Рисунок 7 - Манипулятор коэффициентов
2. АПРОБАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
2.1 Проверка легитимности модели на основе сравнения с аналитическим решением
Для апробации математической модели была взята система, показанная на рисунке8 и рассмотренная в книге [7].В численной модели используется форма силы трения, введенная ранее. Ожидается на выходе получить режим автоколебаний и в численной модели решения данной задачи.
Автоколебания представляют собой особое явление -- незатухающие стационарные колебания, поддерживаемые за счет энергии, которая подводится к системе от источников неколебательного характера. При этом силы, подводимые к системе от источников энергии, меняются во времени в зависимости от самого движения системы и при отсутствии движения равны нулю.
Рисунок 8 - Изображение пробной задачи
Механическая система в данной задаче состоит из равномерно движущегося ведущего звена 1, приводящего через пружину 2 в движение груз 3. Между грузом и поверхностью, по которой он двигается, развивается сила сухого трения. Сила трения имеет вид, отображенный на рисунке9, и схематически отражает различие между предельной силой трения покоя и силой трения движения известное из экспериментов.
Рисунок 9 - График силы сухого трения пробной задачи
Введем обозначения:
- скорость ведущего звена,
- коэффициент жесткости пружины,
- масса груза,
,
- предельная сила трения покоя,
- сила трения движения.
Очевидно, возможно такое движение рассматриваемой системы, при котором скорость груза 3 также равна . При этом пружина 2 сжата постоянной силой , равной силе трения движения . Однако, этот режим оказывается неустойчивым и при определенных обстоятельствах около него возникает режим автоколебаний. При малых значениях скорости какое-нибудь препятствие может оказать достаточное влияние для остановки груза на некоторое конечное время.
Ведущее звено при постоянном движении вправо, будет сжимать пружину до тех пор, пока сила сжатия не станет одинаковой силе трения покоя . После этого произойдет срыв груза, а сила трения мгновенно уменьшится до величины. Но сила сжатия пружины в первый момент начавшегося движения будет по-прежнему равна , и, следовательно, равновесие сил, действующих на груз, нарушится.
Совместим с моментом срыва начало отсчета времени и заметим, что в этот момент равны нулю как координата , так и скорость :
(9)
(отсчет перемещений будем вести от места остановки груза).
Рассмотрев процесс последующего движения, заметим что к моменту времени длина пружины изменится на отрезок и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения
(10)
Следовательно, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде
(11)
(12)
Решением этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (9), станет
(13)
Первое слагаемое правой части равенства выражает равномерное движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые - дополнительные колебания груза.
Скорость груза изменяется по закону
(14)
и в некоторый момент времени может вновь обратиться в ноль. Условие новой остановки груза приводит к уравнению
(15)
в котором - время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр
(16)
Теперь условие остановки принимает вид
(17)
Решив это уравнение, найдем
(18)
(19)
Модули вышестоящих выражений всегда меньше 1, так что из (18,19) всегда следует вещественное значение . Получив это значение ,возможно по формуле (17) определить координату груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время :
(20)
С учетом уравнений (18,19) найдем по соотношению (10) силу сжатия пружины в момент остановки:
(21)
Отсюда видно, что (так как ). Поэтому, после остановки груз какое-товремя будет оставаться на местедо тех пор, пока сила сжатия пружины снова не достигнет значения предельной силы трения покоя. Затем произойдет новый срыв груза и начнется следующий цикл, абсолютно совпадающий с предыдущим. Таким образом, рассматриваемый процесс представляет собой режим стационарных автоколебаний.
За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия постепенно возрастает па величину
(22)
и соответствующее дополнительное укорочение пружины составит
(23)
Такой же величине равен путь, пройденный ведущим звеном за время остановки груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равна
(24)
(тот же результат можно найти из условия , выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за один полный цикл рассматриваемого процесса).
Таким образом, период автоколебаний определяется формулой
(25)
для пользования которой сначала нужно найти из выражений (18,19), а затем из формулы (24).
Стоит заметить, чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значениях безразмерный параметр б становится весьма большим и из выражений (18,19) следует приближенно
(26)
Соответственно (24) это приводит к следующей формуле для периода автоколебаний:
(27)
Здесь явно видно, что роль второго слагаемого в числителе возрастает с уменьшением скорости .
Законы движения при двух различных малых значениях графически показаны на рисунках10 и 11.На рисунках10и 11показаны соответствующие законы изменения перемещения и скорости, стоит заметить, что с уменьшением постоянной скорости ведущего звена период автоколебаний растет. [7]
Рисунок 10 - Графики перемещения груза с разными постоянными скоростями ведущего звена
Рисунок 11 - Графики скоростей груза с разными постоянными скоростями ведущего звена
С помощью математической модели в рамках условия данной задачи решается 1 дифференциальное уравнение для нахождения координат грузапри следующих начальных условиях:
коэффициенты силы трения;
в 10 раз - отношение постоянных малых скоростей ведущего звена.
Сила трения зависит от знака скорости и вычисляется по формуле (8) и с вышеуказанными коэффициентами имеет следующую форму (рисунок 11).
Рисунок 12 - График силы трения в данной задаче
В данной математической модели был протестирован аналогичный режим движения системы и найдено численное решение для перемещения груза. Использовалось качественное сравнение результатов. Численно решив такого же типа задачу, был обнаружен стационарный режим автоколебаний систем при скоростях и(рисунки 12 и 13).При наблюдется, что система с большей скоростью преодолела большее расстояние, чем вторая, период колебаний возрастает при уменьшении скорости. Данные выводы дают право утверждать, что математическая модель работает корректно, может быть использована для исследования влияния различных характеристик на систему.
Рисунок 13 - График перемещения и скорости груза и ведущего звена при скорости
Рисунок 14 - График перемещения и скорости груза и ведущего звена при скорости
2.2 Введение влияния угла наклона поверхности среды в математическую модель
После качественного анализа работоспособности математической модели, было решено рассмотреть задачу движения системы по наклонной поверхности вверх и вниз. Выявить корректность результатов зависимости механической системы от угла наклона плоскости.
Математическая модель была исследована на влияние анизотропии среды. Неравномерность силы трения была представлена задачами на увеличение/уменьшение силы трения, аналогично с движением вверх и вниз по склону соответственно, как показано на рисунке 14 и рисунке 15 соответственно.
Рисунок 15 - Механическая система на подъеме
Рисунок 16 - Механическая система на спуске
Система состоит из ведущего звена, которое действует на ведомое звено через упругую пружину, но при этом вся модель находится на неровной поверхности, а именно в первом случае на уклоне в 45, а во втором случае на спуске в 45.
Для осуществления реализации задачи были добавлены характеристики влияния условной силы притяжения. Введена зависимость от угла наклона, рассматривалось 3 случая: ровная поверхность поверхность с уклонов наверх поверхность с уклоном вниз
Сила реакции опоры, действующая на звено:
(28)
где масса звена;
коэффициент, характеризующий ускорение свободного падения;
угол уклона.
Тогда реальная сила трения , действующая в системе с коэффициентом сухого трения с учетом формулы (8):
(29)
А в правую часть каждого дифференциального уравнение добавляется слагаемое, определяемое влиянием силы тяжести (с отрицательным знаком):
. (30)
В результате исследования получаем численное решение для перемещения каждого звена на неровных поверхностях и сравнение с показателями системы, находящейся на ровной плоскости. Выведены показатели скоростей и амплитуд перемещения между ведущим звеном и грузом. Данные отображены на графиках рисунков16-18.
Рисунок 17 - График перемещения груза и ведущего звена при углах наклона поверхности в -45, 0,45
Рисунок 18 - График скоростей груза и ведущего звена при углах наклона поверхности в -45, 0,45
Рисунок 19 - График перемещений груза относительно ведущего звена при углах наклона поверхности в -45, 0,45
Судя по графикам можно сделать следующие выводы. При постоянной скорости система переходит в автоколебательный режим во всех случаях (рисунок 16). Резкие скачки в скоростях отображают переходный режим и влияния уклона поверхности, груз начинается приближаться к ведущему звену и отдаляться соответственно до перехода в режим автоколебаний (рисунок 17). График влияния упругой связи отображает разные амплитуды перемещений груза относительно ведущего звена в зависимости от удлинения пружины, заметны колебания с одинаковым периодом, но в условиях разного растяжения пружины: при уклоне вверх растяжение меньше, при уклоне вниз - соответственно больше (рисунок 18).
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
Из предыдущих глав стало понятно, что данная система корректно описывает модели данного вида задач. Поэтому был проведен ряд численных экспериментов по оценке влияния тех или иных параметров на механическую систему.
3.1 Анализ воздействия скорости на механическую систему
Для анализа влияния постоянной скорости ведущего звена на систему была взята модель, описанная в главе 2.1. Соотношение скоростей . На графиках, отображенных на рисунках 19 и 20, видно, что в любом случае система переходит в автоколебательный режим, чем меньше скорость, тем меньше период движения груза и больше период, когда груз стоит на месте. В общем, период колебания груза увеличивается при уменьшении скорости. Амплитуда скорости груза возрастает с увеличением скорости ведущего звена.
Рисунок 20 - График перемещений ведущих звеньев и грузов при разных постоянных скоростях, действующих на ведущее звено
Рисунок 21 - График скоростей ведущих звеньев и грузов при разных постоянных скоростях
3.2 Анализ воздействия параметров силы трения на систему
Для исследования влияния силы трения на механическую систему была взята модель, описанная в главе 2.1. Сила трения задана формулой (8). Как было сказано ранее коэффициенты в данной формуле влияют на форму, особенно на пик, характеризующий силу трения покоя.
Было рассмотрено 3 случая:
при коэффициентах:;
при коэффициентах:;
при коэффициентах:.
Различие в формах сил трений отображено на рисунке 21.
Рисунок 22 - Формы силы трения в зависимости от коэффициентов
В общем, можно пронаблюдать, что пик силы трения покоя находится в среднем положении, в то время как характерна большим приростом пика, а ,наоборот, более гладким отличием силы трения покоя от силы трения движения.
Исходя из данных графиков на изображениях 22 и 23, можно утверждать, что система отзывается на возрастание силы трения покоя, большим периодом колебаний и большей амплитудой скорости.
Рисунок 23 - График перемещений ведущего звена и груза при различных формах силы трения
Рисунок 24 - График скоростей ведущего звена и груза при различных формах силы трения
3.3 Анализ влияния жесткости упругой пружины на систему
Для анализа влияния жесткости пружины, которая осуществляет упругую связь между элементами системы, была взята модель, описанная в главе 2.1. Соотношение значений жесткости пружины .
Отображенные на графиках рисунков 24 и 25 значения предоставляют указать зависимость жесткости пружины и величину перемещения элементов, относительно друг друга. Чем меньше значение жесткости, тем с большей амплитудой перемещаются элементы механической системы. А также, можно утверждать, что чем выше показатель жесткости, тем ниже период автоколебаний системы.