Материал: лекция 5 ММОСУ

изменению решения y t на всей временной полуоси 0 t . Частотный спектр функции (5.12) дискретен и состоит из одной точки 2 (рис. 5.2, б).

Для описания колебаний более сложной формы можно соединять модели вида (5.11) с различными частотами колебаний 1, , r . Например, последовательное соединение двух моделей вида (5.11) описывается соотношениями

коэффициенты A1,A2 зависят от начальных условий. Если частоты 1, , r

соизмеримы (являются целыми кратными некоторой частоты 0), то

колебания не являются периодическими; они относятся к классу квазипериодических (рис. 5.4, где r 2, 1 1, 2 5 ). В обоих случаях решение непрерывно зависит от начальных условий, а его спектр является дискретным конечным множеством.

Заметим, что «на глаз» различить периодические и квазипериодические колебания может быть затруднительно, поскольку реальные измерения (в том числе измерение частоты колебаний) выполняются с конечной точностью и отличить рациональное отношение частот от иррационального оказывается практически невозможным.

На рубеже XIX-ХХ веков выяснилось, что линейных моделей колебаний недостаточно для описания новых явлений и процессов в физике и технике. Важнейшим в теории нелинейных колебаний является понятие устойчивого предельного цикла – периодической траектории, к которой сходятся все другие траектории (но крайней мере, траектории с близкими начальными условиями).

Рисунок 5.5 – Предельный цикл и его спектр

Рисунок 5.6 – Хаотический процесс в системе Лоренца и его спектр

Рисунок 5.7 – Хаотический аттрактор в системе Лоренца К числу классических примеров нелинейных дифференциальных

моделей, обладающих предельным циклом, относятся уравнение Ван дер Поля

где 0; уравнение Дуффинга

Даже простые нелинейные модели позволяют описывать колебания сложной формы, например релаксационные (близкие к прямоугольным) колебания, учитывать изменение формы колебания в зависимости от начальных условий (системы с несколькими предельными циклами) и т.д. Теоремы о разложении периодической функции в ряд Фурье показывают, что спектр предельного цикла состоит из счетного набора частот, кратных некоторой основной частоте. На рис. 5.5, а приведен график решения системы (5.13) при 2.5, 1 и начальных условиях y 0 0.5, y 0 0. Соответствующий спектр изображен на рис. 5.5, б.

В течение нескольких десятилетий линейные модели колебаний и нелинейные модели с предельными циклами удовлетворяли потребности инженеров. Считалось, что они описывают все возможные типы колебаний детерминированных систем. Однако в середине ХХ века сами математики обнаружили, что уже для систем третьего порядка это не так: в системе становятся возможными весьма сложные движения – ограниченные непериодические колебания. Настоящий переворот начался с работы физика Е. Лоренца, опубликованной в 1963 г., где было показано, что качественный характер явлений атмосферной турбулентности, описываемых сложными уравнениями в частных производных Навье-Стокса, может быть передан простой нелинейной моделью третьего порядка (уравнение Лоренца):

(рис. 5.6, а, где изображен график x t ). Траектории в пространстве состояний (фазовом пространстве) могут приближаться к предельному множеству (аттрактору), имеющему весьма причудливое строение (рис. 5.7, а). Внимание многих физиков и математиков, а затем и инженеров к подобным моделям было привлечено после работы Д. Рюэля и Ф. Такенса, опубликованной в 1971 г., которые назвали такие аттракторы «странными», а также работы Т. Ли и Дж. Йорке (1975), которые ввели термин «хаос» для обозначения подобных нерегулярных явлений в детерминированных системах. Разработанные новые методы аналитического и численного исследования систем показали, что хаос – это отнюдь не исключительный вид поведения нелинейной системы. Грубо говоря, хаотические движения возникают, когда траектории системы глобально ограничены и локально неустойчивы. В хаотической системе сколь угодно малое начальное расхождение траекторий не остается малым, а в течение некоторого времени растет экспоненциально. Частотный спектр хаотической траектории является непрерывным (рис. 5.6, б, где изображен спектр функции x t ). Во многих случаях подобные нерегулярные, непериодические колебания лучше отражают свойства процессов, протекающих в реальных системах. Опятьтаки следует отметить, что «на глаз» отличить хаотический процесс от квазипериодического может быть не менее трудно, чем отличить квазипериодический процесс от периодического.