Материал: Импульсные и цифровые системы управления

Формулы (35) и (36) определяют значения выходного сигнала импульсной системы в дискретные моменты времени. Ординаты , естественно, не дают значений  внутри периода квантования. Поэтому, если необходимо определить значения  системы, приведенной на рис. 10 внутри периодов  при , можно использовать выражение

Здесь  - матрица и вектор из уравнения (4) непрерывной части данной дискретной системы.

Описанный рекуррентный метод может использоваться и для решения уравнений вход-выход дискретных систем. Соответствующие примеры приведены в [5, 25], поэтому здесь на этом мы останавливаться не будем.

Большим неудобством рассмотренного рекуррентного метода решения уравнений дискретных систем является то, что для получения любого, скажем, 10-го значения переменной  необходимо вычислить все девять предыдущих значений .

Поэтому для определения реакций дискретных систем при больших значениях  целесообразнее использовать метод z-преобра-зования. При этом может использоваться любая из приведенных выше моделей дискретной системы. Наиболее удобной из них является, конечно, уравнение вход-выход, записанное с помощью передаточной функции, т.е. равенство вида

. (38)

Подставляя в это выражение z-изображение  заданного воздействия  и передаточную функцию , получим z-изобра-жение искомой решетчатой функции.

Далее, как отмечалось выше, целесообразно вынести из числителя правой части z, а оставшуюся дробь разложить на сумму простейших дробей. Затем с помощью таблиц z-преобразования (см. приложение) найти оригинал - .

Пример 5. Найти реакцию системы (34) на линейное воздействие  при нулевых начальных условиях и .

Решение. Так как уравнения (34) записаны в канонической управляемой форме (26), (27) при , то в соответствии с выражением (24) ее уравнение вход-выход имеет вид

В соответствии с таблицей из приложения z-изображение заданного воздействия  при  определяется равенством

 (39)

Следовательно, в рассматриваемом случае

 (40)

Так как корни полинома  комплексные, то дробь в квадратных скобках представим сначала в виде суммы:

 (41)

Для определения коэффициентов  запишем, следуя [5. С.110-113], систему

Ее решение  позволяет представить равенство (41) следующим образом:

. (42)

Имея в виду 3, 4, 8 и 9-ю строки таблицы из приложения при

,

, ,

приведем равенство (42) к виду

 (43)

 (44)

Это равенство, очевидно, позволяет сразу найти реакцию системы (34) на воздействие  в любой момент времени , кратный периоду квантования Т=1.

Отметим, что z-преобразование может применяться и для решения уравнений дискретных систем в переменных состояния типа (15) [5. С. 148-149]. В этом случае получаются аналитические выражения типа (44) как для переменных состояния, так и для выходных величин системы. Несомненно, в этом случае объем получаемой информации об исследуемой системе значительно выше, чем при решении уравнений вход-выход.

6. Устойчивость дискретных систем

Необходимое и достаточное условие. Как и в непрерывном случае, устойчивость является важнейшим свойством дискретных систем. Исследование их устойчивости также осуществляется на основе характеристического уравнения. В общем случае оно определяется выражением (33) и имеет вид

. (45)

Здесь  - порядок системы,  - коэффициенты (обычно постоянные числа), . В соответствии с определением .

С другой стороны, условие устойчивости на плоскости комплексного переменного p, как известно, имеет вид

,

где  - корни характеристического уравнения исследуемой непрерывной системы. Соответствующие корни  характеристического уравнения (29) дискретной системы располагаются на комплексной плоскости  и равны

.

Как видно, реальная часть корней  характеристического уравнения влияет лишь на модуль корней на плоскости , так как

причем непрерывная система устойчива, если .

Отсюда следует, что на плоскости  условие устойчивости динамических систем имеет вид

. (46)

Геометрически это условие означает, что на комплексной плоскости z все корни характеристического уравнения (45) устойчивой дискретной системы располагаются в круге единичного радиуса (на рис. 13 этот круг заштрихован).

Пример 6. Исследовать устойчивость системы с характеристическим полиномом .

Решение. Корни заданного полинома, очевидно, равны . Их модули . Следовательно, рассматриваемая дискретная система является устойчивой.

Рис. 13

Критерий Шура-Кона. Для исследования устойчивости дискретных систем по коэффициентам характеристического уравнения (45) применяется специальный критерий, с помощью которого проверяется выполнимость условия (46). Этот критерий называется критерием Шура-Кона. Если некоторый полином (45) удовлетворяет этому критерию, то все его корни по модулю меньше единицы.

Для применения критерия Шура-Кона сначала необходимо из коэффициентов характеристического полинома (45) исследуемой системы составить табл. 2.

Таблица 2

Как видно, в первую строку таблицы Шура-Кона выписываются подряд коэффициенты заданного полинома, начиная с младшего. Во вторую строку вписываются те же коэффициенты, но в обратном порядке. Следующая строка вычисляется в соответствии с правилом заполнения третей и последующих строк таблицы Рауса (см. § 4.5). Затем полученные коэффициенты вписываются в следующую строку, но в обратном порядке. Далее описанный процесс повторяется до получения коэффициента .

После заполнения таблицы Шура-Кона применяется собственно критерий Шура-Кона, который формулируется следующим образом.

Критерий Шура-Кона. Если все коэффициенты , то дискретная система с заданным характеристическим полиномом (45) асимптотически устойчива.

Пример 7. Исследовать с помощью критерия Шура-Кона устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом .

Решение. Составим сначала таблицу Шура-Кона. Результаты вычислений для данного примера (табл. 3) свидетельствуют, что все . Следовательно, рассматриваемая система устойчива.

Таблица 3

Применение критерия Гурвица. Критерий Шура-Кона является численным критерием. Для решения же задач синтеза систем или для исследования влияния параметров на свойства систем целесообразно применять аналитические методы. К таким методам относится, например, критерий Гурвица. Однако для того, чтобы иметь возможность применить его к исследованию дискретных систем, необходимо сначала провести замену переменной в уравнении (45) по формуле

 (47)

где - комплексная переменная. Условие устойчивости на плоскости  имеет вид , что и позволяет применить к полиному относительно переменной  критерий Гурвица.

Критерий Гурвица. Если характеристический полином  преобразован к , и последний удовлетворяет критерию Гурвица, то дискретная система с данным полиномом  асимптотически устойчива. В противном случае она является неустойчивой.

Пример 8. Исследовать устойчивость дискретной системы с характеристическим полиномом .

Решение. Выполняя замену согласно (47), получим

.

Отсюда

Так как все коэффициенты полученного полинома положительные, а его степень равна двум, то по критерию Гурвица рассматриваемая дискретная система устойчива, т.е. корни её характеристического полинома удовлетворяют условию (46).

В частности, критерий Гурвица позволяет найти критические по устойчивости значения параметров дискретных систем.

7. Условия конечной длительности переходных процессов дискретных систем

Показатели качества дискретных (естественно, устойчивых) систем и методы их исследования практически полностью аналогичны случаю непрерывных систем. Это касается управляемости, наблюдаемости, астатизма, показателей качества в переходном и установившемся режимах. Поэтому методы исследования управляемости, наблюдаемости и определения показателей качества дискретных систем здесь не рассматриваются.

Рассмотрим лишь отличительные особенности переходных процессов и условий астатизма дискретных систем. Одной из них является существование дискретных систем с переходными процессами конечной длительности. В таких системах переходный процесс длится ровно n периодов квантования, где n - порядок системы.

Условия конечной длительности переходного процесса определяются следующей теоремой.

Теорема. Если знаменатель передаточной функции  дискретной системы по некоторому воздействию  равен , т.е.

 (48)

то переходный процесс данной системы по этому воздействию длится ровно n периодов квантования T по времени.

при  и нулевых начальных условиях.

Решение. Воспользуемся рекуррентным методом решения разностных уравнений. В данном случае это уравнение имеет вид

.

Разделим обе части уравнения на  и перейдем к оригиналам. В результате получим

.

Полагая последовательно в этом выражении , будем иметь

Как видно, в полном соответствии с условием (48), через три такта выходная переменная принимает установившееся значение 0.9, т.е. переходный процесс длится ровно три периода квантования по времени. При этом предыдущие значения выходной переменной не влияют на ее последующие значения ни при каком .

Условие (48) приведенной теоремы, при котором обеспечивается конечная длительность переходных процессов дискретных систем, часто применяется при создании систем управления с заданной длительностью времени регулирования.

Иногда такие системы называются оптимальными по быстродействию.

. Астатизм дискретных систем

Свойство астатизма дискретных систем, как отмечалось выше, аналогично свойству астатизма непрерывных систем. Однако имеется ряд особенностей, обусловленных квантованием переменных по времени.

Определение. Астатической называют дискретную систему, статическая ошибка которой равна нулю при всех , где  - время регулирования дискретной системы. В противном случае дискретную систему называют статической.

Приведенному определению удовлетворяют два типа дискретных систем. У систем первого типа ошибка при постоянном входном воздействии равна нулю как в моменты времени, кратные периоду квантования T, так и во все остальные. В то же время у астатических систем второго типа ошибка при постоянном входном воздействии равна нулю только в моменты времени, кратные периоду квантования T, а во все остальные моменты ошибка не является нулевой.

Эти свойства дискретных систем связаны с различными способами обеспечения математических условий астатизма, которые присущи дискретным системам.

Астатические дискретные системы могут иметь астатизм различных порядков. Свойство астатизма и его порядок в случае дискретных систем, как и в непрерывном случае, можно оценивать либо по заданной структурной схеме, либо по передаточной функции по ошибке , либо по передаточной функции системы в разомкнутом состоянии , либо по передаточной функции системы в замкнутом состоянии .

Признаки астатизма дискретных систем по . Изображение сигнала ошибки, вызванной, например, воздействием , можно записать следующим образом:

, (49)

где - передаточная функция системы по ошибке, вызванной воздействием .

Подчеркнем, что ошибки систем определяются лишь для устойчивых систем управления, поэтому знаменатель передаточной функции  всегда не содержит полюсов по модулю больших или равных единице.

Так как свойство астатизма определяется величиной статической ошибки, т.е. при постоянном воздействии, то можно полагать, что

. (50)

Поэтому из (49) и (50) выводим

. (51)

Из этого равенства и свойств z-преобразования следует вывод: для того, чтобы вызванная воздействием  ошибка дискретной системы не содержала постоянной составляющей, достаточно, чтобы соответствующая передаточная функция по ошибке  содержала в качестве множителя двучлен , т.е.

, (52)

где  - некоторая дробь, соответствующая устойчивой дискретной системе (т.е. не имеющая полюсов по модулю больших и равных единице).

При выполнении условия (52) из (51) выводим

.

Применяя к этому выражению теорему о предельном значении [5. С. 142], получим с учетом указанного выше свойства полюсов :

.

Итак, если условие (52) выполнено, то дискретная система является астатической. Поэтому равенство (52) является выраженным через передаточную функцию по ошибке признаком астатизма дискретных систем по некоторому воздействию .

Признаки астатизма дискретных систем по . Формы данных признаков зависят от типа системы, от вида обратной связи и от того является ли рассматриваемое воздействие задающим или возмущающим. Рассмотрим здесь случаи, когда система является системой стабилизации, программного управления или следящей, а обратная связь является единичной и отрицательной, т. е. те случаи, когда передаточная функция по ошибке, обусловленной задающим воздействием , определяется выражением

, (53)

а передаточная функция по ошибке, обусловленной возмущением , выражением

,

где  - передаточная функция разомкнутой дискретной системы со входа  на выход .

Нетрудно видеть, что в этом случае по отношению к задающему воздействию  условие (52) выполняется, если

, (54)

где - некоторые полиномы, причем .

Приведенное выражение (54) является выраженным через передаточную функцию  признаком астатизма дискретных систем по задающему воздействию .

В случае импульсных систем передаточная функция  будет иметь вид (54), если приведенная непрерывная часть системы содержит хотя бы один чистый интегратор. В этом случае её структурную схему можно представить, как показано на рис.

В установившемся режиме ошибка таких систем, вызванная постоянным задающим воздействием (т.е. вынужденная составляющая ошибки ), будет равна нулю (рис. 15) во все моменты времени как кратные периоду квантования T , так и нет.

Рис. 14

Условие (54) можно выполнить и при отсутствии интегратора в непрерывной части системы, включив операцию суммирования в алгоритм работы ЦВМ, вычисляющей управляющее воздействие в каждом периоде квантования. Однако в этом случае ошибка  только при , а при  ошибка системы .

Рис.15

При включении операции суммирования в алгоритм работы ЦВМ для оценки реальной ошибки системы управления непрерывным объектом необходимо в обязательном порядке проводить моделирование системы. При этом непрерывная часть может моделироваться либо непрерывными моделирующими установками, либо с помощью ЦВМ, но путем интегрирования непрерывных дифференциальных уравнений объекта. Дискретная часть системы может моделироваться по разностным уравнениям.

По отношению к возмущениям , приложенным к непрерывной части дискретной системы, условия астатизма имеют тот же вид, что и в непрерывном случае: непрерывная часть дискретной системы между своим входом и точкой приложения возмущения  должна содержать чистый интегратор.

Признаки астатизма дискретных систем по . Ограничимся здесь случаем задающего воздействия и предположим, что передаточная функция некоторой устойчивой дискретной системы по этому воздействию представлена в виде

. (55)

Условие астатизма рассматриваемой системы по задающему воздействию имеет вид

. (56)

Данное условие автоматически выполняется при наличии интегратора в непрерывной части системы и отрицательной единичной обратной связи, как показано на рис.

Если же непрерывная часть не содержит интегратора, то условие (56) может быть реализовано либо путем введения интегратора в непрерывную часть, либо путем введения сумматора в дискретную часть системы. В зависимости от принятого способа реализации условия (56) сигнал ошибки системы будет обладать указанными выше свойствами.

Условие астатизма -го порядка. Система обладает астатизмом -го порядка по отношению к некоторому полиномиальному воздействию, если её ошибка, вызванная этим воздействием степени  [5. С. 71], равна нулю, а ошибка, вызванная полиномиальным воздействием степени , не равна нулю, но постоянна по величине.

Приведенное выше определение астатической системы, очевидно, соответствует случаю астатизма первого порядка, а определение статической системы - случаю астатизма нулевого порядка.

Полностью повторяя рассуждения и выкладки, проведенные при выводе условия (52), можно установить, что условие астатизма -го порядка в случае дискретных систем управления имеет вид

, (57)

где - также некоторая рациональная дробь, знаменатель которой имеет нули по модулю строго меньшие единицы.

Условие (57) также может быть обеспечено либо введением  чистых интеграторов в непрерывную часть системы, либо путем введения  сумматоров в дискретную часть системы, либо различной комбинацией тех и других элементов. При этом ошибка системы, вызванная полиномиальным воздействием -ой степени, будет постоянной, а воздействием (-1)-ой степени и ниже - нулевой. В зависимости от способа реализации условия (57) ошибка системы будет нулевой или постоянной либо во все моменты (если в системе имеется  чистых интеграторов), либо только в дискретные моменты времени в противном случае.

Литература

Математика для экономистов: Линейная алгебра. Задачи и упражнения.. - М.: Эксмо, 2006

Ж.А. Черняк, А.А. Черняк, О.А. Феденя и др.; под общ. ред. Ж.А. Черняк: Контрольные задания по общему курсу высшей математики. - СПб.: Питер, 2006

Икрамов Х.Д.: Задачник по линейной алгебре. - СПб.: Лань, 2006

Кундышева Е.С.: Математика. - М.: Дашков и К, 2006

Под общ. ред. Ж.А. Черняк, А.А.Черняк.: Контрольные задания по общему курсу высшей математики. - СПб: Питер, 2006

под ред. Н.Ш. Кремера ; рец.: Каф. математики Финансовой акад. при Правительстве РФ, В.З. Партон: Высшая математика для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006

Федеральное агентство по образованию, БелГУ; под ред. Е.В. Головановой; рец.: С.А. Гриценко, Н.И. Москаленко: Практикум по математике. - Белгород: БелГУ, 2006

Шипачев В.С.: Задачник по высшей математике . - М.: Высшая школа, 2006

Ефимов Н.В.: Линейная алгебра и многомерная геометрия. - М.: Физматлит, 2005

Ильин В.А.: Линейная алгебра. - М.: Физматлит, 2005

Кетков Ю.Л.: MATLAB 7: программирование, численные методы. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005

Клименко Ю.И.: Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи. - М.: Экзамен, 2005

Красс М.С.: Математика для экономистов. - СПб.: Питер, 2005

Литвинов А.Л.: Математика. - Белгород: БелГУ, 2005

Под ред. В.И. Ермакова: Сборник задач по высшей математике для экономистов. - М.: ИНФРА-М, 2005

Проскуряков И.В.: Сборник задач по линейной алгебре. - М.: БИНОМ, 2005

Артин Э.: Теория Галуа. - М.: МЦНМО, 2004

Беклемишева Л.А.: Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Физматлит, 2004

Виленкин И.В.: Высшая математика. - Ростов н/Д: Феникс, 2004

Волков Е.А.: Численные методы. - СПб.: Лань, 2004

Воронов М.В.: Высшая математика для экономистов и менеджеров. - Ростов н/Д: Феникс, 2004