Материал: Конспект_лекций_Імовірнісні_основи_обробки_данних2
Класичне визначення ймовiрностi.
Cукупнiсть подiй утворює повну групу подiй для даного випробування, якщо його результатом обов’язково стає хоча б одне з них.
Наведемо приклади повних груп подiй:
випадiння герба i випадання решки (цифри) при одному киданнi монети;
влучення в цiль i промах при одному пострiлi;
випадання одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти i шести очок при одному киданнi гральної кiстки.
Розглянемо повну групу попарно несумiсних подiй x1, x2,...,xn, пов’язану з деяким випробуванням.
Припустимо, що в цьому випробуваннi здiйснення кожної з подiй xi (i = 1, 2,...,n) рiвноможливе, тобто умови випробування не створюють переваги появi якої-небудь подi перед iншими можливими.
Подiї x1, x2,...,xn, що утворюють повну групу попарно несумiсних i рівно можливих подiй, називають елементарними подiями.
До прикладу випробування з пiдкиданням гральною кiстки. xi - подiя, яка полягає у тому, що кiстка випала гранню з цифрою i.
Подiї x1, x2,...,x6 утворюють повну групу попарно несумiсних подiй.
Оскiiльки гральна кiстка передбачається однорiдною i симетричною, то події x1, x2,...,x6 є рiвноможливими, тобто елементарними.
Класичне визначення ймовiрностi
Ймовiрнiстю P(A) подiї A називається спiввiдношення m числа елементарних подiй, що сприяють подiї A, до числа N всіх елементарних подiй, Тобто P(A) mN
З наведеного класичного визначення ймовiрностi випливають наступнi її властивостi.
Iмовiрнiсть достовiрної подiї дорiвнює одиницi.
Дiйсно, достовiрнiй подiї повиннi сприяти всi N елементарних подiй, тобто m = N i, отже, P(A) mN NN 1
Iмовiрнiсть неможливої подiї дорiвнює нулю.
Справдi, неможливiй подiї не може сприяти жодна з елементарних подiй, тобто m =
0, звiдки, P( A) Nm N0 0
Ймовiрнiстю випадкової подiї є позитивне число мiж нулем та одиницею. Дiйсно, випадковiй подiї сприяє лише частина iз загальногочисла елементарних
подiй. Тому в цьому випадку 0 < m < N, значить, 0 mN 1, Отже, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Тому, ймовiрнiсть будь-якої подiї задовольняє подвiйну нерiвнiсть.
З визначення ймовiрностi випливає, що елементарнi подiї є рiвноiмовiрними, тобто мають одну й ту саму iмовiрнiсть.
Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей
Комбiнаторика - роздiл математики, що вивчає питання про те, скiльки комбiнацiй певного типу можна скласти з даних предметів (елементiв). Як при вирiшеннi задач з використанням класичного визначення ймовiрностi, так i надалi нам знадобляться деякi формули комбiнаторики.
Наведемо найбiльш уживанi з них.
6
Комбінаторика
Якщо з безлiчi предметiв обирається деяка пiдмножина, то її називають
вибiркою.
Вибiрки бувають впорядкованi i невпорядкованi.
У впорядкованiй вибiрцi суттєвим є порядок, в якому слідують її елементи, iншими словами, змiнивши порядок елементiв, ми отримаємо iншу вибiрку.
Наприклад,
iз цифр 1, 2, 3, 4, 5 можна скласти наступнi тризначнi числа
123, 431, 524, ... i т.д.
Це впорядкованi трьохелементнi вибiрки, оскiльки 123 i 132 - рiзнi числа.
Або iнший приклад:
з 30-ти однакових деталей обрати двi - будь-яка пара деталей являє собою неупорядковану двохелементу вибiрку, оскiльки їх порядок не важливий.
Розміщення
Розмiщеннями з n рiзних елементiв по m елементiв (m ≤ n) називаються комбiнацiї, складенi з даних n елементiв по m елементiв, якi вiдрiзняються або самими елементами, або порядком елементiв.
Число розмiщень без повторень з n по m (n рiзних елементiв) обчислюється за
формулою: |
Am |
n! |
|
||
|
||
|
n |
(n m)! |
|
|
Розмiщеннями з повтореннями iз n елементiв по m називаються впорядкованi m- елементнi вибiрки, в яких елементи можуть повторюватися.
Число розмiщень з повтореннями обчислюється за формулою: A~nm nm
Наприклад, розглянемо, як iз трьох елементiв a,b,c можна скласти розмiщення по два елементи :
без повторень
ab, ac, bc, ba, ca, cb
(за формулою ( Am |
n! |
|
|
) A2 |
|
|
3! |
|
6, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
n |
(n m)! |
3 |
|
(3 2)! |
|
||||
|
|
|
|
||||||
з повтореннями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aa, bb, cc, ab, ac, bc, ba, ca, cb |
|
|
|
||||||
~ |
|
~ |
|
32 |
9 |
|
|
|
|
(за формулою ( Am nm ) |
A2 |
|
|
|
|||||
n |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Перестановки
Перестановками з n рiзних елементiвназиваються розмiщення з цих n елементiв по
n.
Перестановки можна вважати окремим випадком розміщень при m = n. Отже, число всiх перестановок iз n елементiв без повторень обчислюється за
формулою: Pn = n(n − 1)(n − 2)... · 2 · 1 = n!
Число перестановок з повтореннями (k рiзних елементiв, де елементи можуть повторюватися m1, m2, ..., mk раз i
m1 + m2 + ... + mk = n, де n - загальна кiлькiсть елементiв)
~ |
|
,..., mk ) |
|
n! |
|
обчислюється за формулою: Pn |
(m1, m2 |
|
|
||
m1 |
!m2!...mk ! |
||||
|
|
|
Розглянемо попереднiй приклад, коли є три елементи a,b,c. Якi перестановки з цих букв можна отримати i скiльки таких наборiв вийде, якщо:
7
лiтери в наборi не повторюються;
лiтера a повторюється два рази? Розв’язок
Упершому випадку вийдуть набори: abc, acb, bac,bca, cab, cba. За формулою (Pn = n!) маємо P3 = 3! = 6.
Удругому випадку вийдуть набори:
aabc, aacb, baca,bcaa, caab, cbaa, abac, acab, abca, acba, baac, caab.
~ |
|
) |
|
n! |
|
~ |
|
|
4! |
|
12 |
|
За формулою ( Pn |
(m1 , m2 ,..., mk |
|
|
|
) маємо P4 |
(2,1,1) |
|
|
||||
m1 |
!m2 !...mk |
! |
2!1!1! |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Поєднання
Поєднаннями (сполученнями) з n елементiв по m елементiв називаються комбiнацiї, складенi з даних n елементiв по m елементiв, якi рiзняться хоча б одним елементом.
Вiдмiннiсть сполучень вiд розмiщень в тому, що в сполученнях не враховується порядок елементiв.
Число поєднань (сполучень) без повторень (n рiзних елементiв, узятих по m) обчислюється за формулою:
С m |
n! |
|
|
|
|
n |
m!(n m)! |
|
Числа Сnm є коефiцiєнтами у формулi бiнома Ньютона
( p q)n pn Cn1 pn 1q Cn2 pn 2q2 ... qn i тому часто називаються біноміальними коефiцiєнтами, якi можна знайти за допомогою трикутника Паскаля.
Число сполучень c повтореннями (n елементiв, узятих по m, де елементи в наборi
можуть повторюватися) обчислюється за формулою ~m (n m 1)!
Сn m!(n 1)!
Схема визначення формули
8
9
Тема: «Основні характеристики теорії ймовірностей та випадкових величин».
Основні характеристики імовірності
Для наглядного подання основних характеристик імовірності розглянемо дослід з розподіленням частинок.
Позначимо і – це ящик, в котрий потрапляють частинки, hi – це висота рівня частинок,N – повна кількість частинок, H – це деякий масштабний коефіцієнт.
Висота рівня частинок буде визначатися за формулою hi H nNi , де
ni - це кількість частинок в і-тому ящику.
Тоді імовірність потрапляння частинки до і- того ящика визначається за формулою:
Pi lim(hi / H ) , Pi |
lim( |
ni |
) |
|
|||
N |
N N |
|
|
Якщо змоделювати ширину ящика, то дискретний розподіл ймовірностей переходить у неперервний, який визначається так званою густиною ймовірностей.
10