Статья: Изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы

Изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы

И.И. Смульский, О.И. Кротов

Аннотация

Достаточно часто рассчитанные траектории и реальные движения небесных тел и космических аппаратов различаются. Их отличие может быть обусловлено несовершенством методов расчета орбит и траекторий. С целью проверки этих методов рассмотрено изменение кинетического момента при расчете движений программой Galactica, с помощью эфемерид DE406 и системы Horizons. Наименьшее изменение получено в программе Galactica, наибольшее - по системе Horizons. Исследована динамика кинетического момента планет. Полученные результаты могут быть использованы для контроля и совершенствования методов расчета движений.

Ключевые слова: Солнечная система, динамика, численное интегрирование, кинетический момент.

Введение

траектория движение небесный орбита

В результате исследования космического пространства в последние десятилетия появились свидетельства о несоответствии рассчитанных орбит небесных тел и траекторий космических аппаратов с наблюдаемыми. Эти свидетельства имеются также при исследовании эволюции Солнечной системы за геологические периоды времени. Благодаря им ряд исследователей пришел к выводу о хаотичности движений в Солнечной системе: возможности распада ее в будущем [1], хаотическом движении астероидов после сближения с планетой [2] и т.д. Другие исследователи для устранения этих несоответствий дополнительно к силе тяготения Ньютона привлекают другие более слабые воздействия: силу радиационного воздействия Ярковского [3], “темную материю” [4], световое давление и т.д.

Однако индетерминированность движений и невыясненная природа сил противоречит духу механики. По-видимому, прежде чем соглашаться с вышеупомянутыми изменениями, необходимо в рамках механики проверить достоверность существующих методов расчета движений. Одним из показателей точности решения задач механики является соблюдение законов сохранения. В данной работе выполнено исследование по сохранению момента количества движения всей системы взаимодействующих тел при расчете динамики Солнечной системы разными методами.

1. Изменения кинетического момента в программе Galactica

В результате исследования движения Апофиса при разных начальных условиях и с помощью разных методов [5]-[8] было установлено, что неопределенность в движении астероида после сближения с Землей может быть уменьшена за счет увеличения точности этих методов. Поэтому были выполнены исследования по изменению момента количества движения Солнечной системы при численном расчете ее движения двумя методами. Первый метод - традиционный. Он основан на стандартной динамической модели (SDM) и реализован в программах расчета эфемерид серии DE, в частности DE-406 [9] и в системе Horizons [10]. Второй метод реализован в программе Galactica [11]. Он основан на ньютоновском взаимодействии точечных масс, а для интегрирования дифференциальных уравнений движения используется новый высокоточный метод. Информация о задачах, решенных с помощью программы Galactica, приведена по адресу: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/Galct11R.pdf. Система Galactica, с набором необходимых средств для решения задач, свободно доступна на сайте http://www.ikz.ru/~smulski/GalactcW/. Ее описание представлено в файле GalDiscrp.pdf на русском языке, а в файле GalDiscrpE.pdf - на английском.

Одним из важных показателей достоверности решения дифференциальных уравнений движения является относительное изменение момента количества движения системы. При отсутствии внешних воздействий на систему взаимодействующих материальных точек момент количества ее движения или кинетический момент, например в проекции на ось z, остается неизменным:

, (1)

где m_i, x_i, y_i и v_xi, v_yi - масса, координаты и скорости i-того тела, а n - количество тел в системе.

Поэтому относительное изменение момента

дM_z = (M_z - M_z0)/M_z0, (2)

где M_z0 - величина момента количества движения в определенный момент времени, должно быть равно нулю, т.е. дM_z = 0. Если его значение не равно нулю, то это свидетельствует о погрешностях при численном интегрировании задачи.

О показателе точности величины дM_z при интегрировании уравнений с помощью программы Galactica и связи дM_z с погрешностью координат и скоростей более детально дано в работах [12, 13]. В этой программе в процессе решения дифференциальных уравнений вычисляются различные критерии достоверности расчетов, в том числе и относительное изменение момента дM_z. В результате неоднократных исследований для Солнечной системы было установлено, что проекции момента количества движения на оси x и y ведут себя аналогично проекции дM_z. Так как эта проекция близка по величине к изменению модуля момента дM_t, то в дальнейшем рассматривается изменение только величины дM_z.

Момент количества движения по программе Galactica рассчитывается для планет, Луны, Солнца и Апофиса в барицентрической экваториальной системе координат на эпоху 2000.0 г. [6]-[8]. Вычисления выполнялись с шагом dT = 10^-5 года и с расширенной длиной числа (34 десятичных знака). Динамика изменения дM_z за 160 лет показана на рис. 1а. Как видно, эта величина линейно изменяется со временем со средней скоростью dдM_z/dT = 1.510^-21 cyr^-1, где 1 cyr = 100 лет. Эти результаты, как уже упоминалось выше, получены с расширенной длиной числа. При интегрировании уравнений движения программой Galactica с двойной длиной числа (17 десятичных знаков) на этом интервале времени погрешность момента дM_z колеблется в пределах дM_z = 10^-13, т.е. линейно не растет с увеличением времени решения задачи. Алгоритм программы Galactica позволяет, если в этом возникнет необходимость, застабилизировать погрешность и при расширенной длине числа.

Рис 1. Относительное изменение момента количества движения Солнечной системы: при интегрировании дифференциальных уравнений движения Солнца, планет, Луны и Апофиса программой Galactica (а); при расчетах движения планет, Солнца, Луны и астероидов: Церера, Паллада и Веста по программам DE406 (б) и Horizons (в). Величины M_z рассчитаны согласно (2) при M_z0 на 30.XI.2008. T - время в юлианских столетиях по 36525 дней в столетии от эпохи 30.XI.2008.

2. Изменение кинетического момента в программах SDM

Изменение момента количества движения по эфемеридам DE406 и системе Horizons мы исследовали для планет, Солнца, Луны и трех астероидов Церера, Паллада и Веста относительно центра масс Солнечной системы. Рассчитывались проекции момента M_x, M_y и M_z на оси барицентрической экваториальной системы координат и модуля момента M_t. Эти вычисления были выполнены для нескольких моментов времени. Для эфемерид DE406 массы тел (те же, что и в эфемеридах DE405) были взяты из их описания.

В системе Horizons для каждого тела выдается его масса. Так как эти массы отличаются от масс, принятых в эфемеридах DE406, то также были рассчитаны моменты количества движения с массами из эфемерид DE406. Кроме того, в системе Horizons координаты Плутона выдаются до 29.I.2051. Поэтому были рассчитаны моменты количества движения без Плутона. Однако выяснилось, что характер изменения моментов количества движения в двух последних вариантах практически не отличается от первого варианта. Поэтому в дальнейшем использовались моменты количества движения с массами из эфемерид DE405.

В табл. 1 приведены величины момента M_z, рассчитанного по эфемеридам DE406 и системе Horizons на интервале 160 лет. По эфемеридам DE406 значения момента неизменны до 10 значащей цифры, а по системе Horizons - до четвертой. Характер изменения проекций момента M_x, M_y и полного момента M_t аналогичен изменению z-проекции момента M_z, поэтому в дальнейшем, как и по программе Galactica, рассматривается только проекция момента на ось z.

Таблица 1. Момент количества M_z движения планет, Солнца, Луны и трех астероидов по эфемеридам DE406 и системе Horizons для разных дат и номеров юлианских дней JD с массами DE405.

На рис. 1 сопоставлены относительные изменения моментов количества движения, рассчитанные по программе Galactica, эфемеридам DE406 и системе Horizons. Относительные изменения моментов приведены по отношению к значению момента на 30.XI.2008. Первая точка относится к дате 30.XII.1949. По программе Galactica, как уже отмечалось, момент количества движения растет линейно со временем, и за 160 лет относительное изменение момента M_z = 2.410^-21. По эфемеридам DE406 величина M_z изменяется немонотонно, и диапазон колебаний равен 810^-10, что на 11 порядков превышает погрешности момента по программе Galactica.

Кинетический момент по системе Horizons изменяется также не монотонно, и колебания M_z достигают значений 910^-5. Отсюда следует, во-первых, что изменения момента количества движения в эфемеридах DE406 и системе Horizons на много порядков превышают его изменения в программе Galactica. А во-вторых, изменения момента количества движения в системе Horizons на 5 порядков превышают его изменения в эфемеридах DE406.

Следует отметить, что первоначально эти исследования для эфемерид DE406 и системы Horizons были выполнены для планет, Луны и Солнца, т.е. без трех астероидов. Изменение момента M_z для эфемерид DE406 было в 2.5 раза больше. Меньшее изменение M_z в результатах, представленных в табл. 1 и на рис. 1, обусловлено тем, что в эфемеридах DE406 рассчитывается движение с учетом этих астероидов. Так как вклад астероидов в изменения момента M_z составляет порядка 1.210^-9, то следовало ожидать, что учет астероидов не окажет влияния на изменение момента по системе Horizons. Этот вывод подтвердился при расчетах: учет астероидов не изменил погрешности момента количества движения в системе Horizons.

4. Динамика кинетических моментов отдельных тел

С целью выяснения причин изменения момента количества движения были выполнены исследования изменений момента количества движения в эфемеридах DE406 по отдельным телам: планетам, Солнцу и Луне. Рассматривалось относительное изменение момента по отношению к моменту на дату 30.XI.2008. Исследовались все три проекции момента M_x, M_y и M_z. Ввиду идентичности поведения будем, как и ранее, рассматривать проекцию только на ось z. Изменение момента M_z этих тел за 160 лет показано на рис. 2 сплошной линией. Как видно, моменты количества движения тел, как и Солнечной системы на рис. 1 б, изменяются колебательно. Наименьшие относительные изменения имеют Плутон, Нептун, Сатурн и Юпитер. Момент Солнца изменяется в наибольшей степени, а из планет наибольшее изменение M_z имеет Меркурий.

Следует иметь в виду, что в отличие от задачи двух тел, при взаимодействии многих тел момент количества движения каждого тела претерпевает изменение. Происходит постоянный взаимообмен моментами между телами. Например, из графиков на рис. 2 видно, что величины M_z для Юпитера (Jp) и Солнца (Su) изменяются асинхронно, что свидетельствует об их взаимообмене моментами количества движения. Поэтому проблема заключается не в том, что эти моменты изменяются, а в том, насколько правильно результаты интегрирования уравнений отражают действительные изменения кинетических моментов этих тел. Небольшое несовпадение расчетных величин моментов от действительных может привести при их сложении к значимым изменениям момента количества движения всей Солнечной системы.

Рис 2. Относительное изменение моментов количества движения тел Солнечной системы: от Меркурия (Me) до Луны (Mo) и Солнца (Su). Величина M_z рассчитана согласно (2) при M_z0 на 30.XI.2008: 1 - по эфемеридам DE406; 2 - по программе Galactica.

Вклад моментов отдельных тел в момент количества движения Солнечной системы зависит от их абсолютных величин. В табл. 2 приведены моменты M_z0i тел, размах M_zi их относительных изменений и размах их абсолютных изменений M_zi. Эти величины определялись так:

M_zi = M_zmaxi - M_zmini; M_zi = M_z0i M_zi, (3)

где i - номер тела; M_zmaxi и M_zmini - максимальное и минимальное значения M_zi на графиках рис. 2.

Как видим, наибольший абсолютный размах M_zi колебаний момента количества движения у Солнца (Su) и Юпитера (Jp), и, как видно из табл. 2, величины их M_zi близки. Как уже отмечалось выше, моменты их изменяются в противофазе. Поэтому погрешность в определении их моментов количества движения может дать существенный вклад в изменения M_z всей Солнечной системы.

Таблица 2. Диапазоны изменений момента количества движения планет, Луны и Солнца относительно центра масс Солнечной системы по DE-406 на интервале 160 лет от 30.XII.1949. Относительные изменения определены по отношению к 30.XI.2008. Проекции кинетических моментов тел M_z0i и их изменения M_zi приведены в кгм/сек.