Материал: Лекция 11

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

				6
1		2	1

A	2		1
	1	1
	1	1	3

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

	M 2	1	2	4 , M3	1	2	1


M1 1 0 ,					2		1	4 7
		2			1	1	3
					1	1	3

Чтобы форма была отрицательно определенной, по критерию Сильвестра, необходимо чтобы все главные миноры нечетного порядка были отрицательным, а миноры четного порядка - положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим, при каких будет по-

ложительным минор M 2 и отрицательным минор M3 :

4 0		4
	0
4 7	0	1,75

Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является отрицательно определенной.

Решение 7.2. Составим матрицу квадратичной формы.

1		1	1

A	1	2	3
	1	3
	1	3	2
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
			M 2	1	1	1 0 , M3	1	1	1


M1 1 0 ,							1	2	3	2 5
				1	2		1	3	2
							1	3	2

будет отрицательным минор M3 : 2 5 0 2,5

Итак, форма является отрицательно определенной при значениях параметра

2,5 .

Решение задач обобщающего типа по теме

БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ Пример 8. Пусть f x1x2 x1x3 x2x3 - заданная квадратичная форма.

1.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.

2.Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.

3.Указать линейное преобразование и сделать проверку.

4.Проверить на знакоопределенность.

5.	Определить, какая поверхность определяется уравнением f (x) 1.
Решение.
1.	Для того чтобы выделить полный квадрат, нужно чтобы квадрат переменной

входил в форму с ненулевым коэффициентом. Выполним невырожденное линейное преобразование

x1 y1 y2							1		1	0
x	2	y	y	2		с матрицей С		1	1	0	:	X C Y , откуда Y C 1X
	2	1		2		1						1	1
x				y	3			0	0	1
3					3

Тогда

f ( y y )(y y ) ( y y ) y ( y y ) y y2											y2	2y y
1	2	1	2	1	2	3	1	2	3	1	2	1	3
Заметим, что матрица новой формы
1		0	1

B	0	1	0
	1	0	0
	1	0	0

Теперь коэффициент при y1 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат неизвестного y1 . Сгруппируем все слагаемые, содержащие неиз-

вестное y1 , и дополним их до полного квадрата:

f y2 y2				2 y y ( y2				2 y y		y2 ) y2 y2
1			2		1	3	1	1	3	3		3	2
y y			2	y2	y2
1		3		3		2
Перейдем от неизвестных y1 ,										y2 ,	y3	к неизвестным z1 ,					z2 ,	z3 по формулам:
z y					y									1 0			1
	1			1		3
z2				y2			, матрица преобразования C2								0	1	0	, Z C2Y
z		3				y									0	0	1
		3				3
Канонический вид квадратичной формы:											f	z2	z2	z2 .
												1	2	3

2. Число слагаемых с ненулевыми коэффициентами равно числу всех перемен-

ных. Следовательно, квадратичная форма не вырожденная. Ее ранг равен трем. Поло-

жительный индекс инерции равен 1. Отрицательный индекс инерции равен 2. r ( f ) 1

,r ( f ) 2 , r( f ) 3

3.Запишем линейное преобразование и сделаем проверку.

			Поскольку Z C Y , то Y C														1Z
												2				2
z				1 0 1 y								y		1			0 1 z
1										1		1						1
z2				0 1 0					y2		, то y2				0		1 0	z2	,
				0 0 1											0		0 1
z3				0 0 1					y3			y3			0		0 1	z3
																				1		1		1
Так как				Y C			1X ,				то X С С 1Z						, где С С 1				1	1		1
						1							1 2					1 2
																					0	0		1
																					0	0		1
x	z			z	2	z		3
1			1		2			3
x2 z1 z2						z3 - преобразование
x						z	3
3							3
		1		1		1 T					0	0,5	0,5 1				1	1	1			0	0

Az			1	1		1					0,5	0	0,5			1	1	1		0		1	0
			0	0			1				0,5	0,5	0			0	0			0		0	1
			0	0			1				0,5	0,5	0			0	0	1		0		0	1

4. Форма общего вида

5. Посмотрим, какую поверхность определяет уравнение f (x) 1. В канониче-

ском виде переобозначим переменные, как

z	X
1	Y
z2	Y
z	Z
3
Тогда уравнение примет вид:				X 2 Y 2 Z 2		1 - это уравнение определяет в
пространстве двуполостный гиперболоид.
Пример 9. Пусть		f x2	3x2	4x2	2x x		2x x		6x x		- заданная квад-
		1	2	3	1	2	1	3	2	3

ратичная форма.

1.Найти значение квадратичной формы на векторе a (1; 3;1) .

2.Проверить на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра.

3.Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа.

4.Указать линейное преобразование и сделать проверку.

5.	Указать ранг квадратичной формы, индексы инерции.
Решение.
	1	1

1.	Сначала найдем матрицу квадратичной формы: Ae 1	3
	1	3

Значение формы на векторе a может быть найдено по формуле:

1	1	1	1		1

f (x) (1 3 1) 1	3	3	3	( 1 7 6)	3	16
1 3		4	1		1

2. Исследуем на знакоопределенность с помощью критерия Сильвестра. Рас-

смотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

M1 1 0 ,	M 2	1	1	4 0
		1	3

В дальнейшем исследовании нет смысла, поскольку понятно, что форма не яв-

ляется знакоопределенной.

3. Для приведения квадратичной формы к каноническому виду сгруппируем все слагаемые, содержащие неизвестное x1 , и дополним их до полного квадрата. Слагае-

мые, подчеркнутые одной чертой необходимы нам для соблюдения формулы, но, по-

скольку ранее их не было, то, добавив несуществующее ранее слагаемое, мы должны его же и вычесть (подчеркнуто двумя черточками):

f (x) (x2 2x x 2x x ) 3x2																4x2				6x x
	1				1		2			1	3			2					3		2	3
(x 2	x 2	x 2			2x x				2	2x x		3	2x			2	x	3	)
1	2		3				1		2		1	3				2		3
x2 x2 2x				2	x 3x2					4x2		6x		2	x
2	3			2	3				2		3			2		3
(x x x )2				4x2 5x2 8x x
1	2	3				2				3		2	3
(x x x )2				4(x2				2x x x2 ) x2											(x x x )2				4(x x )2 x2
1	2	3					2			2	3		3				3			1	2	3		2	3		3
	Перейдем от неизвестных x1 ,																x2 , x3 к неизвестным y1 ,								y2 ,	y3	по формулам:
	y	x			x		x
	1	1				2			3
	y2				x2 x3
	y							x
	3								3
Тогда получим канонический вид квадратичной формы:																								f y2 4y2 y2
																									1	2	3

																	10
4.	Выполненное					преобразование						координат		можно	переписать в виде:
y		1		1	1 x		x	1			1	0 y			1	1	0
1					1		1					1
y2			0	1	1 x2		или x2		0		1	1 y2	, где Ce f		0	1	1
			0	0					0	0					0	0
y3			0	0	1 x3		x3		0	0		1 y3			0	0	1

1	1	1

Матрица формы в старом базисе e равна Ae 1	3	3	,
	3	4
1	3	4

Матрица формы в новом базисе: Af 0

Сделаем проверку:

				1		0	0	1	1
A	f	CT	A C		1	1	0	1 3
	f	e f	e e f
		e f						1
					0	1	1	1	3

0	0
4	0

0	1

1	1		1	0

3		0	1	1
4		0	0	1
4		0	0	1

	1 1			1		1	1			0	1		0	0

		0	4	4		0		1 1				0	4	0
		0 0		1		0		0 1				0	0 1

5. r( f ) 3 , r ( f ) 1, r ( f ) 2
				z		x		x	2	x
					1	1			2		3
Если			взять	z2				x2 x3 ,				то	получим нормальный вид квадратичной формы:
				z						2x
					3					3

Q z12 z22 z32

Ключевые вопросы лекции для подготовки к экзамену

1.Определение билинейной функции

2.Понятие квадратичной формы.

3.Матрица квадратичной формы

4. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

5.Понятие конгруэнтных (эквивалентных) форм

6.Понятие ранга квадратичной формы.

7.Понятие вырожденной и невырожденной квадратичной формы

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений