Обоснование универсальности логарифмического закона распределения осредненных скоростей сводилось к наличию ламинарного пограничного слоя у гладких стенок и концентрации всего влияния вязкости жидкости на развитие турбулентных течений в этой области.
При изменении числа Рейнольдса, естественно, изменяются как профиль эпюры осредненных скоростей, так и размеры областей, занятых пограничным слоем и турбулентным ядром. Если достаточно велико, то обычно считают взаимодействие между этими регионами пренебрежимо малым, но тогда в них должны существовать независимые решения
[, ]. По Л. Прандтлю около стенки профиль осредненных скоростей определяется лишь :
,(6)
а в турбулентном ядре лишь отношением , то есть:
.(7)
Х. Базен [10] в своих опытах установил фактически независимость закона распределения скоростей по сечению трубы от причин, обусловливающих касательное напряжение, выразив этот постулат формулой:
,(8)
где - скорость на оси трубы;
- скорость в текущей точке;
- динамическая скорость;
- постоянный коэффициент;
- расстояние от стенки;
- радиус трубы.
По-видимому, этот вывод Х. Базена послужил толчком к получению «универсальных» формул для распределения осредненных скоростей.
Это функциональное соотношение было указано также Стантоном в 1911 году [10] и известно как «закон дефицита скорости», а закон (6) известен под названием «закона стенки».
Таким образом, получается, что, если в обоих областях и осредненные скорости не зависят от числа Рейнольдса, то в них существует полное подобие, в противном случае существует неполное подобие.
С. В. Милликен в 1938 году предположил, что при достаточно больших числах Рейнольдса могут существовать перекрывающиеся области, где внутренний и внешний законы могут иметь место одновременно. Указанная область ограничивалась значениями 1 < <. При использовании внутреннего масштабирования переменных, получим:
(9)
где - аддитивная константа.
В терминах других масштабов тех же переменных окажется, что:
,(10)
где - также аддитивная константа.
Все три константы (, и ) определяются экспериментально. Часто используются их значения = 0,41; = 5,2; = 6,5. Обычно существование логарифмического закона распределения осредненных скоростей предполагается при значениях [17] в диапазоне:
.(11)
Позже Т. Карман [12] предложил трехслойную модель строения турбулентного потока. В ней примыкающий к гладкой стенке слой с линейным распределением осредненных скоростей имел толщину, равную , а скорость распределялась по закону:
.(12)
Буферная часть пограничного слоя ограничивалась расстояниями от стенки, равными -. В пределах нее осредненные скорости задавались формулой:
.(13)
При (турбулентное ядро) распределение скоростей подчиняется закону:
(14)
Из закона Дарси следует, что коэффициент Дарси определяется соотношением:
= 8 ,(15)
где - средняя скорость.
Для гладких труб Л. Прандтль получил (с учетом экспериментальных данных И. Никурадзе [16]) выражение:
(16)
Оно известно как прандтлев универсальный закон трения для гладких труб.
Л. Прандтль предполагал, что отклонения от логарифмического закона распределения скоростей как в пристенной области, так и в турбулентном ядре пренебрежимо малы.
Однако нараставший объем экспериментальных данных заставил усомниться в непререкаемости мнения Л. Прандтля как в области распространения логарифмического закона, так и в обоснованности его теории «длины пути смешения».
Функциональное соотношение (7) называют законом дефекта скорост». Если не зависит от числа Рейнольдса, то в этой области существует полное подобие.
Между этими двумя областями могут существовать промежуточные или пересекающиеся области, где расстояние от стенки является большим по сравнению с внутренним масштабом /, но малым - по сравнению с другим масштабом длины .
В дальнейшем гипотеза об универсальности закона распределения осредненных скоростей стала подвергаться все большей критике. Появились высказывания в пользу того факта, что нельзя представить себе условную границу между зонами, в которых влияние на движение стенки и вязкость оказывают, и в которой такое влияние отсутствует полностью. Появилось представление о взаимоперекрывающихся зонах, понятие о неполном подобии, о влиянии числа Рейнольдса в некоторых специфических районах эпюры скоростей.
Первым, кто исследовал эту проблему, был Г. И. Баренблатт [4]. Выполненный им анализ в предположении о неполной автомодельности течения по локальному числу Рейнольдса при отсутствии автомодельности по глобальному числу Рейнольдса , привел его к выражению для распределения осредненных скоростей в виде степенного закона:
(17)
где - показатель степени, зависящий от глобального числа Рейнольдса;
- характерный поперечный размер потока (диаметр трубы или глубина потока , например).
В качестве подтверждения справедливости этого результата Г. И. Баренблатт привлекает известные опытные данные И. Никурадзе, который получил хорошее соответствие в широком диапазоне чисел Рейнольдса опытных данных со степенным законом (рисунок 2) , где является функцией числа и изменяется в диапазоне от 6 до 10 при < 3,2·106.
Известно, что степенные формулы описывают распределение осредненных скоростей ничуть не хуже, чем логарифмические [10]. Эти обстоятельства дали возможность Г. И. Баренблатту заключить, что теория неполной автомодельности является в такой же степени теоретическим обоснованием степенных формул, в какой для логарифмических - теория полной автомодельности.
В более поздних работах Г. И. Барентблатт и др. пришли к выводу, что при очень больших числах Рейнольдса степенной закон переходит в логарифмический.
Рисунок 2 - Графики зависимости по И. Никурадзе
При рассмотрении течения вблизи стенки Г. И. Баренблатт [4] вообще исключает область, в пределах которой вязкие и турбулентные касательные напряжения соизмеримы.
Еще раз напомним, что как логарифмический, так и степенные законы распределения осредненных скоростей не удовлетворяют граничным условиям ни на стенке, ни у оси потока и не могут описывать характер распределения скоростей вблизи стенки.
Г. И. Баренблатт [4] и другие, развивая теорию неполного динамического подобия, предложили ввести в формулу для распределения осредненных скоростей множитель и экспоненту , которые в виде асимптотического разложения по малой величине е представляются в виде:
;(18)
,(19)
где ;
и - эмпирические константы.
В одной из работ Г. И. Баренблатт используется концепция неполного подобия для зон турбулентных течений, включающих вязкий подслой и внешнюю часть потока [17]. С использованием анализа размерностей градиент осредненных скоростей был представлен в следующем виде:
.(20)
Это соотношение предполагается существующим при больших значениях в случае больших чисел Рейнольдса. При этом, если > ? и > ?, то (,) > 1/. То есть при очень больших значениях и пределом введенной безразмерной функции является 1/, что соответствует гипотезе Кармана о полном подобии.
Из предположения о неполном подобии следует, что конечный предел функции не существует, а она может быть представлена в виде [4]:
.(21)
В конечном счете зависимость для представляется в виде закона с масштабом, зависящим от числа [10]:
,(22)
где , и - универсальные константы.
С использованием данных Никурадзе для труб было определено:
.
При этих значениях формула (22) принимает вид:
(23)
или
.(24)
По Г. И. Баренблатту [17] показательный закон имеет место для подавляющей части профиля скорости:
40 < < 0,85 или (25)
Используя данные И. Никурадзе, Г. И. Баренблатт и В. М. Простокишин [18] нашли, что величины , и равны 0,577; 2,50 и 1,5 соответственно при пренебрежении всеми остальными. В этом случае показательный закон записывается следующим образом:
.(26)
На рисунке 3 М. В. Загарола и другие представили сопоставление расчетов по формуле (26) с их экспериментальными данными. По мнению указанных авторов, согласование этих результатов достаточно плохое, особенно при больших числах . Ими же делается предположение, что это может быть обусловлено недостаточно большим диапазоном чисел в опытах И. Никурадзе ( = 3,2•106).
Из зависимости (26) легко усмотреть влияние чисел на величину , что как бы подтверждает выводы Г. И. Баренблатта.
Рисунок 3 - Сравнение расчетных и опытных значений осредненных скоростей
Однако, использование более полных, а главное, более точных опытов позволили М. В. Загароле [19] не согласиться с этим выводом при признании существования перекрывающихся зон. М. В. Загарола и другие полагают, что результаты, выполненные в Принстонском университете на установке «Большая труба» в широком диапазоне чисел Рейнольдса (на порядок перекрывающем диапазон опытов И. Никурадзе) от 31•103 до 35•106 экспериментов, тщательная подготовка к ним и обработка опытных данных, свидетельствуют о том, что при существенно больших числах Рейнольдса профили осредненных скоростей больше соответствуют логарифмическому закону их распределения, чем показательному. Это наводит авторов на мысль, что теория полного подобия предпочтительнее теории неполного подобия. По мнению авторов, результаты их опытов опровергают теории, с недавних пор развиваемые Г. И. Беренблаттом и другими Известно, что уже в 1982 г. Г. И. Баренблатт опубликовал обобщение своих воззрений [4]..
Рассмотрим ту же проблему о масштабировании эпюр осредненных скоростей применительно к введенной нами модели строения продольно-однородного турбулентного потока, согласно которой он делится на две части, внутреннюю, называемую пристенным слоем, и внешнюю - турбулентное ядро. рейнольдс шероховатость труба
Пристенный слой имеет толщину , где - параметр, зависящий в общем случае от числа Рейнольдса и относительной шероховатости :
,
где = или (для круглой трубы или плоского потока).
В случае гладких стенок , а при шероховатых стенках .
Пристенный слой при гладких стенках делится на три зоны:
- примыкающий к гладкой стенке слой, толщиной , в пределах которого коэффициент турбулентной вязкости отрицателен, то есть < 0;
- среднюю часть пристенного слоя, ограниченного расстоянием между и от стенки, в пределах которого т увеличивается от нулевого значения по зависимости , обращенной выпуклостью вниз;
- внешнюю часть пристенного слоя, ограниченную расстоянием между и от стенки, в пределах которого продолжает увеличиваться по зависимости , обращенной выпуклостью вверх.
Значения и также определяются параметрами и , то есть = (;) и = (;).
Принято, что соотношение : : = 1,5 : 30 : 70.
Принятие нового строения трехслойной модели пограничного слоя допустимо рассматривать в качестве развития представлений Т. Кармана. В частности, в предлагаемой модели слой жидкости толщиной с линейным распределением осредненных скоростей заменен слоем жидкости с переменной толщиной , в котором существует отрицательная турбулентная вязкость. Следующий слой, ограниченный по Т. Карману расстоянием от стенки в , заменен слоем с границей, отстоящей от стенки на . Граница всего пограничного слоя, часто определяемая его толщиной в , заменена на , при .
В отличие от модели Т. Кармана и других в данной модели толщины слоев пограничного слоя не являются фиксированными с помощью постоянных коэффициентов 5, 30, 70, а являются переменными, зависящими в общем случае от числа Рейнольдса и относительной шероховатости, и определяемыми переменными параметрами , , , которые подлежат отысканию.
Пристенный слой заполняет всю область, занятую турбулентным потоком в предельном случае, когда параметр равен максимальному значению:
,(27)
где = - число Кармана.
Можно записать, что:
(28)
и получить отсюда соотношение:
.(29)
Что касается турбулентного ядра, то оно делится на две части: нижнюю с логарифмическим и верхнюю с параболическим распределением осредненных скоростей.
Это означает, что для нижней части коэффициент турбулентной вязкости принят в интервале изменяющимся по линейному закону , а для верхней - постоянной величиной, то есть при ? • принято, что:
.(30)
Описание предлагаемой модели приведено выше. Для удобства выпишем полученные универсальные формулы для распределения осредненных скоростей. Они имеют вид:
- для - задается в табличной форме;
- для гладких стенок:
при :
(31)
при ? ?
;(32)
- для шероховатых стенок:
при ? ? :
2,5+,(33)
;(33а)
где =;
- высота эквивалентной шероховатости.
Для предлагаемых формул, определяющих значения осредненных скоростей, был выполнен численный эксперимент с целью выявления их универсальности по участкам: пристенный слой 0 ? ? , внутренняя часть турбулентного ядра ? ? и внешняя часть турбулентного ядра ? ? . С этой целью были вычислены в соответствии с изложенной методикой параметры для продольно-однородных плоских турбулентных потоков в плоских каналах при широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 3000 до 106) при относительных шероховатостях / = 10-2-10-6.