множестве  в точке  при этом

                               (3.7)

Лемма 3.1. Справедливо равенство

Замечание 1. Направление наискорейшего спуска функции  на множестве  в точке  в случае, если , единственно.