Расширение исследований в области упомянутой «первой волны» неклассической математики привело к новым построениям Римана, показавшего неограниченное разнообразие геометрических пространств, отличающихся друг от друга размерностью, формулами для вычисления расстояний и т.п. Стали изучаться пространства с комплексными координатами; пространства, элементами которых являются не точки, а прямые, окружности, сферы, функции, последовательности (функциональные пространства). В последующем данные идеи нашли плодотворное применение при создании теории относительности и в квантовой механике (бесконечномерные пространства и линейные операторы в этих пространствах).
В конце XIX в. идеи теории групп нашли применение в геометрии (Ф. Клейн – Эрлангенская программа). Геометрия начинает рассматриваться как наука, изучающая свойства фигур, не изменяющиеся при преобразовании из той или иной группы (группы перемещений, подобий, проективных, конформных, аффинных преобразований). В результате можно получить разные геометрии. А поскольку отыскание инвариантов данной группы является алгебраической задачей, то была установлена взаимосвязь алгебры и геометрии на новом уровне обобщений (по сравнению с Р. Декартом).
Критические исследования понятий «предел функции», «непрерывность», «производная», «интеграл» и поиски обоснований операций математического анализа привели к детальному изучению разрывных функций (Фурье) и появлению теории точечных множеств и последующему ее обобщению (Г. Кантор). Развитие теории множеств показало ее применимость к самым различным разделам математики.
В конце XIX – начале XX в. обозначается «вторая волна» развития современной математики. Она характеризуется не только появлением все новых глубоких ее направлений (топология, теория многомерных пространств и отображений, теория вероятностей и др.), но и пристальным вниманием к исследованию оснований математики. Особо следует в связи с этим выделить работы Д. Гильберта в области исследования геометрической аксиоматики и развития аксиоматического метода. Д. Гильберт разбил аксиомы геометрии на группы и исследовал вопрос об их независимости, для чего им были построены разнообразные «геометрии», совсем непохожие на евклидову. Тем самым была показана возможность построения геометрических систем из разного набора постулатов. Аналогичная работа была проделана по отношению к другим аксиоматизированным системам (арифметика, логика). Например, в области математической логики были уточнены правила и способы построения логических исчислений, изучены их основные свойства – независимость постулатов (П. Бернайс, К. Гёдель), непротиворечивость (Д. Гильберт, В. Аккерман), полнота (Пост), выявляются границы алгоритмического мышления, проявляющиеся, например, в алгоритмической неразрешимости ряда логических проблем, невыразимости всех содержательных истин в каком-либо формальном языке (теорема Гёделя). Это позволило уже в 40-е – 60-е гг. XX в. сформулировать современный обобщающий взгляд на математику как науку о математических структурах разного типа (алгебраических, порядка, топологических). В наиболее последовательной форме такая концепция современной математики была изложена группой выдающихся французских математиков (А. Вейль, Ж. Дьедоне и др.), объединившихся под псевдонимом Н. Бурбаки и выпустивших многотомное издание «Элементы математики», где наиболее важные разделы математики изложены с точки зрения теории структур1.
Суть структурного подхода к математике выдающийся математик XX в. А.Н. Колмогоров охарактеризовал следующим образом:
«А. В основе всей математики лежит чистая теория множеств.
Б. Специальные разделы математики занимаются структурами, принадлежащими к тем или иным специальным родам структур. Каждый род структур определяется соответствующей системой аксиом. Математика интересуется только теми свойствами структур, которые вытекают из принятой системы аксиом, т.е. изучает структуры только с точностью до изоморфизма».
Сам А.Н. Колмогоров разработал на основе аксиоматического подхода современную версию теории вероятностей, рассмотрев ее как теорию мер особого вида, к которому применимы методы теории функций действительного переменного.
Столь углубленные поиски начал в математике, выход на новые уровни абстракции позволили найти глубинные связи между весьма различными направлениями и теориями современной математики. В итоге дальнейшая концептуализация математического знания не только не увела ее от реальных, практических проблем, но и в результате совершенствования методов и взаимосвязей внутри математики позволила найти пути решения весьма сложных физических, биологических, астрономических проблем.
Во второй половине XX в. интенсивно развиваются такие направления, как теория информации и математическая логика, которые получили опредмечивание в компьютерной технике и служат ключом к решению проблемы искусственного интеллекта. Современные физические разработки в области единой теории поля, исследования проблемы элементарности, природы вакуума, генезиса и развития Вселенной были бы немыслимы без использования самых абстрактных областей математического знания. Концепции дискретной математики применимы в современной генетике.
Самым ярким воплощением математического знания в практику за все время ее существования является, несомненно, создание компьютерной техники. Логическим завершением ее развития можно будет считать создание систем искусственного интеллекта, которые позволят в последующем преобразить не только облик самой математики, но и всей структуры научного познания.
Математика – источник представлений и концепций в естествознании.
Роль математики в естественнонаучном знании.
Язык науки и язык природы.
Математическая научная программа современного знания.
Химия – очень древняя наука. Существует несколько объяснений слова «химия». Согласно одной из имеющихся теорий оно происходит от древнего названия Египта – Kham и, следовательно, должно означать «египетское искусство». Согласно другой теории слово «химия» произошло от греческого слова cumoz (сок растения) и означает «искусство выделения соков». Этот сок может быть расплавленным металлом, так что при подобном расширенном толковании данного термина в него приходится включать и искусство металлургии. С химией тесно связаны элементы стихий древнегреческой натурфилософии, атомистика Левкиппа и Демокрита. Но, конечно, наибольший вклад в становление этой науки внесли египтяне. Имя первого из дошедших до нас химиков, жившего в дельте Нила на рубеже III и II вв. до н.э. – Болос из Менда. К 300 г. н.э. египтянин Зосима написал энциклопедию, которая охватывала все собранные к тому времени знания по химии. Но химия, представленная в этом труде, еще не была наукой в полном смысле слова, а оставалась тесно связанной с древнеегипетской религией и не выходила в своем развитии за пределы формирования феноменологического уровня. В химии выявлялись свойства, устанавливались закономерности между ними, сущность же явлений подменялась их мистической интерпретацией. Химию (химиков) искореняли и преследовали древнеримские императоры, фанатики христианства: ученые изгонялись, книги их сжигались, сама наука запрещалась. Одни опасались, например, того, что химики занимались получением золота; вторые преследовали ученых за тесную связь химии с древнеегипетской религией, которая, с точки зрения христианства, была язычеством. Начиная с последних веков I тыс. до н.э. химия бурно развивалась в арабском мире, а в первой половине нынешнего тысячелетия она получила широкое распространение в Западной Европе. С одной стороны, развитие химии в этот период шло вслед за развитием техники, однако, с другой стороны, она оставалась тесно связанной с религиозно-философской мыслью. В тот период химия существовала главным образом как алхимия.
В химии необходимо отметить прежде всего существование особого «химического взгляда» на природу, который не может быть сведен к физическому, несмотря на все успехи физической химии в нынешнем столетии. То есть у химии давно были обнаружены качества некоторого особого типа. Так, согласно известному химику А.А. Бутакову, химические реакции «нельзя объяснить только действием сил электрического притяжения и отталкивания. Их действием объясняется лишь физическая сторона химического процесса. Химическая форма движения материи представляет собой процессы изменения частиц вещества, которые в конечном счете определяются действием периодического закона». Подобного мнения придерживаются и многие другие ученые-химики.
Известный российский физико-химик Н.Н. Семенов сводил основные отличия между физическим и химическим процессом к трем: «Истории системы, отсутствию мгновенных параметров для скоростей химических реакций, возможности пользоваться равновесными параметрами для физических процессов и невозможности – для химических».
В химии хорошо используется подход индуктивный, гораздо менее продуктивным здесь оказался дедуктивный подход. При дедуктивном подходе вся совокупность известных естественнонаучных фактов (не только химических, но и физических, биологических) представляется вытекающей из ряда основных законов. Такой подход, как правило, оказывается достаточно эффективным в физике и там, где могут быть использованы физические идеи (в химии). Индуктивный подход – это движение в обратном направлении, когда на основе химической фактологии выявляются более или менее общие закономерности (правила, законы), а затем уже создаются обобщенные модели, составляющие основу современной теоретической химии.
Важнейшие особенности современной химии таковы:
1. В химии, прежде всего в физической химии, появляются многочисленные самостоятельные научные дисциплины (химическая термодинамика, химическая кинетика, электрохимия, термохимия, радиационная химия, фотохимия, плазмохимия, лазерная химия).
2. Химия активно интегрируется с остальными науками, результатом чего было появление биохимии, молекулярной биологии, космохимии, геохимии, биогеохимии. Первые изучают химические процессы в живых организмах, геохимия – закономерности поведения химических элементов в земной коре. Биогеохимия – это наука о процессах перемещения, распределения, рассеяния и концентрации химических элементов в биосфере при участии организмов. Основоположником биогеохимии является В.И. Вернадский. Космохимия изучает химический состав вещества во Вселенной, его распространенность и распределение по отдельным космическим телам.
3. В химии появляются принципиально новые методы исследования (рентгеновский структурный анализ, масс-спектроскопия, радиоспектроскопия и др.).
Химия способствовала интенсивному развитию некоторых направлений человеческой деятельности. Например, хирургии химия дала три главных средства, благодаря которым современные операции стали безболезненными и вообще возможными: 1) введение в практику эфирного наркоза, а затем и других наркотических веществ; 2) использование антисептических средств для предупреждения инфекции; 3) получение новых, не имеющихся в природе аллопластических материалов-полимеров.
В химии весьма отчетливо проявляется неравноценность отдельных химических элементов. Подавляющее большинство химических соединений (96% из более 8,5 тыс. известных в настоящее время) – это органические соединения. В их основе лежат 18 элементов (наибольшее распространение имеют всего 6 из них).
Это происходит в силу того, что, во-первых, химические связи прочны (энергоемки) и, во-вторых, они еще и лабильны. Углерод как никакой другой элемент отвечает всем этим требованиям энергоемкости и лабильности связей. Он совмещает в себе химические противоположности, реализуя их единство.
Однако подчеркнем, что материальная основа жизни не сводится ни к каким, даже самым сложным, химическим образованиям. Она не просто агрегат определенного химического состава, но одновременно и структура, имеющая функции и осуществляющая процессы. Поэтому невозможно дать жизни только функциональное определение.
В последнее время химия все чаще предпринимает штурм соседних с нею уровней структурной организации природы. Например, химия все более вторгается в биологию, пытаясь объяснить основы жизни.
Химию традиционно принято подразделять на пять разделов: неорганическая химия, органическая химия, физическая химия, аналитическая химия и химия высокомолекулярных соединений. Однако четких граней между этими разделами не существует.
В химии могут быть выделены два основных структурных стержня, которые связаны с основными этапами развития этой науки и, кроме того, дают представление о взаимосвязях химии с другими естественными науками.
Первый из этих стержней – появление веществ с заданными (необходимыми) свойствами, что является в то же время и главной задачей химии. Эта задача объединяет практически все химические знания, которые представляются в виде теорий, законов, методов, технологических инструкций и т.п. Она ближе к истокам химии и к конкретному производству (металлургии, выделке кож и т.п.), которое и сформировало саму эту науку.
Вторым структурным стержнем химии является теоретическая задача исследования генезиса (происхождения) свойств вещества. Ее решение допускает различные уровни обобщения представлений о химических веществах. В настоящее время выделяют четыре наиболее общих подхода:
1) исследование элементного и молекулярного состава вещества;
2) исследование структуры молекул веществ;
3) исследование термодинамических и кинетических условий, обеспечивающих протекание химических процессов;
4) исследование природы реагентов (катализаторов), процессов самоорганизации и эволюции химических соединений.
Рассмотрим более подробно перечисленные подходы.
Исследование элементного и молекулярного состава (свойств) веществ. Учение о составе веществ является первым уровнем химических зданий. До 20–30-х гг. XIX в. вся химия не выходила за пределы этого подхода. Но постепенно рамки состава (свойств) стали тесны химии, и во второй половине XIX в. главенствующую роль в химии постепенно приобрело понятие «структура», ориентированное, что и отражено непосредственно в самом понятии, на структуру молекулы реагента.
Химическим соединением называется атомно-молекулярная система, обладающая следующими признаками: 1) содержанием большего числа атомов ограниченного числа «сортов»; 2) каждому сорту атомов соответствует определенная координация постоянных, определяющих индивидуальность химического соединения, распределение атомов по сортам (состав); 3) способностью существовать в виде одного или нескольких химических веществ.
Структурная химия. Структура – это устойчивая упорядоченность качественно неизменной системы (молекулы). Под данное определение подпадают все структуры, которые исследуются в химии: квантово-механические, основанные на понятиях валентности и химического сродства, и др. Вершиной структурной химии стал период после 1880 г., когда был открыт органический синтез и когда началось его бурное (можно сказать, триумфальное) развитие. Химики считали, что из нескольких простейших элементов они могут складывать все остальные. Но в рамках этого уровня возникла необходимость исследовать основные параметры химических процессов.
Учение о химических процессах. Наиболее глубокое взаимопроникновение физики, химии и биологии имеет место в учении о химических процессах. Это учение основывается на термодинамике и кинетике (физической химии) и принадлежит как физике, так и химии. Химический процесс есть то основное явление, которое отличает химию от физики, делая первую более сложной наукой. Протекание процессов определяется так называемыми структурно-кинетическими факторами: строением исходных реагентов, их концентрацией, наличием катализаторов и других добавок, способов смешения реагентов материалами и конструкцией сосудов (реакторов), в которых протекает реакция, и т.д. Среди этих структурно-кинетических факторов наиболее важным является катализ. Последний представляет собой посредничество третьих тел в процессе реакции и был открыт К. Кирхгофом в 1812 г.
Сущность катализа сводится к следующему: 1) активная молекула реагента достигается за счет их неполновалентного взаимодействия с веществом катализатора и состоит в расслаблении химических связей реагента; 2) в общем случае любую каталитическую реакцию можно представить проходящей через промежуточный комплекс, в котором происходит перераспределение расслабленных (неполновалентных) химических связей.