Научный журнал Российского НИИ проблем мелиорации, № 2(10), 2013 г., [130-156]
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет им. Гагарина Ю. А.» (ФГБОУ ВПО «СГТУ им. Гагарина Ю. А.»)
К вопросу об автомодельности течений в продольно-однородных турбулентных потоках
УДК 532.542
Высоцкий Лев Ильич - доктор технических наук, профессор, профессор, заслуженный деятель науки и техники РСФСР
Контактный телефон: 8-845-228-89-38
E-mail: vysotli@yandex.ru
Аннотации
В статье показано, что вопреки общепринятому мнению продольно-однородные турбулентные потоки наилучшим образом удовлетворяют принципу кусочной автомодельности. Выявлено, что в пределах каждой из пяти условных зон, на которые делятся указанные потоки, распределение осредненных скоростей является автомодельным. В то же время оказалось, что границы условных зон определяются значениями глобального числа Рейнольдса и относительной шероховатости. Указанные утверждения проверены с привлечением результатов обширных численных экспериментов. Диапазон чисел Рейнольдса составлял от 4Ч103 до1011. Относительная шероховатость при этом менялась от 0 до 0,1.
Ключевые слова: турбулентность, продольно-однородные потоки, осредненная скорость, автомодельность, относительная шероховатость.
Vysotskiy Lev Ilich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Federal State Budget Educational Establishment of Higher Professional Education “Saratov State Technical University of Gagarin” (FSBEE HPE “SSTU Gagarin”), Professor, Honored Scientist of the RSFSR.
Contact telephone number: 8-845-228-89-38.
E-mail: vysotli@yandex.ru
ON THE ISSUE OF SELF-SIMILAR STREAMS IN THE LONGITUDINALLY UNIFORM TURBULENT FLOWS
The paper shows that longitudinally uniform turbulence flows give the best fit to the principle of piecewise self-similarity contrary to popular belief. It is revealed that the flows can be divided into five conventional zones. The averaged velocity distribution is self-similar within each of the zone. At the same time, it was found that the boundaries of the conditional zones are defined by values of global Reynolds number and by relative roughness. The specified statements are proved by a lot of numerical simulations. Range of Reynolds numbers was from 4Ч103 to 1011. Herewith the relative roughness changed from 0 to 0.1.
Keywords: turbulence, longitudinally uniform flows, averaged speed, self-similarity, relative roughness.
Введение
На протяжении прошлого столетия многие исследователи в области гидродинамики интенсивно развивали теоретические обоснования проблемы турбулентности. Были предложены модели строения простейших турбулентных течений в связи с необходимостью выполнения массовых их расчетов при решении прикладных задач. Поначалу они представлялись весьма удачными. Под напором большого количества все более совершенных экспериментальных данных простые модели постепенно усложнялись, а полученные на их основе формулы совершенствовались. В первую очередь это относится к формулам для расчета распределения осредненных скоростей в продольно-однородных потоках. В силу аналогии О. Рейнольдса полученные результаты переносились в область тепломассообмена (распределение температуры, концентрации примесей и т. п.).
Тем не менее, экспериментальные данные вскрывали все новые недостатки предлагаемых зависимостей, что вынуждало исследователей вводить в них поправки. Как бы то не было, но достаточно прочно утвердилась в качестве как бы оптимальной трехслойная модель, в которой толщины условных зон турбулентного потока приняты фиксированными и в единицах внутреннего масштаба составляют 5/, 30/ и 70/. Причем в области значений расстояния от твердой стенки 70/ распределение осредненных скоростей считается автомодельным, то есть не зависящим от числа Рейнольдса. Опять-таки и это положение не выдержало экспериментальной проверки.
В данной статье автор вновь возвращается к изложенной проблеме, пытается на базе уточненного представления о процессах, происходящих вблизи твердой стенки на очень малых расстояниях от нее, предложить принципиально иное строение модели продольно-однородного турбулентного потока и иной взгляд на проблему автомодельности, во многом противоречащий современным представлениям. Автор надеется, что новая модель позволяет получить более надежные расчетные зависимости (для распределения осредненных скоростей, температуры и др.).
Исторические аспекты развития проблемы анализа распределения осредненных скоростей в турбулентных потоках излагались неоднократно. Существуют прекрасные обзоры в таких широко известных капитальных трудах, как «Механика жидкости и газа» Л. Г. Лойцянского [1], «Теория ламинарного пограничного слоя» Г. Шлихтинга [2], «Турбулентность, ее механизм и теория» И. О. Хинце [3] и многих других. С течением времени в подобного рода обзорах, которые чаще всего являются введением к изложению оригинального материала, появляются новые сведения, более современные трактовки, новые точки зрения, дополнительные критические замечания, новые данные, полученные с помощью ультрасовременных измерительных средств. К их числу можно отнести оценки Г. И. Баренблатта [4], Д. Остерлунда [5], М. Загаролы [6], И. Незу [7], В. Роди [8] и др. Здесь автор не преследует цель расширения оценки имеющихся в этой области достижений, однако предпослание основной части некоторого краткого введения считает необходимым.
Известно, что заметное поступательное движение в изучении турбулентности началось после обоснования и введения ряда основополагающих понятий. К ним относятся:
- разделение действительной скорости на осредненные и пульсационные составляющие;
- введение понятий о турбулентных (кажущихся) касательных и нормальных напряжениях [9];
- введение удачной (по крайней мере, для продольно-однородных турбулентных течений) связи касательных турбулентных напряжений - с градиентом осредненной скорости через коэффициент турбулентной вязкости [10];
- разработка представления о структуре турбулентного потока в виде иерархической (каскадной) схемы непрерывно распадающихся крупных вихрей вплоть до достижения ими самых малых значений, в которых происходит диссипация энергии;
- получение О. Рейнольдсом осредненных по времени уравнений Навье-Стокса, описывающих турбулентные течения;
- обоснование «энергоснабжения» турбулентных течений за счет отбора энергии у осредненного течения.
Однако набор перечисленных и разработка других понятий и представлений долгое время не позволяли решить даже простейшие практические задачи, связанные с турбулентным течением жидкостей и газов. Пожалуй, основной из них являлась задача о распределении осредненных скоростей по сечению труб и каналов.
Первоначально были предложены эмпирические формулы для распределения осредненных скоростей - знаменитая парабола Х. Базена [10] для широких каналов и формула Дарси [11] для расчета распределения осредненных скоростей в круглых трубах.
Приведенные формулы были получены экспериментальным путем с помощью примитивных по современным представлениям измерительных средств. Применение их на практике не могло дать надежного ответа о значении скоростей в пристенной области, наиболее важной с точки зрения происходящих здесь процессов (размыв грунта, теплообмен и т. п.).
Тем не менее, по мере совершенствования измерительных средств и лавинообразного накопления экспериментальных данных появилась возможность сделать некоторые существенные выводы, разработать феноменологические модели строения турбулентного потока и предложить на их основе инженерные методы расчета турбулентных потоков в наиболее простых случаях, так называемых продольно-однородных течениях (течениях в круглых трубах и широких каналах). Эти случаи до сих пор продолжают оставаться важными объектами для изучения как с прикладной точки зрения, так и с научной, выступая в качестве своеобразного оселка для оттачивания новейших идей.
Большое значение имело установление того факта, что влияние твердых поверхностей, ограничивающих турбулентный поток, простирается лишь на сравнительно тонкий пристенный слой.
Такую гипотезу в 1930 г. высказал Т. Карман [12]. Он показал, что вне вязкого подслоя влиянием вязкости на распределение осредненных скоростей можно пренебречь. Это предположение дало ему возможность описать закон распределения скоростей простой формулой:
(1)
где ; ;
- постоянная интегрирования;
- динамическая скорость;
и - плотность и кинематическая вязкость жидкости;
- касательное напряжение на стенке;
- безразмерная скорость;
= - число Рейнольдса;
- расстояние от стенки;
- константа Кармана.
По Т. Карману, получалось, что закон (1) является универсальным для всего потока, кроме вязкого подслоя. Это означает, что входящие в него параметры не зависят от числа = (или = - в других случаях), где - средняя скорость; - диаметр трубы; - характерная длина для других потоков ( = для продольно однородного потока со свободной поверхностью, например).
Исходя из других положений, в 1932 г. Л. Прандтль [13] получил тот же закон. В «Механике сплошных сред» приведен вывод этого же закона на основе анализа размерностей, выполненного Л. Д. Ландау [14].
Сказанное позволило условно разделить весь турбулентный поток на основную его часть, свободную от влияния вязкости и называемую турбулентным ядром, и пограничный слой, где влияние вязкости велико.
Х. Людвиг и В. Тильман [15] подтвердили существование «закона стенки», который является универсальным, то есть независящим от изменения числа Рейнольдса и других параметров турбулентности. Универсальными масштабами при этом являются и
И. О. Хинце и Теннекес обнаруживали в своих опытах отклонение от универсального значения. Г. И. Баренблатт усомнился в полной автомодельности турбулентных течений и развил оригинальную теорию неполной автомодельности, что, в известном смысле, эквивалентно утверждению о влиянии вязкости жидкости при больших числах Рейнольдса. Последнее объясняется тем, что «турбулентный поток представляет собой совокупность громадного множества вихрей, пронизывающих движущуюся жидкость. С ростом числа Рейнольдса количество вихрей возрастает. Как бы велико не было число Рейнольдса, вязкость остается существенной вблизи «ядер» вихрей, и таким образом, ее динамическое воздействие на поток не исчезает». К этому можно добавить, что сам процесс каскадного дробления вихрей не является идеально организованным процессом. На границе соприкасающихся больших вихреобразований возникает множество мелких (вплоть до колмогоровских) вихорьков, что приводит к некоторой диссипации энергии турбулентности (сравнительно малой) и в толще турбулентного потока.
Далее при рассмотрении проблем теплопроводности и турбулентности Л. Прандтлем и Т. Карманом были введены понятия о «длине смешения» и даны формулы для ее вычисления. Эта идея оказалась настолько заразительной, что, несмотря на жесточайшую (уничтожающую) критику этого понятия, оно продолжает существовать, а сама формула для ее расчета снабжается все новыми уточнениями.
Очень часто в монографиях и учебниках приводят график зависимости от в виде прямой, что, казалось бы, является наилучшим подтверждением справедливости формулы (1). Однако, по мере накопления экспериментальных данных, полученных с использованием все более совершенных средств измерения осредненных скоростей, стали появляться свидетельства того, что влияние вязкости проявляется не только в пределах вязкого подслоя, толщину которого в единицах внутреннего масштаба часто оценивают значением , но и во внешней части потока (в трубе - в приосевой его части, в канале - вблизи свободной поверхности, а в погранслое - вблизи контакта его с внешним потенциальным течением).
Так как уравнение (1) не удовлетворяет граничным условиям ни на твердой границе (при = 0), ни на оси потока (при = ), пришлось выходить из этого положения остроумным и, казалось бы, логически обоснованным путем, а именно, введением предположения о разделении турбулентного потока в круглой трубе на две зоны: турбулентное ядро и ламинарный пограничный слой.
В тонком ламинарном пограничном слое (его толщина была оценена в 11,6 /, где соотношение / играет роль внутреннего масштаба длины, а - динамическая скорость - масштаба скорости) существенно проявляется влияние вязкости. Обычно в гидроаэродинамике принято записывать получаемые соотношения в безразмерных координатах с нормировкой с помощью указанных масштабов длин и скоростей:
.(2)
Л. Прандтль и многие другие полагали (и полагают), что в ламинарном пограничном слое распределение осредненных скоростей является линейным:
= или = .(3)
Важное значение имело установление универсального логарифмического закона распределения осредненных скоростей, совпадающего с достаточно надежными экспериментальными данными, полученными И. Никурадзе [16] в опытах с круглыми трубами в диапазоне чисел Рейнольдса ( где - средняя скорость) от критического до 3,24•106. Этот факт подтверждается графиком (рисунок 1), из которого следует, что опытные точки при всех числах удовлетворительно размещаются в окрестности прямой, соответствующей зависимости:
(4)
или
.(5)
Рисунок 1 - Универсальный логарифмический закон распределения скоростей в гладкой трубе: кривая (1) соответствует уравнению = , т. е. ламинарному течению; кривая (2) - переходу от ламинарной формы течения к турбулентной; кривая (3) - турбулентному течению при любых числах Рейнольдса; кривая (4) - турбулентному течению при < 106, кривая (5) - уравнению = 11,51/10