Материал: Красовская Т. Ф. Операционное исчисление

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

приносит при решении прикладных задач, когда действие некоторых физических величин имеет характер мгновенного толчка, например, удар тела или электроудар, т. е. включение тока большой силы на весьма короткий промежуток времени.

Изображение (t) естественно определить с помощью соотношения:


(t)		.

Применяя правило Лопиталя, получаем:
(t)	= 1.

Итак, (t) 1.

Можно так же ввести импульсную функцию с запаздыванием:

,	если	t τ
δ t τ		t τ	.
0,	если	t τ

Тогда изображение импульсной функции с запаздыванием: (t – ) (по теореме запаздывания).

Так же вводятся импульсные функции первого, второго и так далее порядков:

(t) =

Формально можно считать, что h =

t и

(t) =

= (t).

Аналогично тому, как нашли изображение

(t)

можно

найти

изображение (t):

(t)

Применяем правило Лопиталя:

(t)

Применяем правило Лопиталя:

(t)

= –p + 2p = p.

Итак, (t) p.

Аналогично вводится импульсная функция второго порядка:

(t) =

, (как видим, формально можно считать

(t) = (t)) и ее изображение

(t)

. Так можно продолжить и далее.

Пример 18. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения:

+ = 3

(t); y(0) =

(0) = 0.

Введем обозначение y(t)

Y(p), тогда

(t)

pY(p);

(t)

Y(p).

С учетом, что 3 (t) 3, получаем уравнение в изображениях:

( + p)Y(p) = 3, откуда Y(p) =

= 3

= 3 (

–

)

3(1 –

Итак, ответ: y(t) = 3(1 –

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ (возможные вопросы на экзамене)

1.	Является ли функция f(t) = tg t	оригиналом?
2.	Является ли функция f(t) =	t – 1) оригиналом?
3.	Является ли функция f(t) =	оригиналом?
4.	Может ли функция F(p) =	быть изображением?

5.Может ли функция F(p) = tgp быть изображением?

6.Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Линейной комбинацией каких функций является оригинал f(t),

если его изображение F(p) =

Найти изображение функции f(t) = 7 +

–

10.

Если f(t)

, то

f(t)

11.

Если f(t)

, то

f(t) ?

12.

Найти изображение f(3t), если f(t)

13.

Если f(t)

то f(

) ?

14.

Найти изображение функции f(t) = ∫

sin 2

15.

Найти изображение функции f(t) = t

16.

Найти изображение функции f(t) =

(t – 3).

17.

Найти изображение функции f(t) =

18.

Найти оригинал для функции F(p) =

19.

Найти оригинал для функции F(p) =

20.

Если f(t)

, то t

21.

Найти изображение функции t

f(t)

22.

Найти изображение свертки

(t – 1) .

23.

Если 1 f(t) = sint, то f(t) = ?

24.

Если 3

f(t) = 2

, то f(t) = ?

25.

Если

f(t) =

t, то чему равно изображение этой свертки?

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Взадании № 1 надо найти изображение F(p) данной функцииоригинала f(t), используя сформулированные выше свойства.

Взадании № 2 надо по изображению F(p) восстановить оригинал f(t).

Взадании № 3 надо решить задачу Коши для данного дифференциального уравнения или для системы дифференциальных уравнений.

Взадании № 4 надо найти решение интегрального уравнения.

Вариант 1
№ 1.	f(t) = 3			+ 4t sin2t – 5; F(p) = ?;
№ 2.	F(p) =			+ 3		; f(t) = ?;
№ 2.	F(p) =			+ 3		; f(t) = ?;
№ 3.	– 4	= t	; x(0) = –2;			(0) = 0;
№ 4.	2y(t) + ∫				= 1 + t.

Вариант 2

№1. f(t) =

№2. F(p) =

№ 3.	4	– 4
№ 4.	∫
Вариант 3
			t,
№ 1.	f t
№ 1.	f t
			0,
	F p
	F p		?
№ 2.	F(p) =
№ 3.	х 2 y
№ 3.		y
	2x	y
№ 4.	4y(t) – 2∫

	+ 2t	;	F(p) = ?;
; f(t) = ?;
+ x =	;	x(0) = 0;	(0) = 1;

d	= t .

если t 0,1 , причем f t периодическая функция,

если t 1, 4				период Т 4;
			; f(t) = ?;
2t;			x 0 1;

	t
e	t	;	y 0 0;
e		;	y 0 0;

			=	sin 4t.
			=	sin 4t.

Вариант 4
№ 1.	f(t) =	+ 4sin(t – 1)			+ 3	; F(p) = ?;
№ 2.	F(p) =		+		; f(t) = ?;
№ 2.	F(p) =		+		; f(t) = ?;
№ 3.	+ 6	+ 13x =		; x(0) = 0; (0) = 2;
№ 4.	cos t + ∫				.

Вариант 5

№ 1. f(t) = 2

+ 5

; F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

–

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 4x = 3t;

x(0) = 2;

(0) = –1;

№ 4. 2t + ∫

= y(t).

Вариант 6

№ 1. f(t) = 3 sin 2t

– 5t cos 3t;

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 5

+ 6x = 2 sin 2t;

x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4.

∫

= t

Вариант 7

№ 1.

f(t) = 2

+ 5sin(2t – 1)

);

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 2

– 3x

= 2

; x(0) = –1;

(0) = 0;

№ 4.

3∫

= .

Вариант 8

, если t 0,2 , причем f t периодическая функция,

№ 1.

f t

если t 2,3

период Т 3;

F p ?

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 2x = 1;

x(0) = –3;

(0) = 1;

№ 4.

∫

Вариант 9

№ 1.

Записать свертку функций f(t) =

cost и g(t) = и найти ее

изображение F(p);

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

– 2

– 3x =

; x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4. cos t + ∫

Вариант 10

№ 1.

f(t) = sin 2t

+ cos(t – 2)

(t – 2); F(p) = ?;

№ 2. F(p) = +

	2х 4 y e2t ;
№ 3.
№ 3.			;
	x 2 y e	2t	;
		2t

№ 4.	2y(t) + ∫

; f(t) = ?;

x 0 1;y 0 0;

= cos 2t.

Вариант 11

№ 1. f(t) = 3cos 2t

– 5t

;

F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

+ 6 + 9x = 2cos 3t;

x(0) = 0;

(0) = –2;

№ 4.

∫

= 2

+ ∫

Вариант 12

№ 1. Записать свертку функций

f(t) и g(t) и найти изображение F(p)

этой свертки, если f(t) = t

;

g(t) =

;

№ 2.

F(p) =

;

f(t) =?;

№ 3.

– 8 + 16x = t

; x(0) = 1;

(0) = –1;

№ 4. t + ∫

+ 2y(t) = 0.

Вариант 13

№ 1.

f(t) = (

+ 3)

; F(p) = ?;

№ 2.

F(p) =

–

;

f(t) =

№ 3.

4х y t;

x y 2;

x 0	2;


y 0 0;

№ 4.

∫

+ sin 2t

=∫

Вариант 14

№ 1. f(t) = 5(t – 1)

+ 2 cos2(t – 1)

; F(p) = ?;

№ 2. F(p) =

; f(t) = ?;

№ 3.

9 + 6

+ x =

;

x(0) = 0;

(0) = –3;

№ 4. 4∫

= y(t) + 3 .

Вариант 15

№ 1.

f(t) = 2(t – 2)

; F(p) = ?;

№ 2.

F(p) =

;

f(t) = ?;

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)