Материал: Импульсные и цифровые системы управления

, кроме квантования по времени, осуществляет и квантование по уровню. Величина кванта по уровню определяется числом разрядов . В настоящее время  имеют 8 - 10 разрядов и выше, поэтому на первой стадии анализа цифровых систем квантованием по уровню обычно пренебрегают.

Кроме того, и АЦП, и ЦАП, и УВМ требуют некоторого времени для обработки поступающих переменных, поэтому цифровые элементы всегда вносят некоторое запаздывание по времени. Если запаздывание мало по сравнению с периодом следования импульсов (менее 0,1Т), то им обычно пренебрегают. Если же запаздывание соизмеримо с периодом Т, то его необходимо учитывать при исследовании цифровых систем.

Рис. 7

Как видно из приведенных выше примеров, в большинстве случаев структурную схему импульсной системы в разомкнутом состоянии можно представить, как показано на рис. 8.

. Уравнения импульсной системы

С помощью структурной схемы, приведенной на рис. 8, можно получить различные уравнения импульсной системы, используя уравнения импульсного элемента и непрерывной части, представленные в той или иной форме.

Предположим,  формирует прямоугольные импульсы длительностью  с различной амплитудой. График его выходного сигнала  для этого случая приведен на рис. 9.

Рис. 8

Аналитически зависимость, представленную на рис. 9, можно описать следующими выражениями:

 (3)

где - коэффициент передачи .

Рис. 9

Предположим, что непрерывная часть () (см. рис. 8) задана своими уравнениями в переменных состояния

, (4)

. (5)

Обратим внимание, что в импульсных системах всегда отсутствует прямая связь между входной переменной  непрерывной части и её выходной переменной . Поэтому в уравнении (5) отсутствует переменная .

Кроме того, в импульсных системах (см. рис. 8) связь между входной переменной  и выходной непрерывной переменной  является нелинейной. Поэтому чаще всего здесь рассматривается связь между дискретными значениями  управления , дискретными значениями  выходной переменной  и соответствующими значениями переменных состояния НЧ.

Для вывода уравнений импульсной системы (см. рис. 8) воспользуемся формулой Коши. На основе уравнения (4) можно записать равенство

. (6)

Положим в (6) , ,  и проведём замену переменных. В результате будем иметь

.

В соответствии с уравнениями (3) импульсного элемента величина  на интервале от  до  равна нулю, а в интервале от  до  равна . Поэтому

Отсюда следует равенство

. (7)

Здесь обозначено . Выражения (7) и (5) можно записать следующим образом:

, (8)

, (9)

Где

. (10)

Если матрица  является неособенной, т.е. , то интеграл в (10) можно взять в символьной форме. В результате получим

. (11)

Если же матрица  является особенной, т.е. , то интеграл в (10) необходимо вычислять путем интегрирования каждого элемента подынтегральной матрицы в отдельности.

Выражения (8), (9) являются разностными уравнениями импульсной системы в разомкнутом состоянии. Эти уравнения связывают лишь дискретные значения переменных состояния с дискретными же значениями входной переменной  и выходной переменной  рассматриваемой системы (см. рис. 8). Можно ввести в эти уравнения и первые разности, т. е. величины - убывающую разность, или же - восходящую разность.

Для вывода уравнений замкнутой системы, структурная схема которой показана на рис. 10, необходимо в уравнении (8) заменить  на  и учесть, что .

В результате, принимая во внимание уравнение (9), получим

Или

 ,

,  (12)

где

.  (13)

Выражения (12) являются разностными уравнениями в переменных состояния замкнутой импульсной или дискретной системы.

Рис. 10

Таким образом, и импульсные, и дискретные системы описываются разностными уравнениями типа (12), (13), решениями которых являются решетчатые функции. Последние и представляют дискретные значения переменных системы.

Поэтому, когда говорят о дискретных системах, то имеют в виду и импульсные и дискретные системы.

Пример 1. Найти уравнения импульсной системы, структурная схема которой приведена на рис. 10. Импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы с параметрами , . Его коэффициент передачи . Непрерывная часть описывается уравнениями:

.

Решение. В данном случае матрица A является диагональной, поэтому в соответствии с выражениями (8) - (11) имеем

,,

, ,

.

Итак, уравнения системы в разомкнутом состоянии имеют вид

.

Перейдем к выводу уравнений системы в замкнутом состоянии. По формулам (12) и (13) находим:

Следовательно, в замкнутом состоянии рассматриваемая система описывается уравнениями:

Заметим, что вектор с в полученном уравнении выхода совпадает с аналогичным вектором непрерывной части системы.

Уравнения вход-выход дискретных систем. Преобразование Лапласа над решетчатыми функциями, которые в соответствии с полученными выше уравнениями описывают поведение дискретных систем, называется дискретным преобразованием Лапласа или z-преобразованием [5, 12]. Результат z-преобразования решетчатой функции, как и в случае непрерывного преобразования Лапласа, называется изображением, а сама решетчатая функция - оригиналом.

Для наиболее распространенных функций z-преобразования приведены ниже в приложении, а также в книгах [5, 15] и многих других. Для существования z-преобразования решетчатая функция должна быть равна нулю при отрицательном значении аргумента, а при  расти не быстрее экспоненты.

Укажем некоторые свойства z-преобразования [5]. Пусть  результат z-преобразования некоторой функции , т. е.

.

Тогда справедливы соотношения

,

,

. (14)

Соотношения (14) применяются для определения реакции замкнутых систем на заданные воздействия, если известны z-изображения последних. Z-преобразование позволяет ввести, как и в непрерывном случае, передаточные функции импульсных систем.

Если воспользоваться соотношениями (14) и преобразовать уравнения (12) при нулевых начальных условиях, то будем иметь

, .

Отсюда 

,

.  (15)

Применяя правила обратного z-преобразования [5] к правым частям равенств (15), можно найти оригиналы  и  при заданном . Это позволяет получить аналитические выражения, которые определяют значения  и  для любого значения .

Замечание. При взятии обратного z-преобразования от изображения в виде рациональной дроби на сумму простейших дробей разлагается не само z-изображение искомой функции, а сначала из числителя z-изображения выносится переменная . Оставшаяся рациональная дробь разлагается обычным путем на сумму простейших дробей. Эта особенность связана с тем, что z-изображения всегда имеют множитель  в числителе.

Из второго соотношения (15) вытекает формула для определения передаточной функции замкнутой дискретной системы (12):

,

Или

.  (16)

Таким образом, передаточные функции импульсных систем, как и передаточные функции непрерывных систем, являются отношением полиномов, но от переменной . При этом степень числителя также не может превышать степень знаменателя.

Если z-преобразованию подвергнуть уравнения системы в разомкнутом состоянии (12), то можно получить передаточную функцию  импульсной системы в разомкнутом состоянии, тоже как отношение полиномов от z. При этом передаточная функция импульсной системы в замкнутом состоянии при отрицательной единичной обратной связи определяется по обычной формуле, т. е. если

, то . (17)

Отметим в заключение этого параграфа, что приведенные соотношения (10), (11), (13), (16) и (17) позволяют найти модели импульсной системы по уравнению импульсного элемента (2) и уравнениям в переменных состояния непрерывной части.

. Определение уравнений дискретных систем по передаточной функции приведенной непрерывной части

Очень часто дискретная или импульсная система (см. рис. 10) с АИМ задаётся параметрами импульсов  и передаточной функцией  непрерывной части. В этом случае модель дискретной системы в форме разностных уравнений (12) или в форме дискретной передаточной функции  (17) можно найти двумя способами.

Первый способ заключается в том, что сначала от заданной  переходят любым из известных способов [5] к уравнениям непрерывной части в переменных состояния (4), (5), а затем применяют приведенные выше соотношения (10) и (17).

Другой способ заключается в определении  непосредственно по  [25]. В этом случае имеющийся в системе (рис. 10) импульсный элемент (ИЭ) заменяется последовательно соединенными ключом К, работающим с периодом , и формирующим элементом (ФЭ) (рис. 11). При этом импульсная переходная характеристика  формирующего элемента совпадает с функцией, описывающей форму исходного (единичного) импульса. Поэтому передаточная функция  формирующего элемента определяется выражением

, (18)

где - функция, описывающая единичный импульс реального импульсного элемента; - непрерывное преобразование Лапласа.