Контрольная работа: Идеальные системы
Пусть
и 
-
единичные векторы вдоль направления касательных к нити в двух ее точках (точки a и b),
разделенных участком длины s. Обозначим через 
угол
между этими касательными, т.е.
.
Рассмотрим
сначала случай такого слабого изгиба, при котором угол 
мал даже для удаленных точек. Проведем две плоскости,
проходящие через и две главные оси тензора 
в нормальной (в точке a) плоскости.
При малых значениях квадрат угла 
может
быть представлен в виде
, (127.3)
где
и 
- углы
поворота вектора относительно вектора в
указанных двух плоскостях. Компоненты вектора кривизны связаны с функциями 
и 
соотношениями
, 
,
и
изменение свободной энергии при изгибе молекулы принимает вид
. (127.4)
При
вычислении вероятности флуктуации с заданным значением 
= и 
= при некотором определенном l надо
рассмотреть наиболее полное равновесие, возможное при этих значениях и . Другими
словами, надо определить наименьшее значение свободной энергии, возможное при
заданных и . Но
интеграл вида
при
заданных значениях функции 
на обоих
пределах 
имеет минимальное значение, если 
меняется по линейному закону. Покажем это. Задача
минимизации интеграла относится к классу задач вариационного счисления. Если
проводить аналогию с механикой, то выражение под интегралом есть функция
Лагранжа, а s играет роль времени. Тогда запишем уравнение:
.
Откуда
получим:
.
Решением
этого уравнения является линейная функция, которая при учете граничных условий
принимает вид:
.
В
результате интегрирования получим
.
При
изотермическом процессе способность совершать работу характеризуется свободной
энергией, следовательно, вероятность флуктуации в данном случае можно записать
в виде
.
В
таком случае для средних квадратов обоих углов получаем
, 
Средний
же квадрат интересующего нас угла 
равен
. («)
Как
и следовало ожидать, в этом приближении он оказывается пропорциональным длине
отрезка молекулы между двумя рассматриваемыми точками. В выражении («) можно
выделить величину с размерностью длины:
,
где
, 
.
Из выражения для свободной энергии легко видеть, что l имеет размерность длины.
.
Можно
показать, что при достаточно больших величинах s среднее
значение быстро убывает с ростом s и равно
.
Проанализируем
это выражение. Рассмотрим короткий по сравнению с l участок цепи.
При s << l 
, т.е. угол флуктуирует около нуля, а концы короткого
по сравнению с l участка почти параллельны. В противоположном случае
угол принимает почти любое значение, а память о направлении цепи на длине,
намного большей l отсутствует.
Величина
l называется персистентной длиной (от слова «стойкий»),
или такой минимальной длиной участка, который способен сопротивляться изгибу.
Поскольку память о направлении распространяется по обе стороны по цепи, то
легко понять, что длина сегмента Куна должны примерно в два раза превышать
персистентную длину l.
.
Высокоэластичность полимеров с точки зрения статистической физики
Как известно, некоторые полимеры (резина, каучук) обладают свойством высокой эластичности, т.е. способностью к большим обратимым относительным деформациям (для резины - до 8 раз). Оказалось, что необходимым условием высоко эластичности является наличие сшивок между полимерными цепями (вулканизация, вкрапления атомов серы), которые приводят к формированию полимерной сетки в веществе. Эта сетка не может течь, но может деформироваться.
Рассмотрим, как высокоэластичность проявляется на уровне отдельных полимерных молекул. Опишем поведение отдельной полимерной цепи, растягиваемой силой f. Первый такой эксперимент с молекулами ДНК проведен в 1992 году. Зададимся вопросом: как зависит координата конца вектора R от f? Если рассмотреть идеальную полимерную цепь, состоящую из свободно-сочлененных участков длины l, в которой отсутствуют объемные взаимодействия, то неясно, откуда берется сила противодействия (по третьему закону Ньютона)? Например, в случае кристалла упругость связана с наличием сил взаимодействия (притяжения и отталкивания) между атомами (молекулами). В идеальной же макромолекуле таких сил нет, а изменение ее длины происходит за счет выпрямления и распутывания. Такая модель во многом сходна с идеальным газом.
При
деформации вектора R на величину ΔR совершается
работа, равная
.
На что идет такая работа, если растяжение происходит при постоянной температуре T? Очевидно, что в данном случае, работа идет на изменение энтропии цепочки (здесь проявляется аналогия со сжатием идеального газа).
Рассчитаем
энтропию полимерной цепи, исходя из распределения Гаусса. Воспользовавшись
формулой для энтропии
,
и считая, что величина Ω (в данном случае - число различных реализаций полимерной цепи при данной ее длине) пропорциональна величине PN, получим:
.
Тогда
можно записать формулу для работы:
(знак
минус в данном случае возникает из-за уменьшения энтропии) и силы
.
Фактически мы получили закон Гука для данного случая. Отметим, что модуль упругости в данном случае пропорционален 1/N, то есть очень мал для длинных полимеров.
Перейдем теперь к рассмотрению энтропийной упругости полимерной сетки, состоящей из идеальных субцепей (субцепь - элементарный кирпичик структуры полимерной сетки между двумя соседними сшивками). Пусть каждая субцепь состоит из N сегментов длины l. При растяжении сетки ее субцепи так же растягиваются, вследствие чего их энтропия уменьшается.
Допустим,
что полимерная сетка представляет собой прямоугольный параллелепипед, который
растягивается по осям в λx, λy и λz,
соответственно. В результате получим для изменения энтропии в результате
деформации сетки:
,
где
ν
- число субцепей в единице объема, V -
объем сетки, R0x, R0y, R0z - координаты какой-либо субцепи. Учтем теперь, что
.
Учтем
так же, что при недеформированном образце все три координатные направления были
равноправны. Отсюда следует, что
.
Окончательно
получим для энтропии:
.
В это выражение не входят параметры отдельной субцепи N и l. Это указывает на универсальность выражения и является следствием идеальности субцепей.
Рассмотрим
одноосное растяжение сетки вдоль оси x. При этом размеры сетки вдоль
осей y и z изменяются свободно. Оказывается, что объем полимера
при этом практически не меняется (он ведет себя как жидкость - при давлении 100
атм объем полимера изменяется лишь на 1%). Тогда имеем
.
Тогда получим для энтропии:
.
Растягивающая
сила получается аналогично:
.
Определим
напряжение:
.
Окончательно получим:
. (*)
Формула
является одной из основных в теории высокоэластичности полимерных пленок.
Учтем, что если деформации невелики (λ близко к единице), то
.
Величина
же
представляет
собой относительную деформацию. Тогда получим для модуля Юнга полимерной сетки:
.
Эта
величина равна давлению идеального газа, концентрация молекул которого в три
раза больше, чем концентрация сшивок в сетке. Чем меньше степень сшивки
полимерного вещества, тем меньше его модуль Юнга. Замечательно, что выражение
(*) описывает нелинейную упругость.
Литература
1. Иродов, И. Е. Задачи по общей физике. - СПб. : Лань, 2009. - 416 с.
. Иродов, И. Е. Сборник задач по атомной и ядерной физике. - М. Атомиздат, 1976.
. Киттель, Ч. Берклеевский курс физики : в 5 т. / пер. с англ. ; Ч. Кит" тель, У. Найт, М. Рудерман [и др.] ; под ред. А. И. Шальникова, А. С. Ахматова, А. О. Вайсенберга. - М. : Мир, 1971-1972.
. Коган, Б. Ю. Сто задач по физике. - М. : Наука, Физматлит, 1986.
. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. - М. : Наука, Физматлит, МФТИ, 1989-2006.
. Савельев, И. В. Курс общей физики : в 3 т. - СПб. : Лань, 2011.
. Савельев, И. В. Сборник вопросов и задач по общей физике. - СПб. : Лань, 2007. - 288 с.
. Телеснин, Р. В. Молекулярная физика : учеб. пособие. - СПб : Лань, 2009.
. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике : в 9 т. / пер. с англ. ; Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс ; под ред. Я. А. Смородинского. -М. : Мир, 1977.
. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями / пер. с. англ. Р. Фейнман, Р. Лейтон,
М. Сэндс ; под общей ред. А. П. Леванюка. - М. : Мир, 1969