Материал: Информатика. учебное пособие для подготовки к Интернет-экзамену (часть I). Авдеев В.П., Кононов А.Д

.

Часто информация кодируется числовыми кодами в той или иной системе счисления, особенно это актуально при представлении в компьютере. Естественно, что одно и то же количество разрядов в разных системах счисления может передать разное число состояний отображаемого объекта, что можно представить в виде соотношения

N = mⁿ,

где N - число всевозможных отображаемых состояний;

m - основание системы счисления (разнообразие символов, применяемых в алфавите);

n – число разрядов (символов) в комбинации.

При равновероятном появлении любой из кодовых комбинаций количество информации, приобретенной абонентом в результате получения сообщения, будет I = log N = n log m (формула Хартли). Количество информации, содержащееся в сообщениях, является логарифмической мерой числа различных состояний, и в принципе, безразлично, при каком основании вычислять этот логарифм. Обычно основание логарифма выбирают равным двум (из соображений простоты технической реализации устройств ЭВМ), и количество информации получают в двоичных единицах или битах:

I =log₂ N и при N = 2 I =1.

Энтропия также является логарифмической мерой:

и если основание логарифма равно двум, то

H₂ = log₂ m

и энтропия измеряется в двоичных единицах на элемент сообщения.

Объем данных V_q в сообщении измеряется количеством символов (разрядов) в этом сообщении. В ЭВМ наряду с минимальной единицей измерения данных «бит» широко используется укрупненная единица измерения «байт», равная 8 бит. Для удобства использования введены и более крупные единицы. Так, 1024 байта образуют килобайт (Кбайт), 1024 килобайта – мегабайт (Мбайт), 1024 мегабайта – гигабайт (Гбайт) и т.д.

Вопросы для самопроверки.

1. Как определяется понятие энтропии?

2. В чем суть теорем Шеннона?

3. Каким образом определяется единица количества информации?

4. Какое количество информации уменьшает неопределенность в два раза?

5. Сколько байт необходимо для кодирования числа 312?

6. Какой объем информации содержится в сообщении 2009?

7. Сколько байт в системе кодирования ASCII необходимо для хранения на диске слова ПРОЦЕССОР?

8. Сколько двоичных разрядов достаточно для кодирования 64 различных состояний?

9. В текстовом файле хранится текст объемом в 400 страниц. Каждая страница содержит 3200 символов. Если используется кодировка в KOI-8 (8 бит на 1 символ), то каков будет размер файла?

3. Позиционные системы счисления

Понятия «число» и «операции над числами» возникли из практической деятельности людей. На протяжении тысячелетий формы записи чисел претерпели большие изменения. Революционным моментом в совершенствовании записи чисел явилось создание десятичной системы счисления, в которой любое число представляется в виде последовательности цифр, причем вклад каждой цифры в общее значение числа зависит не только от значения цифры, но и от места (позиции), которое занимает эта цифра среди других цифр числа (позиционная система счисления).

Отметим две важные особенности позиционных систем счисления:

- краткость записи чисел по сравнению с непозиционными системами счисления;

- возможность формального сведения арифметических действий над числами к действием над их отдельными цифрами, что позволяет легко реализовать алгоритмы арифметических действий в вычислительных устройствах.

Запись целого числа N в любой позиционной системе счисления с основанием n обозначает представление этого числа в виде суммы степеней основания данной системы с различными коэффициентами, меньшими n. Эти коэффициенты и являются цифрами в записи числа.

Таким образом, любое число N, записанное в системе счисления с основанием n

N = ( a _m a _{m - 1} a _{m - 2} … a ₀ , a_-1 a_-2 …a_-p )_n

может быть изображено виде суммы

a _m n ^m + a _{m - 1} n ^{m - 1} + … + a ₀ n ⁰ + a _-1 n ^{– 1} + … + a _{- p} n ^{– p} ,

где a _m a _{m – 1} … a ₀ - целая часть числа,

a _-1 a_-2 …a_-p - дробная часть,

a _m, a _{m – 1,} … , a_-p - цифры из набора 0, 1 …. n – 1.

Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления для изображения чисел используют цифры 0 и 1. Большинство элементов, на которых строится ЭВМ, имеет лишь два устойчивых состояния равновесия: одному из этих состояний равновесия присваивается значение цифры 1, а другому 0. Правила выполнения арифметических действий в этой системе чрезвычайно просты и легко реализуются в вычислительных машинах.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления используются для записи команд в коде машины. В восьмеричной системе счисления используется набор из восьми цифр 0,1,2,3,4,5,6,7. Число 8 в восьмеричной системе изображается как 10₈.

В шестнадцатеричной системе счисления для записи чисел используется шестнадцать цифр – десять обычных десятичных цифр и ещё шесть дополнительных обозначений в виде заглавных букв A, B, C, D, E, F.

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую можно кратко сформулировать в виде:

- при переводе целого числа из системы счисления с основанием а в систему счисления с основанием n необходимо число в системе счисления с основанием a разделить на основание n. Полученный остаток является младшей цифрой числа в системе с основанием n. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя;

- при переводе правильной дроби из системы счисления с основанием а в систему счисления с основанием n необходимо дробь в системе с основанием a умножить на основание n. Полученная целая часть произведения является старшим дробным разрядом числа в системе счисления с основанием n. Дробную часть уточняют до тех пор, пока не получат требуемое количество знаков после запятой.

Связь между восьмеричной и двоичной системами счисления осуществляется с помощью триад. Триада – это комбинация трех двоичных разрядов. Каждая цифра восьмеричного числа заменяется соответствующей триадой.

Пример. Число 164,72₈ запишем сразу в двоичной системе счисления 001 110 100, 111 010₂. Обратный переход производится разбиением числа на триады влево и вправо от запятой.

Аналогично каждая шестнадцатеричная цифра заменяется тетрадой – комбинацией четырех двоичных разрядов.

Пример. 1D, F₁₆ в двоичной системе будет 0001 1101, 1111₂. Обратный переход производится разбиением двоичного числа на тетрады с добавлением незначащих нулей до полных тетрад и заменой их на соответствующие шестнадцатеричные цифры.

Вопросы для самопроверки.

1. В чем отличие позиционной системы счисления от непозиционной?

2. Каковы способы перевода чисел из одной системы счисления в другую?

3. Двузначное десятичное число в сумме с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, дает полный квадрат. Найдите все такие числа.

4. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить через два знака влево, т.е. с этой цифрой будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите это число.

5. Было 11 яблок. После того, как каждое из них разрезали пополам, стало 110 половинок. В какой системе счисления вели счет?

6. В какой системе счисления верны следующие равенства:

а) 11:110 = 0,1; б) 12+22 =100; в) 70-1 = 68;

г) 1-0,1 = 0,1; д) 0,01+0,1 = 0,11 ?

7. Переведите следующие десятичные числа в двоичную систему счисления: 0,5; 0,625; 0,999; 0,125; 0,3; 0,02.

8. Произведите сложение следующих десятичных чисел в двоичной системе счисления: 44₁₀ и 81₁₀; 35₁₀ и 104₁₀; 77₁₀ и 15₁₀.

9. Почему при работе с компьютерами используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

10. Как выглядят таблицы сложения и умножения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

11. В восьмеричной системе счисления неправильной записью числа является …. 17770, 165481, 10101010, 1020304.

12. Вычислить сумму двух восьмеричных чисел 101₈ и 11₈ и перевести её в десятичную систему счисления.

13. Произведите умножение следующих восьмеричных чисел в двоичной системе счисления: 47₈ и 12₈; 37₈ и 24₈; 64₈ и 15₈.

14. Перевести число 111100,1₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

15. Переведите следующие двоичные числа в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления 101011₂; 111010011₂; 0,101₂; 111,11₂; 100,001₂.

16. Произведите сложение следующих шестнадцатеричных чисел:

7АВС₁₆ и Е9ОС₁₆; ЕЕЕ3₁₆ и САСАВ₁₆.

18. Какая цифра пропущена в уменьшаемом, если при вычитании из шестнадцатеричного числа В..С шестнадцатеричного числа ААА, получили шестнадцатеричное число 152?

4. Логические основы эвм

Электронная техника использует элементы, обладающие двумя устойчивыми состояниями, поэтому наиболее простой для реализации является двоичная арифметика, использующая всего две цифры: 0 и 1 для записи любого числа. С этим же связано и то, что математической основой вычислительной техники является алгебра высказываний. Высказывание – это предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждому верному высказыванию приписывают значение истинности 1 (истинно), каждому неверному высказыванию – значение истинности 0 (ложно).

Высказывания могут быть простыми и сложными. Простые соответствуют алгебраическим переменным, а сложные являются аналогом алгебраических функций. Функции могут получаться путем объединения переменных с помощью логических действий.

Самой простой логической операцией является операция НЕ (отрицание, дополнение или инверсия, обозначается NOT X или Х). Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента.

Логическое И (конъюнкция или логическое умножение, обозначается AND или ) имеет результат «истина» только в том случае, если оба её операнда истинны.

Операция ИЛИ (дизъюнкция, логическое сложение, обозначается OR или ) дает «истину», если значение «истина» имеет хотя бы один из операндов. Значения переменных для логических операций определяют таблицы истинности.

Таблица 1

Основные логические операции

Операции И, ИЛИ, НЕ образуют полную систему логических операций, из которой можно построить сколь угодно сложное логическое выражение. Тем не менее , на практике по технологическим причинам в качестве основного логического элемента используется элемент И – НЕ

Таблица 2

Операция И – НЕ

X	Y	NOT (X AND Y)
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 1 0

Можно проверить, что на базе элементов И – НЕ могут быть скомпонованы все базовые логические элементы (И, ИЛИ, НЕ), а значит, и любые другие, более сложные.