Материал: Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики

Если  положительные и отличные от 1 числа, то справедливо

Если  положительные числа, причем  то для любого числа  справедливо

Дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Число . Функция , её свойства, график, дифференцирование.

Рассмотрим показательную функцию , где . Для различных оснований  получаем различные графики, но можно заметить, что все они проходят через точку , все они имеют горизонтальную асимптоту  при , все они обращены выпуклостью вниз и, наконец, все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем для примера касательную к графику функции  в точке , рассмотренную на рисунке 7.

Рисунок 7 Касательная к графику функции

Если сделать аккуратные построения и измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует с осью угол 35°. Теперь проведем касательную к графику функции  тоже в точке , которая изображена на рисунке 8.

Рисунок 8  Касательная к графику функции

Здесь угол между касательной и осью х будет больше 48°. А для показательной функции  в аналогичной ситуации получаем угол примерно 66,5°, изображенный на рисунке 9.

Рисунок 9 График функции

Итак, если основание а показательной функции  постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке  и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание , для которого соответствующий угол равен 45°. Это основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку для функции  интересующий нас угол равен 35°, что меньше, чем 45°, а для функции  он равен 48°, что уже немного больше, чем 45°. Доказано, что интересующее нас основание действительно существует, его принято обозначать буквой . Установлено, что число - иррациональное, то есть представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:

 = ... ;

на практике обычно полагают, что  

Графиком функции изображен на рисунке 10. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (график показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке  и осью абсцисс равен 45.

Рисунок 10 Касательная к графику функции

Свойства функции :

)

) не является ни четной, ни нечетной;

) возрастает;

) не ограничена сверху, ограничена снизу;

) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

) непрерывна;

) выпукла вниз.

В курсе математического анализа доказано, что функция  имеет производную в любой точке , причем

Натуральные логарифмы. Функция , её свойства, график, дифференцирование

Если основанием логарифма служит число , то говорят, что задан натуральный логарифм.

Мы знаем, что график логарифмической функции  симметричен графику показательной функции относительно прямой . Значит, и график функции  симметричен графику функции  относительно прямой , изображенный на рисунке 11. Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке  и осью абсцисс равен 45°.

Рисунок 11  Симметрия графиков

Свойства функции :

)

) не является ни четной, ни нечетной;

) возрастает на (

) не ограничена ни сверху, ни снизу;

) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

) непрерывна;

) выпукла вверх;

) дифференцируема.

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения  справедлива формула дифференцирования

Формулы дифференцирования любой показательной и любой логарифмической функции:

)        ()' = ;

)        ()' [1, с. 232-272].

1.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012-2013 гг.

В 2012 году экзамен по математике сдавали 25133 (без учета выпускников прошлых лет). Не преодолели порог успешности 1168 человек, что составляет 4,6% от общей численности выпускников, это на 0,8% больше чем в прошлом году в нашем крае, что объясняется тем, что в 2012 году произошло увеличение с 4 до 5 минимального числа заданий, которые необходимо верно выполнить для достижения порога успешности. Процент учащихся, изображенный на рисунке 1, в крае не преодолевших порог успешности в 2012 г. на 2,9% меньше чем в среднем по Росси (7,5%). В 2012 году около половины школ края (458 из 952) сдали ЕГЭ по математике без двоек.

Рисунок 1 Распределение неудовлетворительных оценок на ЕГЭ-2012 по математике в территориях края

Самый большой прирост среднего балла в этом году продемонстрировали выпускники Отрадненского района и заняли 4-е место, а еще в 2009 году этот район занимал последнее место в рейтинге территорий края.

Значительно вырос средний бал в Северском и Успенском районах. И не смотря на то, что результаты этого года в данных территориях все ещё ниже среднего по краю, для Северского и Успенского районов налицо положительная динамика результатов работы. Это свидетельствует об организованной системе мер по повышению качества обученности.

В тоже время, не смотря на то, что единая технология подготовки к ЕГЭ департаментом образования и науки совместно с ККИДППО распространялась на весь край, следует отметить территории, которые подготовили своих учащихся к ЕГЭ не качественно.

Сигналом, что в территории есть проблемы с подготовкой к ЕГЭ по математике были результаты краевых диагностических работ (КДР). После детального анализа результатов КДР территориям оказывалась методическая помощь по заказу территории. Однако результаты КДР в Выселковском, Гулькевическом, и Кущевском районах не предвещали низких результатов на ЕГЭ, они были средними или выше среднего по краю. Это свидетельствует либо о не правильной организации проведения работ, либо о фальсификации их результатов.

В 2012 году на ЕГЭ по математике в нашем крае было использовано 18 вариантов, в таблице 1 приведены средние значения процента выполнения каждого задания по исследуемой теме.

Таблица 1Средний процент выполнения заданий

Наилучшие результаты по выполнению заданий первой части учащиеся нашего края показали при выполнении задания В5. Хуже всего выпускники 2012 года справились с выполнением заданий В7, это можно увидеть на рисунке 2. При выполнении заданий повышенного и высокого уровне сложности выпускники 2012 года показали лучше результат по заданию С3 и хуже справились с решением задания С5. На рисунке 3 приведен средний балл выполнения заданий 2ой части.

Рисунок 2  Процент выполнения заданий 1-й части ЕГЭ-2012 по математике

Рисунок 3 Средний балл выполнения заданий 2-й части ЕГЭ-2012 по математике

Все варианты КИМ включали задание на тождественное преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы (В7). В каждом варианте ЕГЭ-2012 содержалось только одно задание непосредственно на преобразование выражений. При выполнении этого задания учащимся необходимо было применить основное тригонометрическое тождество с учетом знаков тригонометрических функций по четвертям. Средний процент выполнения этого задания оставил 58%. Следует отметить, что в 2011 году с таким же заданием в среднем справилось 55% выпускников края.

При решении других заданий первой части преобразований выражений не требовалось. Однако элементом решения задачи С3 и С5 было преобразование логарифмических, показательных и степенных выражений. В вариантах КИМ-2012 из всех видов уравнений, рассматриваемых в школьном курсе математики, в первой части работы были представлены только логарифмические уравнения (задания В5). Средний процент выполнения этих заданий составил 84,3%. При этом задания "Найдите корень уравнения  наши выпускники выполнили на 73%, задание "Найдите корень уравнения на 91%. Идея решения этих уравнений совершенно одинакова, разница лишь в проводимых вычислениях [7, с. 1-26].

Теперь сравним результаты выполнения заданий В5, В7, С3, С5, приведенные в таблицах 2 и 3.

Таблица 2  Результаты выполнения учащимися заданий В5, В7 КИМов ЕГЭ за два года

Таблица 3 Результаты выполнения учащимися заданий С3, С5 КИМов ЕГЭ за два года

Задачи второй части остаются по-прежнему очень сложными для выпускников, о чем свидетельствуют статистические данные. При подготовке учащихся к сдаче ЕГЭ по математике целесообразно познакомить их с опубликованными вариантами работ, критериями оценивания заданий С3 и С5, а так же вести исчерпывающий разбор типичных ошибок, выявлять их природу и происхождение, так как без этого нельзя обеспечить эффективные средства исправления и предупреждения ошибок в будущем.

2. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики

.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики