Материал: Лекция 11

Смотрите также:

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы

Определение 1. Квадратичная форма		f (x1,..., xn ) называется положительно
определенной, если для любой совокупности значений пере-
менных	x1 ,..., xn	значение	самой	формы	на	них
f (x1,..., xn ) 0
Определение 2. Квадратичная форма		f (x1,..., xn ) называется отрицательно
определенной, если для любой совокупности значений пере-
менных	x1 ,..., xn	значение	самой	формы	на	них

f (x1,..., xn ) 0

Положительно и отрицательно определенные формы называются знакоопреде-

ленными.

		Пример 1. Квадратичная форма										f (x , x , x ) 2x2											4x2	5x2	- положитель-
												1			1	2	3				1		2	3
но определенная для любых наборов переменных (x1 , x2 , x3 )
		Пример 2. Квадратичная форма										f	2	(x , x , x ) x2									x2 3x2		- отрицательно
													2		1	2	3				1		2	3
определенная для любых наборов переменных (x1 , x2 , x3 )
		Пример								3.							Квадратичная								форма
f	2	(x , x , x ) x2					x2	x2 2x x 2x x							2x x			не			является			знакоопределенной,
	2	1	2		3	1	2		3	1	2	1	3			2	3
так как			f		(x , x , x ) (x				x	x )2 и на наборе (1,									1	,	1	)	она принимает значение 0.
так как			f	2	(x , x , x ) (x				x	x )2 и на наборе (1,										,		)	она принимает значение 0.
				2	1	2	3	1	2		3							2			2
																		2			2

Исследование квадратичной формы на знакоопределенность Теорема 1. Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отри-

цательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ха-

рактеристические числа ее матрицы били положительны (отри-

цательны).

Теорема 2. Критерий знакоопределенности

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определен-

ной необходимо и достаточно чтобы все ее коэффициенты в кано-

ническом виде этой формы были отрицательны.

Пример 4. Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: приведя ее к каноническому виду и найдя собственные числа.

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

Решение.

I способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду методом Ла-

гранжа. Здесь удобно начать собирать слагаемые с x2 :

f 3x12 4x22 5x32 4x1x2 4x2 x3

(4x22 4x1x2 4x2 x3 x12 x32 2x1x3 ) x12 x32 2x1x3 3x12 5x32

(x1 2x2 x3 )2 2x12 2x1x3 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x12 x1x3 14 x32 ) 12 x32 4x32

(x1 2x2 x3 )2 2(x1 12 x3 )2 72 x32

Перейдем от неизвестных x1 , x2 , x3 к неизвестным y1 , y2 , y3 по формулам:
y		x	2x		x
1		1		2		3
		x1				1
y2							x3
y2						2	x3
						2
y	3				x
	3				3

		Получим		канонический вид	квадратичной формы:		Q y2	2 y2	3,5y2 .
							1	2	3
r ( f ) 3 Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 2.
		II способ. Найдем все характеристические числа матрицы квадратичной формы.
Матрица квадратичной формы имеет вид:
3		2	0

A	2	4	2
	0	2	5
	0	2	5
Решим характеристическое уравнение:					A E	0
Решим характеристическое уравнение:					A E	0

(3 )(4 )(5 ) 4((3 ) (5 )) (3 )(4 )(5 ) 4(8 2 ) (3 )(4 )(5 ) 8(4 ) (4 )((3 )(5 ) 8)

(4 )( 7)( 1)

1	4
		- характеристические числа матрицы квадратичной формы. Все i
7 7			0 .
	1
1	1

Квадратичная форма является положительно определенной по теореме 1.

Чтобы установить, является ли квадратичная форма положительно (отрицатель-

но) определенной, не обязательно приводить ее к каноническому виду или разыскивать характеристические числа ее матрицы.

Теорема 3. Критерий Сильвестра

Для того чтобы квадратичная форма была положительно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы этой формы были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно опреде-

ленной необходимо и достаточно чтобы все главные миноры мат-

рицы четного порядка были положительны, а нечетного – отри-

цательны.

Критерий Сильвестра для трехмерного пространства схематично можно

представить следующим образом:

1)	квадратичная форма положительно определена;

2)	квадратичная форма отрицательно определена;

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квад-

ратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Квадратичные формы,

нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных, называются неопределенными или формами общего вида.

III способ для матрицы из примера 4.
		3	2			2	0
	M 2			8 0 , M3	3
					3
M1 3 0 ,					2 4		2	28 0
		2	4		0	2	5
					0	2	5

По критерию Сильвестра (теорема 3) квадратичная форма положительно определенная

Пример 5. Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность с помо-

щью критерия Сильвестра

5.1. f1(x1, x2 ) 2x12 x22 6x1x2

2		3	M		2 0		M			3	7	0 - не является знакоопределенной.
2		3							2	3
A				1		,		2
	3	1		1				2	3	1
	3	1							3	1
Форма общего вида.

	5.2.		f	2	(x , x , x ) x2						4x2 x2				4x x			3x x		4x x
				2	1	2		3	1			2	3		1		2	1	3	2	3
	1	2			3
					2									1	2
A 2		4			2	M	1	1 0		,	M	2		1	2	0 - не является знакоопределенной. Форма
							1					2		2	4
														2	4
	3	2			1
	2

общего вида.

	5.3.	f	3	(x , x , x ) 3x2				4x2	x2		6x x			2x x		2x x
			3	1	2	3	1	2		3		1	2	1	3	2		3
	3	3		1							3								3	1
	3	3		1													3		3	1
								, M 2		3		21 0 ,
A	3	4		1		M1	3 0	, M 2		3	4	21 0 ,			M3		3		4	1	2 0 - явля-
	1	1		1						3	4						1		1	1
	1	1		1													1		1	1

ется положительно определенной по критерию Сильвестра.

5.4. f4 (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 4x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3

3		2	2			3	2				3	2	2
3		2	2								3	2	2
								2	0 ,
A	2	2	2	M1 3 0 ,	M 2	2	2	2	0 ,	M3	2	2	2	4 0 -
	2	2	4			2	2				2	2	4
	2	2	4								2	2	4

является отрицательно определенной по критерию Сильвестра.

Пример 6. Найти все значения параметра , при котором положительно определены следующие квадратичные формы.

6.1.Q 2x12 x22 x32 2x1x2 2x1x3 2x2 x3

6.2.Q 2x12 x22 2x32 2x1x2 6x1x3 4x2 x3

Решение 6.1. Составим матрицу квадратичной формы.

2		1	1

A	1	1	1
	1	1
	1	1
Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.
				2 1				1	1
M1 2 0 , M 2						1 0 , M3	2
							2
							1	1 1		1
				1	1		1	1
							1	1

Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необходимо чтобы все главные миноры были положительными. Для первых двух это усло-

вие выполняется. Минор M3 0 при

Итак, форма является положительно определенной при значениях параметра

Решение 6.2. Составим матрицу квадратичной формы.

2		1	3

A	1		2
	3	2	2
	3	2	2

Рассмотрим миноры I, II и III-го порядков матрицы A.

		2	1	2 1 , M3	2	1	3
					2	1	3
M1 2 0 ,	M 2				1		2	5 2
		1			3	2	2
					3	2	2
Чтобы форма была положительно определенной, по критерию Сильвестра необ-
ходимо чтобы все главные миноры были положительными. Минор M1 0 . Рассмотрим,
при каких будут положительными миноры M 2						и M3 :
			1
2 1 0

			2

5 2	0		2

			5
			5

Очевидно, что система не имеет решения. Не существует значений параметра , при которых форма является положительно определенной.

Пример 7. Найти все значения параметра , при котором отрицательно определены следующие квадратичные формы.

7.1.Q x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2 x3

7.2.Q x12 2x22 2 x32 2x1x2 2x1x3 6x2x3

Решение 7.1. Составим матрицу квадратичной формы.

(3 )(4 )(5 ) 4(3 ) 4(5 )


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия
_Антонян Ю.М., Психология преступника и расследования преступлений