[Введите текст]
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт прикладной математики и механики
Кафедра теоретической механики
Работа допущена к защите
Зав. кафедрой, д.ф.-м.н., проф.
__________ А. М. Кривцов
"__"___________________
Диссертация на соискание академической степени магистра
Тема: Исследование продольных колебаний тела с условиями контакта на границах
Направление:01.04.03-Механика и математическое моделирование
Выполнил студент гр. 63604/1 Шубин А.В.
Руководитель к. ф.-м. н. Лобода О.С.
Санкт-Петербург
2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ
1.1 Среда разработки Wolfram
1.2 Представление силы трения в поставленной задаче
2. АПРОБАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
2.1 Проверка легитимности модели на основе сравнения с аналитическим решением
2.2 Введение влияния угла наклона поверхности среды в математическую модель
3. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ
3.1 Анализ воздействия скорости на механическую систему
3.2 Анализ воздействия параметров силы трения на систему
3.3 Анализ влияния жесткости упругой пружины на систему
3.4 Анализ влияния количества звеньев
4. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ВВЕДЕНИЕ
Теория механических колебаний имеет крайне важную роль для инженеров, занятых в области машиностроения, приборостроения, промышленного и транспортного строительства, а также во многих других областях техники. В каждой из перечисленных областей перед специалистами стоит ряд практических задач, связанных с проблемой механических колебаний. Хотя постановка задач и граничные условия разнятся, все они, в конечном счете, решаются на основе общих принципов и методов, входящих в основу теории колебаний.
Магистерская работа посвящена исследованию задачи о движении системы объектов, состоящих из нескольких звеньев и при наличии связей между ними и трения. Актуальность проблемы обусловлена тем, что в наше время вопросы надежности в строительстве и проектировании разнообразных технических объектов требуют учета кинематических явлений.
В данной работе рассматривается упрощенная модель твердого тела, а именно механическая система из нескольких элементов, соединенных упругими пружинами. Определяется форма эмпирической силы сухого трения среды. Это гладкая, непрерывная функция, включающая в себя как зону силы трения покоя, так и зону силы трения движения.
Создается математическая модель данной системы в программном пакете WolframMathematica, задается область применения, определяются параметры среды. Универсальность математических моделей позволяют предположить целый класс механических задач. В таких задачах рассматриваются свободные и вынужденные колебания, а также режим автоколебаний, для численного решения и последующего исследования которых и применяется данная математическая модель.
Немаловажную роль в настоящее время играет визуализация процессов, рассматриваемых при изучении механических, оптических, электромагнитных и других систем.
Для большего погружения в суть процесса с помощью программных продуктов возможно написать программу для непосредственного отображения численных результатов, что и было сделано на языке DELPHI в заключительной части магистерской работы.
1. ОПИСАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ
Математическое моделирование представляет собой процесс построения и численного решения алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений. Данные равенства вытекают из применения законов механики, физики, химии, биологии, экономики к решению конкретных задач.
Альтернативой математическому моделированию является физическое моделирование. Физическое моделирование - это научная задача, которая основывается на тщательном проникновении в процесс явления. Оно применяется для разработки экспериментальных и теоретических методов исследования с целью получения достоверных результатов и рекомендаций для решения практических задач. [3]
Математическое моделирование систем различной физической природы представляет из себя построение аналитических выражений, которые полностью описывают изменение свойств фазового состояния таких систем. При моделировании различных явлений можно столкнуться с полным или частичным совпадением математических моделей, которые описывают поведение объектов разнообразной физической природы методами аналитической механики.
В построении математических моделей существенное значение имеет систематизация физических величин, характеризующих кинематику и динамику исследуемого процесса. Проблемы данного вида широко рассматриваются с 30-х годах XX века, когда быстрое развитие получила теория физических (динамических) аналогий. Данная теория положила в основу систематизации физических величин основное уравнение движения, или, как его еще называют, уравнение динамики, откуда и появился термин "динамические аналогии". Метод физических аналогий предполагался в рассмотрении механического прямолинейного, механического вращательного движения, акустических и электрических процессов. Он получил широчайшее практическое применение, особенно в прикладной акустике, в теории электрических и механических цепей, в аналоговой вычислительной технике. [4]
Среди различных явлений разнообразной физической природы часто можно встретить похожие явления, в которых обнаруживаются одинаковые законы и признаки. В этих случаях говорят о физических аналогиях или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между механическими, электрическими, акустическими и другими системами, давно применяются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении ряда задач. Они позволяют использовать методы аналитической механики для исследования систем различной физической природы. [5]
Так, рассматриваемая в работе система была создана по аналогии с движением кольчатого червя. Основную роль в характерном для этих червей движении играет кожная мускулатура. Тело перистальтически сокращается. Укорачивающийся участок становится толще, что увеличивает силу трения на данном участке, удлиняющийся - тоньше, что уменьшает воздействие силы трения системы. Сокращением кольцевой мускулатуры передний участок тела вытягивается, затем начинает сокращаться продольная мускулатура, передний конец укорачивается и к нему подтягивается задняя часть тела. Схему движения можно увидеть на рисунке 1.
Рисунок 1 - Движение кольчатого червя
В итоге, по образу и подобию в ходе данной работы рассматривается изолированная (замкнутая) система, состоящая из n материальных точек с одинаковой массой m с учетом связей между звеньями. Система схематически изображена на рисунке 2.
Рисунок 2 - Схема механической системы
Система дифференциальных уравнений
(1)
где масса звена;
жесткость пружины.
Граничные условия
(2)
(3)
Ограничения на максимальное растяжение, равное 2d и максимальное сжатие пружины (0). Применены граничные условия на ход элементов при близком приближении друг к другу и на растяжение по длине двойного расстояния между звеньями системы. Эти условия не позволяют звеньям расползаться и соударяться друг с другом.
(4)
где расстояние между звеньями.
Вышеизложенным способом была создана математическая модель колебательной системы, состоящая из n-ого количества материальных точек, соединенных упругими пружинами в среде с сухим трением, с формой которого будет сказано ниже. [1, 2]
1.1 Среда разработки Wolfram
Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например:Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.
Для нахождения численного решения была выбрана система WolframMathematica 10.0, язык - WolframLanguage, как одна из самый прогрессивных на сегодняшний день с возможностью автоматизации расчетов, хранения большого объема данных, высокой производительности, большой вспомогательной базой, удобностью и скоростью.
Код программы в приложении 1.
Другие преимущества WolframMathematica:
надежные результаты без анализа ошибок округлений;
высокая производительность в высокоуровневом языке;
повышение производительности и точности, даже при использовании экспертами;
высокоуровневые, удобочитаемые программы;
легкость применения существующего кода к новым данным;
получение точных, общих результатов там, где это возможно;
автоматическое отслеживание ошибок округления;
применение гибридных методов для использования математической структуры аргумента. [9]
1.2 Представление силы трения в поставленной задаче
Трибология - раздел физики, занимающийся исследованием и описанием контактного взаимодействия твёрдых деформируемых тел при их относительном перемещении. Областью трибологических исследований являются процессы трения, изнашивания и смазки, а также проблемы и преимущества воздействия силы трения на систему.
Обычно последствия трения негативны. С ним связана надежность и долговечность деталей машин и механизмов. Изнашивание, которое всегда имеет место при трении, приводит к нарушению геометрических размеров узлов, теряется точность взаимного расположения деталей и перемещений. Возникают заклинивания, удары, вибрации, приводящие к поломкам. Трение приводит к потерям энергии, перегреву механизмов, снижению передаваемых усилий, повышенному расходу горючего и других материалов.
В то же время трение играет и положительную роль. Без трения невозможна работа многих механических передач, а работа фрикционных вариаторов, ременных передач, фрикционных тормозов и муфт сцепления целиком основана на использовании сил трения. Во всем мире идет борьба за увеличение коэффициента трения колесного транспорта с основанием (автострадой, рельсами), которое повышает тяговую способность и увеличивает эффективность торможения.
Для расчета математической модели была выбрана s-образная форма силы сухого трения, которое характеризуется различием между силой трения покоя и силой трения движения.
Сухое трение возникает в случаях, когда взаимодействующие твёрдые тела не разделены никакими дополнительными слоями/смазками и характеризуется наличием значительной силы трения покоя.
Трение покоя -- сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.
Трение скольжения -- сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения. [6]
Как известно, тело сложнее сдвинуть из положения равновесия, нежели действовать на него в процессе некоторого движения, поэтому сила трения покоя выше силы трения скольжения.
В данной работе формула и форма сухого трения среды получена эмпирическим путем на основе s-образной силы трения, как наиболее подходящая по постановке задачи. Введены численные коэффициенты для варьирования формы и подбора оптимальной силы трения.
Данная форма была взята, так как удовлетворяет условиям гладкости и непрерывности функции, что дает возможность более точно численно решать дифференциальные уравнения.
Преимуществом такой формы является то, что одной функцией задаются 2 типа взаимодействия - сила трения покоя и сила трения движения.
Проведено исследование влияния коэффициентов на эмпирическую силу трения, в результате которого была выбрана наиболее подходящая.
За исходную была взята функция гиперболического тангенса (рисунок 3), как наиболее подходящая под условие сходимости с s-образной силой трения. Введен параметр ,отвечающий за наклон, чем больше значение, тем ближе график к оси
(5)
Рисунок 3 - График гиперболического тангенса
Для создания пика, характеризующего скачок для силы трения покоя, вводится следующая функция и пара параметров икоторые отвечают за величину пика иблизость его к оси (рисунки 4 и 5).
. (6)
Рисунок 4 - Влияние коэффициента L
(7)
Рисунок 5 - Влияние коэффициента K
В результате была получена необходимая форма s-образной эмпирической силы сухого трения (рисунок 6).
(8)
Рисунок 6 - График формы силы сухого трения
В ходе исследования в программного пакете WolframMathematicaбыл создан «манипулятор» (функция Manipulate[]), с помощью которого можно наглядно в реальном времени исследовать влияние безразмерных коэффициентов на форму эмпирической силы трения, рисунок 7.