Контрольная работа: Идеальные системы

Вводя безразмерную переменную интегрирования, и интегрируя по частям, получим:

.

Стоящий здесь интеграл равен π4/15. Таким образом:

,

где - постоянная Стефана-Больцмана

Энтропия черного излучения равна

.

Полная энергия излучения

идеальный газ квантовый гравитационный

.

Это выражение можно получить и интегрированием (**). Оно представляет собой обоснование закона Больцмана - полная энергия излучения ~T4 .

Найдем теплоемкость излучения

.

Давление черного излучения:

.

Видим, что давление не зависит от V (при изотермическом сжатии давление не меняется), что является следствием переменности числа частиц. Из этого выражения можно получить

.

Полное число фотонов в черном излучении

.

Статистический вывод закона Стефана-Больцмана

Этот закон был открыт Стефаном (австрия) экспериментально в 1879 году путем измерения теплоотдачи платиновой проволоки. Теоретическое обоснование этог закона было дано учеником Стефана Больцманом в 1884 году на основе следствий теории электромагнитного поля Максвелла.

Рассмотрим излучение фотонов с поверхности абсолютно черного тела. Найдем сначала распределение вылетающих фотонов по углам. Пусть частицы вылетают из точки А (рис.). Выделим сферу радиуса R с центром в этой точке. В равновесии все направления полета фотонов равновероятны. Это означает, что вероятность для фотона попасть в какую-либо часть полусферы будет равна отношению:

,

где dS - элементарная площадка на полусфере, а в знаменателе стоит площадь полусферы.

Выделим элементарную площадку для фотонов, угол отклонения которых от вертикали находится в интервале (Θ, Θ+dΘ):

,

где dl - элемент дуги окружности.

Имея в виду, что

,

а так же то, что

,

получим:

,

.

Это и есть функция распределения вылетающих фотонов по углам. Легко убедиться в том, что она нормирована. Таким образом, можно сделать вывод о том, что фотоны вылетают главным образом с большими углами от вертикали.

Найдем плотность потока энергии излучения - количество энергии, излучаемой в секунду с единицы поверхности.

Выделим вблизи поверхности, площадью S малый объем высотой cdt и найдем, сколько энергии из этого объема упадет на стенку.

В этом объеме заключена энергия:

.

Однако на стенку попадет только часть этой энергии. Во-первых, нас будут интересовать только фотоны, имеющие положительную составляющую скорости по оси x (их ровно половина). С другой стороны, на основе распределения фотонов по углам можно записать:

.

Здесь cosΘ появляется в результате проецирования скорости на ось x.

Введем плотность потока энергии:

.

Таким образом, для плотности потока энергии получим:

.

Интегрируя по углам, получим:

.

,

то окончательно получаем Закон Стефана-Больцмана:

.

7. Связь квантовых и классических распределений Гиббса

Для перехода от квантовых распределений к классическим распределениям надо заменить суммирование по всем возможным микросостояниям квантовой макроскопической системы интегрированием в многомерном фазовом пространстве. Чтобы осуществить такой переход надо определить элементарную ячейку в фазовом пространстве.

Рассмотрим движение одной частицы в потенциальном поле. Каждое состояние в этом случае характеризуется набором трех квантовых чисел: . При этом каждому состоянию в трехмерном фазовом пространстве отвечает объем , т.к. ввиду соотношения неопределенностей  точнее положение точки определить нельзя. Таким образом, на одну степень свободы приходится объем .

В квантовой теории показано, что в произвольной системе с N степенями свободы (при рассмотрении только поступательных степеней свободы) при переходе к классическому приближению в качестве элементарной ячейки надо использовать .

Поэтому заменим суммирование по квантовым числам интегрированием по фазовому пространству:  (движение атома как целого).

Штрих означает, что интегрирование проводится не по всему фазовому пространству, а лишь по тем его областям, которые соответствуют физически различимым состояниям.

В классической системе одинаковых частиц они считаются различимыми, то есть их можно перенумеровать и проследить за их траекториями. В квантовой механике показано, что частицы являются тождественными (неразличимыми), а проследить за траекториями частиц невозможно. То есть если рассмотреть возможные варианты распределения, например, трех частиц по трем ячейкам, то в классической механике состояния, отвечающие разным номерам частиц, считаются разными, а в квантовой механике все они представляют собой одно состояние.

Рис.1

При вычислении статистического интеграла удобно распространить интегрирование на всю область фазового пространства. При этом состояния, отличающиеся лишь перестановкой частиц (неразличимых в квантовой механике) будут учитываться N! раз. Поэтому разделим статистический интеграл на N!. Это означает, что условием перехода к классической статистической теории будет замена:

,

а статистическая сумма примет вид

.

Заметим, что это выражение безразмерно (в отличие от ранее полученного в классической статистической физике).

Тогда можно ввести безразмерную функцию распределения в классической теории

.

Условие её нормировки:

.

Во многих случаях (например, для нахождения уравнений состояний) это различие на  не является существенным. Однако, при расчете энтропии оно оказывается принципиальным.

Решение парадокса Гиббса.

Воспользуемся формулой Стирлинга для больших величин N:

.

При подстановке этого выражения в энтропии газов, получим, что парадокса Гиббса не возникает. То есть учет тождественности частиц в квантовой теории позволяет устранить противоречия в классических выражениях для термодинамических функций. Таким же образом можно найти и все остальные термодинамические функции.

8. Двухатомный газ с молекулами из различных атомов. Вращение молекул

Будем рассматривать теперь идеальные газы с учетом внутренней структуры их молекул. Наиболее простой случай представляет собой двухатомный газ. Двухатомный газ можно рассматривать как таковой только при условии малости kТ по сравнению с энергией диссоциации молекул. В таблице приведены характерные температуры, соответствующие диссоциации некоторых молекул.

Наиболее важный практический случай - когда в своем нормальном электронном состоянии молекула газа не имеет ни спина, ни орбитального момента вращения относительно оси (нет тонкой структуры). Следует различать случаи молекул, составленных из разных атомов (изотопы) и молекул, составленных из одинаковых атомов. Будем считать, что атомы разные (не тождественные).

Уровень энергии двухатомной молекулы складывается в известном приближении из трех независимых частей - электронной энергии (энергии кулоновского взаимодействия ядер в их равновесном положении, отсчитываемой от суммы энергий разведенных атомов); вращательной энергии и энергии колебания ядер внутри молекулы. Эти уровни могут быть записаны в следующем виде:

.

При классическом вращении энергия имеет вид

,

но из квантовой механики следует, что L2 квантуется.

Здесь ε0-электронная энергия,  - колебательный квант, v - колебательное квантовое число, К - вращательное квантовое число;
 I = m’r02 - момент инерции молекулы, m’ - приведенная масса обоих атомов, r0 - равновесное состояние между атомами.

При подстановке этого выражения в статическую сумму, последняя распадается на три независимых множителя:

,

где вращательная и колебательная суммы определяются как

,

,

причем множитель 2К+1 в zвр учитывает вырождение вращательных уровней по направлениям момента импульса L. Соответственно, свободная энергия представится как:

(m=m1+m2) - масса молекулы. Первый член можно назвать поступательной частью Fпос (поскольку он связан со степенями свободы поступательного движения молекул), а

, .

Поступательная теплоемкость, приходящаяся на одну молекулу, равна cпос=3/2 k. Полная теплоемкость газа записывается в виде суммы

= cпос+ cвр + cкол;               cр= cпос+ cвр + cкол + k,

каждое слагаемое которой связано с тепловым возбуждением соответственно поступательного, вращательного и колебательного движений.

Вычислим вращательную свободную энергию.

Рассмотрим случай, когда температура настолько высока, что

.

Это означает, что вращательный квант  мал по сравнению с тепловой энергией kТ. В таблице представлены величины  для некоторых двухатомных молекул.

В этом случае в сумме Zвр основную роль играют члены с большими числами К. Но при больших значениях К вращение молекулы квазиклассично. Поэтому в этом случае статистическая сумма Zвр может быть замечена соответствующим классическим интегралом по К:

.

Отсюда свободная энергия

.

Таким образом при рассматриваемых не слишком низких Т вращательная часть теплоемкости оказывается равной k (в соответствии с общим результатом классического рассмотрения по k/2 на каждую степень свободы):

, , ,

.

Мы увидим ниже, что существует значительная область температур, в которой выполнено условие  и в то же время колебательная часть свободной энергии, а значит и колебательная часть теплоемкости отсутствуют. В этой области теплоемкость двухатомного газа, приходящаяся на одну молекулу, равна

, .

Рассмотрим теперь обратный предельный случай низких температур, когда

.

В этом случае достаточно сохранить две первых члена суммы, поскольку именно они будут вносить наибольший вклад.

.

В этом приближении свободная энергия будет равна

.

Отсюда энтропия:

и теплоемкость

.

Таким образом, вращательная энтропия и теплоемкость газа при T ® 0 обращаются в ноль в основном по экспоненциальному закону. При низких температурах, следовательно, двухатомный газ ведет себя как одноатомный (говорят, что в этом случае вращательные степени свободы «заморожены»).