Курсовая работа
На тему:
Кинематические элементы движения точки
Душанбе, 2020
Оглавление
Введение
1. Вектор положения
2. Траектория движения
3. Скорость и ускорение движения
4. Относительность скорости движения
5. Система координат
Заключение
Список использованной литературы
кинематика физика вектор движение
Введение
Кинематика это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.
Самый простой объект, способный двигаться это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся это положение.
1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку ), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.
Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.
При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами .
Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.
Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.
Если положение материальной точки относительно тела отсчёта в точке обозначить , относительно другого тела отсчёта в точке обозначить , а геометрический вектор, соединяющий точки и , обозначить , то наблюдатель в точке будет видеть три геометрических вектора:, и .
Пусть другому наблюдателю в точке нет дела ни до чего, кроме материальной точки . В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель видит только один вектор . Как соотносится геометрический вектор , видимый в пространстве с геометрическим вектором , видимым в пространстве ? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. . Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:
И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:
.
В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:
.
В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве «относительной», а та, через которую они связаны, переносной. Значит
· «абсолютный» радиус-вектор;
· «относительный» радиус-вектор;
· переносный радиус-вектор.
Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.
2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью , где t время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.
Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.
Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.
Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости.
Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.
Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.
Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.
Орт это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:
.
Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:
Нормалью траектории в точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.
Ортом касательной в точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке и направленный по движению.
Ясно, что .
Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:
В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.
Отметим две точки на траектории: с радиусом-вектором и с радиусом-вектором .
Тогда для перемещения и приращения пути всегда справедливо:
(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом
В случае криволинейной траектории элементарным перемещением и приращением пути называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется
Очевидно, что
Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:
.
3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:
Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:
Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:
Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:
Элементарным промежутком времени называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.
Элементарным перемещением в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени . Элементарным приращением пути в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени .
Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.
Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений
совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени , следовательно, , т. е.
Итак,
.
Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению
По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:
.
Итак,
Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением .
Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути , и соответствующие орты касательной и . Соединим положения с центром кривизны траектории в точке .
Малый угол между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что направлен перпендикулярно , т.е. по орту нормали, а его величина
,
следовательно,
.
Угол d связан с элементарным приращением пути , где - радиус кривизны траектории. Отсюда . Подставим:
Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид:
Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.
Сведём все формулы вместе:
4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут - часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: . Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.
.
Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:
В соответствие со вторым постулатом Галилея , где - промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на . Значит, можно записать:
Это обратное преобразование скорости по Галилею:
.
Прямое преобразование скорости:
5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.
В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве - двух чисел, в трёхмерном - трёх чисел. Способов введения адресации - не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.