Материал: Импульсные и цифровые системы управления

Например, если указанный импульс является прямоугольным и имеет длительность , то функция . Поэтому по формуле (18) для случая прямоугольных импульсов имеем

 (19)

Отметим, что если выходными сигналами импульсного элемента являются -импульсы, то в соответствии с (18)  [5].

Рис. 11

Указанное представление реального импульсного элемента позволяет представить структурную схему импульсной системы (см. рис. 10) в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 11. На этом рисунке обозначено

, (20)

причем совокупность непрерывной части и формирующего элемента называется приведенной непрерывной частью.

Дискретная передаточная функция  этой системы определяется выражением

. (21)

Для взятия z-преобразования здесь удобнее всего разложить  на простейшие дроби, а затем заменить эти дроби их z-изображениями (например, взятыми из таблиц).

Рассмотрим этот способ определения  на конкретном примере.

Пример 2. Пусть , а импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы длительностью , где число . Найти передаточную функцию  импульсной системы в разомкнутом и замкнутом состоянии, если обратная связь единичная и отрицательная.

Решение. Так как импульсы прямоугольные, то согласно (19) и (20), имеем

Представим эту функцию следующим образом:

-преобразования обычных и запаздывающих дробей определим с помощью таблицы, приведенной в приложении. В данном случае имеют место соответствия:

где .

Умножая найденные z-изображения на соответствующие коэффициенты из разложения  и суммируя, получим искомую передаточную функцию

 (22)

Здесь , , .

Так как в рассматриваемой системе обратная связь единичная и отрицательная, т.е. , то по формуле (17) с учетом (22) найдем

 (23)

Теперь для получения уравнений дискретной системы в переменных состояния достаточно перейти от найденной передаточной функции  к этим уравнениям.

Рассмотрим один из возможных алгоритмов перехода от передаточной функции дискретной системы к её уравнениям в переменных состояния. При этом, как и в непрерывном случае, если система имеет один вход и один выход, то возможно применение соотношений, соответствующих как канонической наблюдаемой форме, так и канонической управляемой форме. Если же дискретная система имеет несколько входов и (или) выходов, то при выборе соответствующих соотношений целесообразно руководствоваться рекомендациями, изложенными в [5. С. 86 - 92].

Предположим, найдена некоторая передаточная функция дискретной системы (с одним входом и одним выходом):

. (24)

Алгоритм перехода к соответствующим уравнениям в переменных состояния включает следующие шаги [5]:

1.      Делим числитель и знаменатель в (24) на коэффициент . Получим

2.      Если степень числителя в (24) меньше степени знаменателя, то переходим к п.3 алгоритма. В противном случае выделяем целую часть. В результате будем иметь

 (25)

где , .

3.      Записываем уравнение в переменных состояния либо в виде

 (26)

 (27)

либо в виде

 (28)

  (29)

Подчеркнем, что с точки зрения полноты описания дискретной системы, которая задана лишь своей передаточной функцией (24), обе формы уравнений (26), (27) и (28), (29) - равноценны. Причем уравнения (26), (27) являются канонической управляемой, а уравнения (28), (29) - канонической наблюдаемой формой модели дискретной системы с одним входом и одним выходом.

Пример 3. Найти уравнения в переменных состояния замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 2.

Решение. Передаточная функция системы в замкнутом состоянии имеет вид (23), где , и, в общем случае, . Поэтому, прежде всего, в соответствии с алгоритмом перехода, разделим числитель и знаменатель (23) на . В результате получим

 (30)

Это и есть уравнения в переменных состояния замкнутой импульсной системы, рассмотренной в примере 2.

Отметим в заключение этого раздела, что квантование по времени в импульсных или дискретных системах не всегда необходимо учитывать. Оказывается, если частота квантования по времени  достаточно высока, то квантованием по времени можно пренебречь.

Действительно, так как согласно (21),  - это z-преобразование , то заменяя  на , можно установить [см. 25], что на интервале частот от  до  выполняется приближенное равенство

  (31)

Если

 (32)

Здесь T - период следования импульсов,  - граничная частота АЧХ приведенной непрерывной части импульсной системы.

Граничная частота  - это такая частота, что при всех  АЧХ .

На рис. 12 показан процесс образования  из АЧХ  приведенной непрерывной части. Здесь кривая 1 на интервале частот от  до  является АЧХ приведенной непрерывной части. Кривая, помеченная цифрами 2, является амплитудно-частотной характеристикой  импульсной системы при , а кривая, помеченная цифрами 3, та же характеристика, но при  (при условии, что ). Как видно,  является периодической по частоте  функцией.

При этом, если условие (32) выполняется и , то частотная характеристика импульсной системы  представляет собой повторяющуюся с периодом  АЧХ приведенной непрерывной части. Причем на интервале частот от  до  эта характеристика  совпадает с частотной характеристикой  приведенной непрерывной части. Другими словами, если условие (32) выполняется, то квантование сигнала сказывается (при ) лишь на амплитуде выходного сигнала системы в разомкнутом состоянии, т.е. в этом случае импульсную систему можно рассматривать как непрерывную.

Рис. 12

дискретный импульсный цифровой астатизм

Неравенство (32) является основным условием известной теоремы Котельникова [25]. Поэтому часто говорят, что если период квантования импульсной системы удовлетворяет условиям теоремы Котельникова, то такую импульсную систему можно рассматривать как непрерывную с передаточной функцией .

Если же условие (32) не выполняется, то АЧХ дискретной системы (кривая 3 на рис. 12) на интервале частот от  до  существенно отличается от АЧХ приведенной непрерывной части. Следовательно, в этом случае квантование по времени переменных существенно сказывается на характере процессов системы и её необходимо анализировать как дискретную систему.

В дальнейшем будем предполагать, что условие (32) не выполняется, т.е. рассматриваемые системы должны исследоваться как дискретные.

Замечание. Если непрерывная часть системы полная, то степень знаменателя передаточной функции  (21) должна быть равна степени знаменателя  или размеру матрицы  уравнений в переменных состояния (4) непрерывной части (т.е. без учета импульсного элемента). В этом случае характеристический полином замкнутой системы

  (33)

где матрица А определяется выражениями (13), (23) или (25), а передаточная функция  - выражением (17) или другим эквивалентным ему.

Другими словами, если непрерывная часть системы полная, то характеристический полином замкнутой системы может быть найден как знаменатель любой передаточной функции исследуемой дискретной системы в замкнутом состоянии. Если же непрерывная часть импульсной системы не полная, то характеристический полином соответствующей дискретной системы может быть найден только по уравнениям в переменных состояния как .

Итак, математическая модель дискретной системы, как и непрерывной, может быть представлена либо в виде уравнений в переменных состояния (12), (26), (27), (28), (29), или же в виде уравнений вход-выход (15), или передаточных функций (17), (22) в разомкнутом или (17), (23) в замкнутом состоянии.

. Решение уравнений дискретных систем

Решения уравнений дискретных систем необходимы для исследования реакций этих систем на различные внешние воздействия при определенных начальных условиях.

Уравнения (12) или (30), по сути дела, являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют вычислить последовательно, рекуррентно значения как переменных состояния, так и выходной величины, соответствующие моментам времени . Рассмотрим эту возможность на численном примере. Пример 4. Найти  при  системы, уравнения которой имеют вид

  (34)

Вектор начальных условий , а входное воздействие является единичной ступенчатой функцией, т.е. .

Решение. Полагая в (34) , получим

 ,

так как . Аналогично при  найдем , а

 .

Далее при k=2, g₂=1, по-прежнему, а

 .

Наконец, . Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго, что позволяет найти значения  и  при любых целых .

Если описанный в примере 4 процесс осуществить в символьной форме, то из (12) получим следующую последовательность:

Или

Обобщая эти выражения, найдем следующие соотношения:

 (35)

 (36)