Материал: Красовская Т. Ф. Операционное исчисление
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Расширить таблицу изображений элементарных функций нам помогут следующие свойства преобразования Лапласа.
Теорема линейности |
|
|
Если f(t) = ∑ |
(t), причем (t) |
(p), – произвольные числа, |
то f(t) F(p) = ∑ |
(p). |
|
Доказательство очевидно в силу линейности оператора интегрирования, так как преобразование Лапласа по сути своей есть именно интеграл.
Пример 1. |
(t) = 3 + 2sint – 5cost |
|
+ |
|
|
|
– 5 |
|
. |
||
|
|
|
|
||||||||
Теорема подобия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f(t) |
F(p) и a |
0, то f(at) |
|
|
F( |
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Докажем это: f(at) |
∫ |
|
|
dt: |
|
|
|
|
|||
Делаем замену z = at; dz = adt.
f(at) ÷ |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
|
F( |
|
) . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теперь можно расширить таблицу изображений: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
sin at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos at |
|
|
|
|
|
⁄ |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. F(t) = 3sin 4t – 7cos 2t |
|
|
|
|
— 7 |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Теорема смещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если f(t) F(p), то |
|
f(t) |
|
|
F(p + a). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Докажем это: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
f(t) |
|
|
|
dt = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = F(p + a). |
|||||||||||
Расширим еще таблицу изображений:
= 1 |
— |
|
|
, |
|
|
|||
|
|
||||||||
= 1 |
|
|
|
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin bt |
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
||||||
cos bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.
Найти изображение для данного оригинала:
5 |
– 4 cos 5t 5 |
|
– 4 |
|
. |
|
|
6
Пример 4.
Найти по данному изображению оригинал:
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
cos 3t + |
|
|
|
sin 3t + |
|
|
|
|
– |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Теорема запаздывания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если f(t) |
|
|
|
F(p) |
и |
0, |
|
то f(t – ) |
(t – ) F(p) |
. |
|
|||||||||||||||||
Замечание. |
Запаздывание на |
|
|
должно быть во всей функции-ориги- |
||||||||||||||||||||||||
нале, в частности и в (t), которая (может быть, и неявно) всегда входит в функцию-оригинал. Таким образом, при запаздывании оригинал слева от тождественно равен 0, так как функция Хэвисайда с запаздыванием на
имеет вид: ( |
– ) { |
|
. |
|
|
|
Докажем теорему: |
|
|
|
|
|
|
f(t – ) |
(t – ) = ∫ |
|
|
dt = ∫ |
) |
dt. |
Сделаем замену t = z + |
: |
|
|
|
|
|
∫ |
|
dz = |
∫ |
dz = |
F(z), |
|
что и требовалось доказать.
Пример 5. Восстановить оригинал по изображению:
.
Замечание 1. Если в составе оригинала нет функции Хэвисайда с запаздыванием, то это означает, что в оригинале нет запаздывания. Например, если надо найти изображение функции f(t) = cos5(t – 3), то здесь нельзя применить теорему запаздывания. Получаем:
cos5(t – 3) = cos(5t – 15) = cos5t cos15 + sin5t sin15 cos15 |
|
+ |
||
|
||||
+ sin15 |
|
. |
|
|
|
|
|
||
Замечание 2. Функция Хэвисайда с запаздыванием очень удобна, если мы хотим записать одним выражением так называемую «составную» функцию, т. е. функцию, которая задается разными выражениями на разных участках числовой оси, с тем, чтобы в дальнейшем найти ее изображение, используя теорему запаздывания.
Пример 6. Найти изображение функции f(t), заданной следующим образом:
{
7
Запишем, используя функцию Хэвисайда с запаздыванием, f(t) в виде одного выражения:
f(t) = 2sint |
|
) – 2sint |
+ 4 |
. |
|
Теперь, чтобы применить теорему запаздывания, запишем, как функцию с запаздыванием
f(t) = 2sin((t – |
|
) + |
|
) |
|
) – 2sin((t – |
) + |
|
|
|
|||||
+ 4 |
|
– 4 |
. |
||||
Воспользуемся тригонометрическими формулами приведения:
( )
=( ) ( )
Используем теорему запаздывания: |
|
|
|
|
|
|||
f(t) ÷ 2 |
|
+2 |
|
4 |
|
4 |
|
. |
|
|
|
|
|||||
Пример 7. Найти изображение F(p) для функции f(t) = |
. |
|||||||
Сначала надо привести эту функцию к виду функции c запаздыванием:
|
f(t) = |
(t – 2) = |
|
||||||
= [ |
+ 4(t – 2) + 4] (t – 2) ( |
|
+ |
|
+ |
|
) |
. |
|
|
|
|
|||||||
СВЕРТКА ОРИГИНАЛОВ. ТЕОРЕМА СВЕРТЫВАНИЯ
Определение. Сверткой функций f(t) |
и g(t) (обозначается f(t) |
g(t)) |
|
называется: f(t) g(t) = ∫ |
. |
|
|
Свертка симметрична, т. е. ∫ |
=∫ |
. |
|
Действительно: ∫ |
. Сделаем замену: = t – z; d |
–dz; |
|
= 0: z = t; = t: z = 0. |
|
|
|
∫ |
= ∫ |
(здесь мы просто переимено- |
|
вали переменную интегрирования снова в |
, на что имеем полное право). |
||
Теорема свертывания (теорема умножения изображений)
Если f(t) F(p); g(t)
Из формулировки свертывания, а также, изображений.
Доказательство: f(t) g(t) ∫ ∫
ния).
G(p), то f(t) g(t) = ∫ F(p) G(p).
теоремы ясно, почему она называется теоремой почему ее можно назвать теоремой умножения
g(t – |
] |
dt (по определению изображе- |
8
Интеграл справа – это двукратный повторный интеграл по области, ограниченной прямыми = 0; = t, причем 0 . Изменим порядок интегрирования, тогда пределы внутреннего интегрирования по t будут:
t = и t = |
, a |
. |
|
|
|
|
Итак, имеем: |
|
|
|
|
|
|
∫ |
dt∫ |
∫ |
∫ |
|
g(t – |
. Во внут- |
реннем интеграле сделаем замену: t – |
= z; t = z + |
; t = |
z = 0; t = |
: z = : |
||
∫ |
∫ |
g(z)dz= ∫ |
f( |
∫ |
g(z)dz = F(p) G(p), |
|
что и требовалось доказать.
Пример 8. Записать свертку функций f(t) = sin 3t и g(t) = cos 2t и найти изображение этой свертки:
|
|
|
|
|
sin 3t |
cos 2t = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Пример 9. Восстановить оригинал по изображению: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
F(p) = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
sin t sin t = ∫ |
= |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= |
|
|
∫ |
t) – cos t]| = |
] = |
|
∫ |
] = |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
[ |
|
sin(2 |
|
[ |
|
sin t – t cos t |
|
|
|
sin( t)] = |
|
|
(sin t – t cos t). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ТЕОРЕМА О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Теорема о дифференцировании изображения |
|
|
|
|||||||||||||
Если f(t) |
F(p), то |
f(t) |
|
|
|
|
(p). |
|
|
|
||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f(t) ∫ |
|
|
f(t) dt = [ |
|
( |
|
= t |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
) = |
|
; . . . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
( |
)] = |
|
|
) = |
|
|
|
∫ |
|
|
( |
f(t))dt = |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
|
|
|
(∫ |
f(t)dt) = |
|
|
|
(F(p)) = |
(p), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
что и требовалось доказать.
Следствие. Теперь можно вывести изображение степенной функции:
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
t = t |
|
|
|
|
= |
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
= t t |
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
= t |
|
|
= |
|
|
, |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
. . . . . . . . . . . . .
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание. По сути важно только соответствие: |
если f(t) |
F(p), то |
||||||||||||||
t f(t) |
(p), так как, чтобы найти n-ую производную от F(p), надо по- |
|||||||||||||||
очередно брать первую, вторую и так далее до n, производные. |
|
|||||||||||||||
Поэтому сначала находим t f(t) |
|
|
(p), |
|
затем |
|
f(t) = t |
(t f(t)) |
||||||||
|
и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Найти изображение функции |
sin t |
|
|
|
||||||||||||
|
sin t |
|
; t sin t |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin t = t (t sin t) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ТЕОРЕМА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ОРИГИНАЛА. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теорема дифференцирования оригинала (изображение производных)
Если f(t) |
F(p), то |
(t) |
pF(p) – f(0); |
(t) |
F(p) – pf(0) |
(0); |
|
(t) |
F(p) |
|
f(0) |
|
(0) . . . |
(0). |
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) ∫ |
(t) |
dt. |
|
|
Интегрируем по частям: |
|
|
|
|
|||
|
f(t) |
| |
p∫ |
|
dt = pF(p) f(0) |
|
|
(t) = |
|
p(pF(p) – f(0)) |
|
(0) = |
F(p) – pf(0) |
(0) |
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|||||
(t) = |
|
F(p) |
f(0) |
|
(0) . . . |
(0), |
|
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Как видим, в изображении как самой функции f(t), так и всех ее производных, фигурирует изображение F(p). Это позволяет получить при решении обыкновенных дифференциальных уравнений более простое (уже алгебраическое) уравнение относительно изображения F(p) искомой функции. В частности, если дифференциальное уравнение – линейное любого порядка, то для F(p) получаем просто линейное алгебраическое уравнение и остается только по изображению восстановить оригинал – искомую функцию.
Замечание 2. Если изображение F(p) представляет из себя правильную рациональную дробь, то, если нельзя сразу по таблице восстановить оригинал, можно разложить эту дробь на простейшие рациональные дроби, используя метод неопределенных коэффициентов, а далее уже по таблице восстановить оригинал.
10