Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.
.
Здесь - совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. - совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.
Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов и (например, радиус-векторов точек пространства и ):
Всего девять слагаемых. Т.к. , то сумма диагональных элементов совсем проста: . Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа
Выражение скалярного произведения можно существенно упростить, если выбрать углы . В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе
,
т.к. и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.
Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК
· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:
докажем это для первой координаты:
· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:
,
т.к. в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.
Существуют традиционные обозначения декартовой СК.
|
Ось |
Обозначение координаты |
Обозначение орта |
|
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
3 |
Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:
.
Векторную функцию движения можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: . Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.
· Скорость.
Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.
· Ускорение.
Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.
А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:
.
Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт :
.
Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:
Следовательно,
Тогда легко получить:
А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:
Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.
Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.
Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.
Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.
Список использованной литературы
1. Мякишев Г.Я. Физика - 10. Механика. - М.: Дрофа. 2002, стр. 29-41;
2. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. - М.: Издательство МАИ, 1996, стр. 60-92;
3. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. М.: Дрофа, 2003, стр. 32-59;
4. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. Ростов н/Д: Феникс, 2002, стр. 67-103;
5. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003, стр. 5-13.