Контрольная работа: Идеальные системы

Имея также в виду, что:

Ω=F - µN=U - TS + PV - PV- µN = G - µN -PV = - PV,

Получим

.

Это соотношение должно выполняться и в предельном случае больцмановского газа. Действительно, подставляя больцмановское значение , получим , то есть уравнение Менделеева - Клапейрона.

Подставим полученное соотношение в выражение для полной энергии (**), находим уравнение состояния электронного газа (при Т= 0К):

.

Таким образом, давление Ферми-газа при абсолютном нуле температуры пропорционально его концентрации в степени 5/3. Полученная формула применима приближенно также и при температурах, достаточно близких (при данной концентрации газа) к абсолютному нулю. Условие ее применимости (условия «сильного вырождения» газа) требует, очевидно, малости kТ по сравнению с граничной энергией eF:

.

Температуру ТF = eF/k называют температурой вырождения (температурой Ферми). Оказывается, что для большинства металлов эта температура составляет приблизительно 104 К. Отсюда можно сделать вывод, что в металлах электронный газ всегда вырожден.

При температуре, большей 0К график функции распределения Ферми будет иметь следующий вид:

Примером двумерного Ферми-газа является недавно открытый графен.

Рассмотрим теперь теплоемкость Ферми-газа. В случае, когда температура газа много меньше температуры Ферми, все термодинамические величины можно разложить в ряд:

,

,

.

Зная энергию, можно вычислить теплоемкость:

.

Из этого соотношения видно, что теплоемкость электронного газа в металлах при комнатной температуре очень мала по сравнению с теплоемкостью решетки (- закон Дюлонга-Пти).

. Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд

Эволюция звезд. Белые карлики. Фаулер. Принципиальный интерес представляет исследование свойств вещества при чрезвычайно больших плотностях. Проследим качественно за изменением этих свойств по мере постепенного увеличения плотности.

Когда объем, приходящийся на один атом, становится меньше обычных атомных размеров, атомы теряют свою индивидуальность, так что вещество превращается в сильно сжатую электронно-ядерную плазму. Если температура вещества не слишком высока, то электронная компонента этой плазмы представляет собой вырожденный ферми-газ. Электронный ферми-газ обладает своеобразным свойством: его идеальность возрастает по мере увеличения плотности. Это происходит потому, что кинетическая энергия электронов пропорциональна концентрации в степени 2/3, а кулоновская энергия - лишь 1/3. Поэтому при достаточном сжатии вещества роль взаимодействия электронов с ядрами (и друг с другом) становится несущественной, так что можно пользоваться формулами идеального ферми-газа. Можно показать, что это наступает при выполнении неравенства

где пе - плотность числа электронов, те - масса электрона, Z- некоторый средний атомный номер вещества. Отсюда получаем для полной плотности массы вещества неравенство

 г/см3,

где m’ - масса, приходящаяся на один электрон. Примем, что эта масса равна удвоенной массе нуклона. Что касается «ядерного газа», то благодаря большой массе ядра он еще может быть далек от вырождения, но его вклад, например, в давление вещества совершенно несуществен по сравнению с давлением электронного газа.

Таким образом, термодинамические величины вещества в рассматриваемых условиях определяются формулами, примененными к электронной компоненте. В частности, для давления имеем

Условие для плотности дает для давления численное неравенство атм.

В написанных формулах электронный газ предполагается нерелятивистским. Это требует малости граничного импульса Ферми ρF по сравнению с тс, что приводит к численным неравенствам

Когда плотность и давление газа становятся сравнимыми с указанными значениями, электронный газ делается релятивистским, а при выполнении обратных неравенств - ультрарелятивистским. В последнем случае уравнение состояния вещества определяется формулой

Дальнейшее повышение плотности приводит к состояниям, в которых термодинамически выгодными оказываются ядерные реакции, заключающиеся в захвате электронов ядрами (с одновременным испусканием нейтрино). В результате такой реакции уменьшается заряд ядра.

При еще больших плотностях и давлениях будет происходить дальнейший захват электронов ядрами, сопровождающийся дальнейшим уменьшением заряда последних. Здесь начинается область плотностей, в которой вещество можно рассматривать в основном как вырожденный нейтронный ферми-газ с небольшой примесью электронов и различных ядер, концентрации которых определяются условиями равновесия соответствующих ядерных реакций. Уравнение состояния вещества в этой области есть

 атм,

где mn - масса нейтрона.

Наконец, при плотностях  г/см3 вырожденный нейтронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение состояния будет определяться формулой

атм.

Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно излучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии теплового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на уравнение состояния, т.е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Это можно сделать потому, что для сильно вырожденного ферми-газа температуру можно считать равной нулю.

Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределение плотности в нем будет центрально-симметричным.

Равновесное распределение плотности (и других термодинамических величин) в теле будет определяться следующими уравнениями. Ньютоновский гравитационный потенциал φ удовлетворяет дифференциальному уравнению

где ρ - плотность вещества, G - ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем

В гравитационном поле потенциальная энергия частицы с массой т' есть т'φ, так что имеем

где т' - масса частицы тела, а у химического потенциала вещества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив φ через µ и подставив в уравнение для потенциала, мы можем написать последнее в виде

При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство будет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно рассматривать вещество тела как вырожденный электронный ферми-газ - сначала нерелятивистский, а затем, при еще больших массах, релятивистский.

Химический потенциал (энергия Ферми) нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела ρ равенством

.

Выразив отсюда ρ через µ, получим следующее уравнение:

 (*)

Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: µ -> const при r -> 0. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной

 при r = 0.

Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (*) простых соображений размерности. Решения уравнения (*) содержат лишь два постоянных параметра - постоянную λ и, например, радиус тела R, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины - самый радиус R, и одну величину с размерностью энергии:  (постоянная λ имеет размерность м-2 • Дж-1/2). Поэтому ясно, что функция µ(r) должна иметь вид

где f- некоторая функция только от безразмерного отношения r/R. Поскольку плотность ρ пропорциональна µ3/2, то распределение плотности должно иметь вид

.

Таким образом, при изменении размеров сферы распределение плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорционально R6. В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна R6:

.

Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорциональна кубу радиуса:

Эти два соотношения можно написать также в виде

Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропорциональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоятельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы.

Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть заранее из следующих качественных соображений. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)2/3, или, что то же самое, М5/3 / R2, а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна M2/R. Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функция от R) при любом М, причем в точке минимума.

.

Для безразмерной переменной ξ = r / R получим, что функция f(ξ) удовлетворяет уравнению

с граничными условиями f ‘(0) = 0; f ‘(1) = 0. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегрироваться численно (см, рис). Наконец, для отношения центральной плотности ρ(0) к средней плотности  легко найти

На рисунке изображен график отношения ρ(r)/ρ(0) как функции r/R.

Перейдем к исследованию равновесия сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)1/3, или иначе M 4/3 / R; гравитационная же энергия пропорциональна -M2/R.Таким образом, обе эти величины зависят от R одинаковым образом, и их сумма тоже будет иметь вид const • R-1. Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если const > 0, то оно будет стремиться расширяться (до тех пор, пока газ не станет нерелятивистским); если же const < 0, то уменьшению полной энергии будет соответствовать стремление R к нулю, т.е. тело будет неограниченно сжиматься. Лишь в особом случае const = 0 тело может находиться в равновесии, причем в безразличном равновесии с произвольными размерами R.

Эти качественные соображения, разумеется, полностью подтверждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого релятивистского газа связан с плотностью соотношением

Вместо уравнения (*) получаем теперь

Имея в виду, что λ обладает теперь размерностью Дж-2 • м-2, находим, что химический потенциал как функция от r должен иметь вид

а распределение плотности

Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно пропорциональна R3, а полная масса оказывается не зависящей от размеров постоянной:

0 есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > М0 тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < М0 оно будет расширяться.

Для точного вычисления «критической массы» М0 необходимо произвести численное интегрирование уравнения

.

Положив m’ = 2mn, получим M0 = 1,45.

На рисунке (кривая 2) дан график ρ(r)/ρ(0) в ультрарелятивистском случае как функции r/R.

Полученные результаты о зависимости между массой и радиусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения R в виде единой кривой, определяющей зависимость М = M(R). При больших R (и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция M(R) спадает по закону . При достаточно же малых R плотность настолько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция M(R) имеет почти постоянное (равное М0) значение (строго говоря, M(R) -> M0 при R -> 0).

Сделанный вывод имеет фундаментальное значение для эволюции звезд. Сейчас ученые уверены, что при достижении звездой определенной массы она превращается в черную дыру. Сверхмассивные черные дыры находятся в центре практически каждой галактики. Полученную оценку критической массы звезды можно рассматривать лишь как приближенную, поскольку точное решение уравнения для гравитационного поля можно получить лишь в рамках общей теории относительности. Кроме того, после первых оценок модели нейтронных звезд были существенно уточнены.

Белые карлики представляют собой компактные звёзды с массами, сравнимыми с массой Солнца, но с радиусами в ~100 км и, соответственно, светимостями в ~10 000 раз меньшими солнечной. Плотность белых карликов составляет 108-1012 кг/м³, что почти в миллион раз выше плотности обычных звёзд главной последовательности.

Высокая плотность белых карликов оставалась необъяснимой в рамках классической физики и астрономии и нашла объяснение лишь в рамках квантовой механики <#"866454.files/image128.gif"> (*)