Материал: Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики
Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики
Содержание
Введение
1. Теоретические основы изучения показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
1.1 Анализ учебников
.2 Основные понятия, связанные с понятиями показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
.3 Анализ результатов ЕГЭ 2012-2013 гг.
. Решение задач с использованием логарифмической и показательной функции в школьном курсе математики
.1 Обзор задач и упражнений на решение показательной логарифмической функций в школьном курсе математики
.2 Методика решения типовых задач, связанных с показательной и логарифмической функциями, в школьном курсе математики
.3 Подбор задач на нахождение и использование показательной и логарифмической функций в школьном курсе математики
Заключение
Список
использованных источников
Введение
Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простые преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV-V классах. Но основная нагрузка по формированию умений и навыков выполнения преобразований приходится на школьный курс алгебры. Связано это как с быстрым увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их доказательству и выяснению условий применимости, с выделением и изучением понятий, преобразований. Данная исследовательская работа в области алгебры и начала анализа на тему "Изучение показательной и логарифмической функции в школьном курсе математики".
Большой вклад в разработку данной
темы внес математик и механик - Леонард Эйлер. Близкое к современному понимание
логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень
<#"882814.files/image001.gif">,
где 
и
1,
называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции
:
:
1) 
=
2) 
) возрастает
) непрерывна;
при 0 < 
< 1:
) =
)
3) убывает;
) непрерывна.
График функции
,
где > 1 изображен
на рисунке 1.
Рисунок 1
График функции , где >
1
График функции ,
где 
изображен
на рисунке 2.
Рисунок 2
График функции , где
Кривую, изображенную на рисунке 1 или 2,
называют экспонентой. Впрочем, экспонентой называют и саму показательную
функцию .
Так что термин "экспонента" используется в двух смыслах: и для
наименования показательной функции, и для названия графика показательной
функции. Обратите внимание на геометрическую особенность графика показательной
функции :
ось х является горизонтальной асимптотой графика функции при
,
если 
и
при 
,
если 
.
Школьники часто путают термины: "степенная функция" и "показательная функция". Сравните:
,
,
,
-
это примеры степенных функций.
- это примеры
показательных функций.
Вообще
математика показательный логарифмический функция
,
где 
- конкретное
число, - степенная функция (аргумент х содержится в основании степени);
,
где - конкретное число
(положительное и отличное от 1), называется показательной функцией (аргумент х
содержится в показателе степени).
А такую "экзотическую" функцию, как 
,
не считают ни показательной, ни степенной (ее иногда называют
показательно-степенной).
Основные свойства показательной функции
. Если 
,
то равенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
. Если 
,
то неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
(рис. 3);
неравенство справедливо тогда
и только тогда, когда 
.
Рисунок 3
График функции
. Если 
,
то равенство справедливо тогда
и только тогда, когда 
. Если ,
то неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда (рис. 4);
неравенство 
справедливо тогда
и только тогда, когда 
.
Рисунок 4
График функции
Показательными уравнениями называют уравнения
вида 
,
где -
положительное число, отличное от 1, и уравнения сводящиеся к этому виду.
Основные свойства:
. Показательное уравнение (где
,
)
равносильно уравнению 
. Показательными неравенствами называют
неравенства вида 
, где а -
положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
. Если 
,
то показательное неравенство равносильно
неравенству того же смысла: 
Если 
,
то показательное неравенство
равносильно
неравенству противоположного смысла: f
Логарифмом положительного числа 
по
положительному и отличному от 1 основанию называют
показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число .
Свойства логарифма:
) 
) 
) 
)
Логарифм по основанию 
обычно
называют десятичным логарифмом и обозначают как 
.
Функция 
её
свойства и график.
График функции симметричен
графику функции относительно
прямой 
Рисунок 5
График функции 
Свойства функции 
,
) =
) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +
);
) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
) непрерывна;
) 
) выпукла вверх.
На рисунке 6 схематически изображены
графики функций и в случае,
когда 
Рисунок 6 График
функции
Свойства функции ,
) 
) не является ни четной, ни нечетной;
) убывает на (0; +);
) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
) непрерывна;
)
) выпукла вниз.
Отметим, что ось 
является
вертикальной асимптотой графика логарифмической функции и в случае, когда , и в
случае, когда 0 < <1.
Свойства логарифмов:
1) 
2) 
3) 
4) 
,
5) 
6) 
,
Все свойства формулируются и доказываются только
для положительных значений переменных, содержащихся под знаками логарифмов.
Логарифмическими уравнениями называются уравнения вида
положительное
число, отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому виду. Если 
,
то логарифмическое уравнение 
равносильно
уравнению 
Логарифмическими неравенствами называются
неравенства вида
где положительное
число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Если 
и
,
то: при логарифмическое
неравенство
равносильно
неравенству того же смысла: 
при логарифмическое
неравенство
равносильно
неравенству противоположного смысла: 
Перейдем к новому основанию логарифма. Если 
положительные
числа, причем 
.