Материал: Лекция 14
|
|
|
|
Пример. Вычислить поток векторного поля F |
xi |
4yj |
3zk |
через замкнутую поверхность |
|
1 |
|
2 |
, |
|
|
|
|
: |
z 2 |
, |
|
|
: |
4(x |
2 |
y |
2 |
) z |
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Поверхность 1 2 |
, |
1 : z 2 , |
|
|
: 4(x |
2 |
2 |
) z |
2 |
||||||||
|
2 |
|
y |
|
|||||||||||||
является замкнутой, и состоит из 1 |
– части плоскости |
z 2 |
и |
|
2 |
||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
4(x |
2 |
2 |
) z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
части конуса |
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
–
z
-1 |
1 |
y |
|
x
-2
Поток векторного поля через замкнутую поверхность можно найти по
формуле Остроградского-Гаусса: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
n d |
|
divF dV |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычислим сначала дивергенцию векторного поля F |
xi |
4yj |
3zk |
||||||||||||||
|
x |
|
( 4 y) |
|
( 3z) |
1 |
4 |
3 6 |
|
|
|
|
|
||||
divF |
x |
y |
|
z |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, по формуле Остроградского-Гаусса искомый поток
будет равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
divF dV |
6 dV 6 |
dV 6V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
V |
|
|
где |
V |
– объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
1 |
|
2 . Из рисунка видно, что это тело представляет собой |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
круговой конус с высотой |
h 2 |
и основанием |
S |
, полученным в |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
сечении конической поверхности 2 : 4(x2 y2 ) z2 |
плоскостью 1 : |
|||||||||||||
z 2
4(x2 y2 ) z2z 2
Таким образом, основание
4(x2 y2 ) ( 2)2 x2 y2
S |
: |
x |
2 |
y |
2 |
1 |
– круг радиуса |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1.
1.
Объем конуса определяется известной формулой:
V |
|
конуса |
|
1 |
S |
|
|
3 |
осн |
||
|
|||
|
|
h
.
|
S |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
В нашем случае |
осн |
|
|
|
поток векторного поля равен:
. Следовательно,
V2 3
и искомый
6 |
2 |
|
|
3 |
|||
|
|
4
.
Используя формулу Остроградского-Гаусса, можно дать другое определение дивергенции векторного поля ̅( ) в точке M. По теореме о среднем для тройного интеграла имеем:
|
̅ |
) |
= ∙ ̅(0), где M0 – некоторая средняя точка |
|||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
области V. Тогда формула Остроградского-Гаусса примет вид: |
||||||||
|
(̅, ̅) |
= ∙ ̅( ). |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда ̅( |
) = |
1 |
(̅, ̅) . |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть поверхность стягивается в точку. Тогда → 0, 0 |
→ и |
|||||||
̅( ) = lim |
1 |
(̅, ̅) – плотность потока векторного поля ̅ в |
||||||
|
||||||||
|
→0 |
|
|
|
|
|||
точке M.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что
̅( ) есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой жидкости), можно сказать, что:
если ̅( ) > 0 точка M представляет собой источник, откуда жидкость вытекает;
если ̅( ) < 0 точка M есть сток, поглощающий жидкость.
Величина ̅( ) характеризует мощность (интенсивность,
плотность) источника или стока в точке M. В этом состоит физический смысл дивергенции.
Очевидно, что если в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью
, нет ни источников, ни стоков, то ̅ = 0.
Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция равна нулю, т.е.
̅ ≡ 0, называется соленоидальным.