Материал: maple

Методы решения математических задач в Maple

степенной ряд. Построить на одном рисунке графики полученных решений.

8. Построить график численного решения задачи Коши у''−xу'+ xу=0, у(0)=1, у'(0)=−4 на интервале [−1.5; 3], используя команду DEplot.

9. Построить фазовый портрет системы дифференциальных уравнений

x' = 3x − 4 yy' = x − 2 y

при нескольких начальных условиях, которые следует подобрать самостоятельно для наилучшей наглядности рисунка.

Контрольные вопросы.

1.Какая команда позволяет решить дифференциальное уравнение? Опишите ее параметры.

2.С помощью каких операторов обозначается производная в дифференциальном уравнении и в начальных условиях?

3.Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить фундаментальную систему дифференциальных уравнений?

4.Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы получить приближенное решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд? Как определяется порядок разложения?

5.Опишите, какие команды нужно ввести, прежде чем построить график приближенного решения, полученного в виде степенного ряда.

6.Какой параметр команды dsolve следует установить, чтобы решить дифференциальное уравнение численно?

7.Как найти значение решения дифференциального уравнения в какой-либо конкретной точке?

8.Какая команда позволяет построить график численно решенного дифференциального уравнения? В каком пакете находится эта команда?

9.Какой пакет предназначен для графического представления и численного решения дифференциального уравнения?

10.В чем отличие команд odeplot и DEplot?

11.Опишите способы построения фазового портрета системы дифференциальных уравнений.

91

Методы решения математических задач в Maple

VII. Математический анализ: функции многих переменных, векторный анализ, ряды, интегральные преобразования

1.Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

2.Интегральное исчисление функций многих переменных.

3.Векторный анализ.

4.Ряды и произведения.

5.Интегральные преобразования.

§1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

Большинство задач дифференциального и интегрального исчисления функций многих переменных решается в Maple теми же командами, что и для функций одной переменной, только с указанием дополнительных параметров.

Частные производные.

Для вычисления частных производных функции f(x1,…, xm) используется уже хорошо известная вам команда diff. В этом случае эта команда имеет такой формат: diff(f,x1$n1,x2$n2,…, xm$nm), где x1,…, xm – переменные, по которым производится дифференцирование, а после знака $ указаны соответствующие

порядки дифференцирования. Например, частная производная ∂2 f

∂x∂y

записывается в виде: diff(f,x,y).

Задание 1.1.

1. Найти ∂∂fx и ∂∂fy функции f = arctg xy .

> f:=arctan(x/y):

D> iff(f,x)=simplify(diff(f,x));

> Diff(f,y)=simplify(diff(f,y));

92

Методы решения математических задач в Maple

2. Найти все частные производные 2-го порядка функции f (x, y) = xx +− yy .

>restart; f:=(x-y)/(x+y):

>Diff(f,x$2)=simplify(diff(f,x$2));

> Diff(f,y$2)=simplify(diff(f,y$2));

> Diff(f,x,y)=diff(f,x,y);

Локальные и условные экстремумы функций многих переменных.

Для исследования функции на локальный и условный экстремум используется команда из стандартной библиотеки extrema(f,{cond},{x,y,…},'s'), где cond – ограничения для поиска условного экстремума, которые записываются в виде равенств. После ограничений в фигурных скобках указываются все переменные, от которых зависит функция f, а затем в кавычках записывается s – имя переменной, которой будут присвоены координаты точек экстремума. Если ограничений не указывать, то будет производиться поиск локального экстремума.

К сожалению, команда extrema выдает все критические точки, то есть и те, в которых экстремума нет. Отсеять недающие экстремума критические точки можно с помощью непосредственной подстановки этих точек в функцию, например, оператором subs.

Так же, как и для функции одной переменной, наибольшее и наименьшее значения функции многих переменных вычисляются командами maximize(f,{x1,…,xn},range), и minimize(f,{x1,…,xn}, range), где следует указывать после функции в фигурных скобках список всех переменных, от которых она

93

Методы решения математических задач в Maple

зависит, а затем интервалы для каждой переменной, указывающие область поиска наибольшего и наименьшего значений.

Если требуется найти переменные, при которых линейная функция многих переменных имеет максимум (или минимум) при выполнении определенных ограничений, заданных в виде линейных равенств или неравенств, то следует использовать симплекс-метод. Для этого сначала необходимо загрузит пакет simplex, а затем воспользоваться командой maximize (или minimize), где теперь в качестве range можно указывать в фигурных скобках ограничительную систему неравенств. Пакет simplex предназначен для решения задач линейной оптимизации. После его загрузки команды maximize и minimize меняют свое действие. Теперь эти команды выдают координаты точек, при которых заданная линейная функция имеет максимум или минимум. При этом допускается дополнительная опция для поиска только неотрицательных решений

NONNEGATIVE.

Задание 1.2.

1. Найти экстремумы функции f (x, y) = 2x4 + y4 − x2 − 2 y2 .

>restart: readlib(extrema):

>f:=2*x^4+y^4-x^2-2*y^2:

>extrema(f,{},{x,y},'s');s;

{0, −89 }

{{x=0, y=0}, {x= 12 y=0}, {x= −21 , y=0}, {x=0, y=1}, {x=0, y=-1}, {x= 12 , y=1}, {x= 12 , y=-1}, {x= −21 , y=1}, {x= −21 , y=-1}}

Получилось всего два экстремума, поэтому очевидно, что fmax=0 и fmin=−9/8, причем максимум достигается в точке (0,0). Остальные критические точки следует проверить. В силу четности функции по обеим переменным, можно ограничится проверкой критических точек только с положительными координатами.

> subs([x=1/2,y=1],f);

−9

8

> subs([x=1/2,y=0],f);

94

Методы решения математических задач в Maple

−1

8

> subs([x=0,y=1],f);

-1

Таким образом, функция имеет следующие локальные

Замечание: заданную область удобнее записывать в виде неравенств: 0<x<1, 0<y<2.

>restart: readlib(maximize):readlib(minimize):

>f:=x^2+2*x*y-4*x+8*y:

>maximize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

17

> minimize(f,{x,y},{x=0..1,y=0..2});

-4

Таким образом, функция имеет наибольшее значение fmax=17 и наименьшее значение fmin=−4.

3. Найти условные экстремумы функции f(х,у)=xy+yz при x2+y2=2, y+z=2, x>0, y>0, z>0.

>restart: readlib(extrema): f:=x*y+y*z:

>assume(x>0);assume(y>0);assume(z>0);

>simplify(extrema(f,{x^2+y^2=2,y+z=2},{x,y,z},

's'));

{min( 23 RootOf(_Z2+4_Z+1)+ 12 , 0), max( 23 RootOf(_Z2+4_Z+1)+ 12 , 2)}

Несмотря на предварительное использование команды упрощения выражения simplify, полученный результат имеет не аналитический вид, однако это можно исправить, если воспользоваться командой convert.

> convert(%,radical);

> convert(s,radical);

{{x~=1,z~=1,y~=1},{x~=-1,z~=1,y~=1},

95