Статья: Изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы

Эти же исследования моментов количества движения тел были выполнены и по программе Galactica. Относительные изменения моментов M_z тех же тел приведены на рис. 2 пунктирной линией. Здесь расчеты проводились с меньшим интервалом по времени, а именно через 5 лет. Для планет с большим периодом обращения, начиная с Юпитера, видно, что момент количества движения тел периодически изменяется. Для планет земной группы периоды колебаний M_z меньше интервала в 5 лет между точками на графиках. Поэтому колебания этих периодов здесь не видны.

При сравнении относительных моментов M_z на графиках рис. 2, рассчитанных по эфемеридам DE406 и программе Galactica, видно, что относительные диапазоны их колебаний совпадают. В некоторых случаях, когда моменты рассчитаны для одного и того же значения времени, совпадают также величины M_z. Например, при T 0.4 относительные изменения момента имеют примерно одинаковые значения для следующих тел: Me, Ve, Ea, Jp, Sa, Ur, Ne, Pl и Su. И только для двух тел: Марса (Ma) и Луны (Mo) они существенно отличаются. Это отличие, как видно из рис. 1 б, для эфемерид DE406 при T 0.4 может приводить к наибольшей погрешности момента количества движения всей Солнечной системы M_z = 610^-10.

Хорошее совпадение изменений моментов M_z по двум программам на всем диапазоне имеется для Урана (Ur), Нептуна (Ne) и Солнца (Su). В тоже время наблюдается отличие моментов M_z вблизи некоторых значений времени: для Меркурия при T = -0.6 и -0.4, для Венеры при T = -0.6 и 0.9, для Сатурна при T = 0.9, для Земли и Марса при T = 0.2 и 0.6. Эти отличия кинетических моментов отдельных тел могут приводить к отмеченным ранее колебаниям кинетического момента всей Солнечной системе в эфемеридах DE406. Таким образом, приведенные на рис. 2 сопоставления моментов количеств движения отдельных тел, выполненных разными методами, могут быть ориентирами по поиску причин погрешностей момента в той программе, точность которой ниже, в данном случае в эфемеридах DE406.

Рис 3. Относительное изменение z-проекции момента количества движения планет от Меркурия (Me) до Юпитера (Jp) за одно обращение планеты. Величины M_z рассчитаны при M_z0 на дату 30.XII.1949 T_n = T/P - нормализованное время в периодах обращения. P = 0.24; 0.68; 1.000; 1.84; 11.85 - периоды обращения в сидерических годах планет от Меркурия до Юпитера.

По программе Galactica были выполнены исследования по изменению кинетического момента ближних планет с большей детальностью. Периодичность изменения координат и скоростей, которые согласно (1) определяют кинематический момент, обусловлена периодичностью обращения тел. Так как период P обращения тел от Меркурия до Плутона изменяется в тысячу раз, то эти исследования выполнялись на интервалах времени, кратных периоду P. На рис. 3 представлено его изменение M_z на интервале одного обращения планеты. Как видно из графиков, величина M_z для всех планет на этом интервале изменяется колебательно с периодами, которые меньше периодов P обращения планеты. Для Земли (Ea) имеется около 12 колебаний M_z. Они обусловлены воздействием Луны. Наименьший размах колебаний M_z 310^-6 на интервале одного обращения имеет Меркурий, а наибольший без учета Земли - Юпитер: M_z 210^-4. У Земли за счет учета воздействия Луны величина M_z = 10^-3 превышает размах колебаний Юпитера. При сопоставлении размахов этих колебаний с размахами колебаний M_zi за 160 лет (см. табл. 2) видно, что величина колебаний на интервале одного обращения тела меньше на 3ч4 порядка для Меркурия и Венеры, и на 1 порядок - для Земли и Юпитера.

Следует отметить, что представленная на рис. 3 динамика кинетического момента M_z на интервале одного обращения в другую эпоху может видоизмениться. Поэтому были выполнены исследования по изменению кинетического момента за большие периоды времени. В этом случае рассматривались средние модули моментов M_tm количеств движения планет за одно обращение. Эти исследования были выполнены для каждой планеты на интервале 300 ее обращений. На рис. 4 представлены изменения средних кинетических моментов для тех же планет, что и на рис. 3. Так как интервал между точками на графиках рис. 4 равен одному периоду P обращения планеты, то периоды колебаний кинетического момента составляют несколько периодов P. Например, наименьшие периоды колебаний среднего кинетического момента на рис. 4 для Меркурия и Юпитера составляют 4ч5 их собственных периодов обращения P. Кроме этих коротких, как видно из рис. 4, существуют и более долгие колебания. А для Марса (Ma) и Юпитера (Jp) наметились тренды изменения, которые являются началом колебаний с периодом в десятки и сотни тысяч лет. Они обусловлены долгопериодическими колебаниями орбит планет [13].

Рис 4. Относительные изменения среднего модуля момента количества движения планет от Меркурия (Me) до Юпитера (Jp) за 300 обращений планеты. Величина M_tm рассчитана при значении среднего модуля момента M_tm0 на 30.XII.1949. Остальные обозначения см. рис. 3.

Размах колебаний средних кинематических моментов на рис. 4 не превышает размах колебаний внутри одного обращения, показанных на рис. 3. Это обусловлено тем, что при осреднении амплитуд колебаний за время одного обращения их разброс уменьшается. Следует отметить, что на рис. 3 и 4 представлены исследования изменения моментов на больших интервалах времени только для пяти первых планет. Для остальных планет эти изменения хорошо видны на графиках штриховой линией рис. 2 с интервалом по времени, равным 5 лет. На интервале 160 лет для планет от Сатурна (Sa) до Плутона (Pl) прослеживаются колебания с двумя периодами порядка десятка лет и порядка сотни лет.

Следует отметить, что выполненные с большим разрешением по времени исследования кинетического момента M_z по программе Galactica (см. рис. 3) показывают, что изменение M_z для отдельных тел происходит плавно: без скачков и разрывов. Поэтому случаи отличия величины M_z по DE406 на рис. 2 от значений, рассчитанных по программе Galactica, обусловлены погрешностями эфемерид DE406.

Итак, несмотря на разнообразные изменения моментов количества отдельных тел, входящих в Солнечную систему, момент количества движения всей системы остается неизменным. Степень его изменения свидетельствует о точности решения уравнений динамики Солнечной системы. Наименьшее изменение кинетического момента дает программа Galactica, а система Horizons - наибольшее. Изменение кинетического момента отдельных тел по наилучшей программе расчета могут служить ориентирами для определения причин погрешностей в программе расчета с меньшей точностью.

4. Разности положений тел

Полученные положения кинетического момента могут свидетельствовать о погрешностях координат и скоростей тел. Попробуем их оценить. Пусть у всех тел по всем координатам и компонентам скоростей имеется одинаковое относительное отклонение , тогда для i-того тела, например для проекции на ось x можно записать координату и скорость тела в любой момент времени

x_i = x_ti (1 + ); v_xi = v_xti (1 + ), (4)

где x_i и v_xi - рассчитанные значения, а x_ti и v_xti - истинные значения координаты и скорости i-того тела в этот момент времени. После подстановки координат и скоростей согласно (4) в выражения кинетического момента (1), а затем в (2), получаем

M_z 2 . (5)

Следует отметить, что в этом случае при вычислении относительного изменения момента M_z величина M_z0 в выражении (2) рассчитывается по истинным значениям x_ti и v_xti и т.д.

Итак, при одинаковом для всех тел относительном отклонении координат и скорости оно равно половине отклонения момента = 0.5 M_z.

С целью анализа структуры отклонений были проведены исследования по отличию эфемерид DE406 от эфемерид DE405, DE403, DE200 и системы Horizons для двух дат: 30.XII.1949 c юлианским днем JD = 2433280.5 и 30.XII.1999 c JD = 2451542.5. Определялись отклонения координат x_i, y_i, z_i и скоростей v_xi, v_yi, v_zi; отклонение модулей расстояний r_i и скоростей v_i; угловое смещение _i в плоскости xy и относительное изменение расстояний между положениями тела r_i.

В табл. 3 приведены два параметра этих исследований, которые получены в результате осреднения по всем телам: r_m - среднее по всем телам относительное отклонение расстояния между положением тел по разным программам расчета и _m - среднее по всем телам значение модулей разности угловых расстояний между ними в гелиоцентрической экваториальной системе координат. Как видно из табл. 3, эти величины хорошо коррелируют между собой, причем величина _m примерно в два раза меньше относительного отклонения r_m. Из сравнения двух разных эпох: 1949 г. и 1999 г., видно, что характер отклонений практически не изменился.

Таблица 3. Средние относительные отличия эфемерид DE405, DE403, DE200 и системы Horizons от эфемерид DE406.

Из табл. 3 видно, что чем меньше номер эфемерид, тем хуже их точность. Данные табл. 3 также подтверждают худшую точность результатов системы Horizons по сравнению с эфемеридами DE406 или DE405. Кроме того, из анализа разностей расстояний r и скоростей v следует, что при изменении их значений в широком диапазоне для разных тел их относительные величины r и v изменяются в меньших пределах. Среднее значение пределов адекватно отражается величинами r_m и _m. Поэтому принятая одинаковая величина отклонения координат и скорости тел при выводе ее зависимости от отклонения кинематического момента M_z является оправданной.

При исследовании изменения кинематического момента за 160 лет мы получили, что по эфемеридам диапазон его колебания M_z = 810^-10, а по системе Horizons - 910^-5. Поэтому следует ожидать, что относительные погрешности координат и скорости, рассчитанных с помощью этих систем, могут быть порядка 410^-10 и 4.510^-5, соответственно. Эта оценка точности получена по отношению к “истинным” параметрам движения тел, которые дают неизменный кинематический момент M_z. Она, естественно, отличается от отклонений r_m в табл. 3, полученных при сравнении разных версий эфемерид между собой.

5. Изменение кинетического момента с учетом вращательного движения тел

Выше мы рассмотрели суммарный момент количества движения тел в динамике Солнечной системы, который обусловлен их орбитальными движениями. При анализе статьи рецензентом он отметил, что учет кинетического момента, обусловленного вращательным движением тел, расширил бы возможности этого подхода. Например, в системе Земля-Луна можно было бы проследить рост орбитального кинетического момента Луны за счет торможения вращения Земли. Действительно, представляет интерес рассмотрение суммарного кинетического момента с учетом моментов количеств движения тел, обусловленных собственным вращением. Эти моменты еще называют спинами тел. В рассматриваемых в статье программах расчета орбитальных движений спины тел не учитываются. Поэтому на данном этапе работа по изменению кинетического момента в динамике Солнечной системы может быть выполнена только с учетом орбитальных кинетических моментов.

Следует отметить, что в системе Galactica в начальные условия кроме орбитальных параметров входят также радиусы тел и проекции их спинов. Поэтому, если все эти параметры задать для какой-то задачи гравитационного взаимодействия тел, то в результате ее решения будет получена динамика орбитального и вращательного кинетических моментов тел. При этом могут происходить столкновения тел, их слияние в одно тело, затем столкновения слившихся тел, а также другие процессы при соударениях.

Эти процессы неоднозначны. Достаточно сложно определиться с выбором и разработать их алгоритмы. В этом случае контроль измерения суммарного (с учетом спинов) кинетического момента является единственным надежным методом контроля достоверности полученных результатов.

Следует отметить, что в статье рассматривается изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы, т.е. в теориях, которые описывают движения в Солнечной системе. А изменение кинетического момента в самой Солнечной системе зависит не только от орбитального и вращательного движения тел, но и от других факторов. Самый главный из них является орбитальное движение. В дальнейшем, по мере повышения точности описания первых по значимости факторов, будут учитываться и последующие.

Приведем оценку моментов, обусловленных вторым по значимости фактором - вращательным движением тел. Если J - осевой момент инерции, а щ_rt - угловая скорость вращения, то спин тела будет

S = Jщ_rt ? 0.4 m R²2/P_rt = 0.8 mR²/P_rt, (6)

где m - масса тела; R - его радиус, а P_rt - период его вращения.

Если средний радиус орбиты a, а средняя угловая скорость движения тела по орбите щ_or, то его орбитальный момент количества движения будет:

M = mщ_ora² = 2ma²/P_or, (7)

где P_or - период обращения тела по орбите.

Тогда соотношение между спином и орбитальным моментом запишется в виде

. (8)

В таблице 4 приведены эти соотношения для планет (Me - Pl) и Луны (Mo). Для Луны орбитальный момент рассчитан по ее орбите вокруг Земли, а для планет - вокруг Солнца. Видно, что орбитальный момент превышает спин на много порядков. Тем не менее, точность программы Galactica, по-видимому, позволяет учесть его. Поэтому, в дальнейшем исследователи могут ставить задачи, подобные предложенной рецензентом, и пытаться их решить с помощью системы Galactica.

Таблица 4. Параметры планет от Меркурия до Плутона (Me - Pl) и Луны (Mo) , их средние орбитальные моменты (M) и спины (S). Знак “-” перед числами означает, что планета вращается по часовой стрелке.