Материал: Лекция №14 2-я редакция

14.2. Существование решения нелинейных уравнений установившегося режима

Обусловленность матриц характеризуется числами обусловленности [3]. Одно из чисел обусловленности равно отношению наибольшего и наименьшего по модулю собственных значений матрицы. Непосредственный расчет этих чисел трудоемок. Элементы матрицы производных уравнений установившегося режима (матрица Якоби) зависят как от параметров сети, так и от параметров режима. Поэтому плохая обусловленность матрицы Якоби может быть следствием как сильного различия (неоднородности) параметров сети, так и близости рассчитываемого режима к предельному по существованию или апериодической статической устойчивости.

Неоднородность электрической сети велика, если имеются устройства продольной компенсации, шиносоединительные выключатели либо близкие к нулю сопротивления обмотки среднего напряжения трехобмоточных трансформаторов и автотрансформаторов. В этих случаях плохо обусловлена как матрица , так и матрица Якоби. Как правило, плохая обусловленность матрицы может характеризоваться относительной малостью определителя. Близость режима к предельному по существованию или по апериодической статической устойчивости [3] соответствует приближению к нулю якобиана, то есть определителя матрицы Якоби уравнений установившегося режима, и плохой обусловленности матрицы Якоби [3].

При задании активных мощностей и модулей напряжений в генераторных узлах при сформулированных в [3] допущениях якобиан уравнений установившегося режима совпадает со свободным членом характеристического уравнения и прохождение якобиана через нуль соответствует пределу по апериодической устойчивости. Поэтому в данном случае приближение к нулю якобиана соответствует приближению к пределу по апериодической устойчивости.

Как правило, приближение к нулю якобиана соответствует ухудшению обусловленности матрицы . Строго говоря, величина определителя не всегда характеризует обусловленность. В тех случаях, когда наибольшее по модулю собственное число матрицы остается конечным, приближение к нулю якобиана соответствует резкому ухудшению обусловленности.

Сходимость решения нелинейных уравнений установив­шегося режима связана с величиной якобиана системы уравнений установившегося режима, т.е. с условиями существования и единственности. Последние используется при расчетах режимов близких к пределу по апериодической устойчивости. Если якобиан равен нулю в точке решения , то методы простой итерации или Зейделя не сойдутся при решении системы уравнений установившегося режима.

14.3. Существование решения нелинейных уравнений установившегося режима

Существование решения поясним на примере уравнения установившегося режима линии только с реактивным сопротивлением х , изображенной на рис 14.2, а.

2

4

90^{0 5}

3

1

0 a b P

б)

Рис 14.2. Существование и единственность решения установившегося режима:

а – линия с реактивным сопротивлением; б – определение установившегося режима.

Уравнение установившегося режима — это уравнение мощности, передаваемой по линии [3]:

, (14.10)

где - модули напряжений в узлах 1 и 2;

Р - мощность, текущая по линии, потребляемая в узле 2 и генерируемая в узле 1;

- фаза напряжения в узле 2.

При , предел передаваемой мощности – постоянная величина:

, (14.11)

и уравнение (14.111) имеет следующий вид:

. (14.12)

Для удобства направим активную мощность по горизонтальной оси, а угол - по вертикальной (рис.14.2, б). Найти решение уравнения установившегося режима - это значит для любого значения мощности найти соответствующее ему значение угла . Геометрически на рис.14.2, б решение соответствует пересечению прямой, параллельной оси Р (то есть прямой P = const), с синусоидой. Например, при Р = Р₂ = const решение соответствует точке 1 с координатами Р₂, или точке 2 с координатами Р₂ и .

Рассмотрим прямоугольную область , , заштрихованную на рис.14.2, б вокруг точки 1. Решение уравнения установившегося режима существует в этой области, если для каждого значения Р в интервале [а, b] существует одно или несколько значений , которые совместно с Р удовлетворяют уравнению (14.12).

Геометрически существование решения для всех Р в прямоугольнике , означает, что любая прямая в этом прямоугольнике, параллельная оси , пересечет синусоиду хотя бы один раз внутри этого прямоугольника. Аналогичное решение существует внутри прямоугольника , , заштрихованного на рис.14.2, б вокруг точки 2. Внутри же прямоугольника , не существует решения уравнений установившегося режима. В этом прямоугольнике ни одна прямая Р= const не пересекает кривую уравнения установившегося режима (14.10) [3].

Решение существует для любого положительного значения мощности, которая меньше, чем предел передаваемой по линии мощности . Для мощности решение уравнения установившегося режима не существует. Физически несуществование решения означает, что по линии с сопротивлением х при модулях напряжений на концах линии , нельзя передать мощность больше предела передаваемой мощности , который определяется выражением (14.11).

Нелинейные уравнения установившегося режима можно записать в виде системы неявных функций:

(14.13)

где Y - вектор независимых переменных (регулируемых параметров режима);

X - вектор зависимых переменных (нерегулируемых параметров режима);

W - вектор-функция, например небалансов мощности или тока в узлах.

Размерность вектор-функции равна размерности вектора X.

Существование решения в общем виде, то есть для уравнений (14.13), состоит в следующем. Существование решений уравнений установившегося режима при заданном значении вектора независимых переменных означает, что имеется хотя бы одно значение вектора зависимых переменных - такое, что параметры режима удовлетворяют уравнениям установившегося режима.

14.4. Единственность решения уравнений установившегося режима

Единственность решения уравнений установившегося режима (14.13) при заданном значении вектора независимых переменных означает, что существует только одно значение вектора зависимых переменных — такое, что па­раметры режима удовлетворяют уравнениям установившегося режима [3]. Нелинейные уравнения установившегося режима имеют, как правило, несколько решений. Поэтому задача заключается в том, чтобы исследовать единственность решения для заданного Y и Х, лежащем в заданной области режимов (рис.14.2). Единственность решения уравнений установившегося режима в области означает, что для любого Y существует единственное значение Х в области - такое, что параметры режима (X,Y) удовлетворяют уравнению установившегося режима (14.13). Как правило, исследование единственности проводится в области , в которой якобиан системы уравнений не равен нулю [3]. На рис. 14.2, б такой областью является, например, прямоугольник, обведенный штриховой линией.

Единственность решения в области для уравнения (14.13) означает, что для любого значения Р в этой области существует только одно решение, то есть только одно значение , удовлетворяющее уравнению установившегося режима. Например, в прямоугольнике около точки 1 , (см. рис. 14.2, б) для любого значения мощности существует единственное решение. Геометрически это означает, что в этом прямоугольнике любая прямая P= const пересекает синусоиду один раз. Аналогично единственное решение существует и в прямоугольнике, заштрихованном вокруг точки 2.

Неоднозначность решения в области означает, что для каждого значения Р в этой области существует несколько решений. Например, в прямоугольнике , на рис. 14.2, б для любого Р существуют два решения. Прямая P = P₂ = const пересекает синусоиду установившегося режима в точках 1 и 2, то есть для Р₂ существуют два значения и , удовлетворяющие уравнению установившегося режима. Аналогично два решения существуют для любого значения мощности в указанном прямоугольнике.